南區跨縣市國小「提升數學素養之開放性試題設計」工作坊
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數形規律
高雄市大成國小 曾曉馨
一、 評量目標和說明：
發現數形規律是訓練學生進行數學式思考，觀察、假設、驗證、類推相當重
要的歷程，亦是培養邏輯與推理思維很好的切入點。因此，本課程的研發主要在
提出一系列的數列推導測驗，藉由循序漸進數形規律的學習，培養學生尋找規律
的敏感度與能力，以奠定數列解題的基礎，進而發展策略應用於規律探尋的應用
問題。本研究以引導學生運用數列規律解決應用問題為目標，試題設計將透過題
組間的適當連結，逐步建立解題的基本能力，幫助學生發展數列解題的策略，以
解決六年級課程中雙圖形規律探索的應用問題。茲將本試題能力指標羅列如下：
（ 一 ） A-3-2 能 由 生 活 中 常 用 的 數 量 關 係 ， 運 用 於 理 解 問 題 並 解 決 問
題。N-3-18）
（ 二 ） A-3-4 能 用 含 未 知 數 符 號 的 算 式 表 徵 具 體 情 境 之 單 步 驟 問 題 ，
並解釋算式與情境的關係。
（三）A-3-5 能解決用未知數列式之單步驟問題。
二、 試題內容：
本試題內容編修以簡單的行動研究模式進行，初始，教師透過小組討論設計
一系列題組，經現場施測後再進行修訂，而後，透過再施測藉以檢視題目間的連
結與佈題描述不當之處，最後，再進行題目的定稿。
題目初稿如【附件一】所示
測驗原先的設計僅只有單數列和雙圖形規律探索的應用問題，但因為考量學
生欲進行雙圖形應用問題的解題，如果能有混合雙數列的解題基礎，應該能夠更
無礙的切入解題核心，而為了讓學生了解兩個數列問題混合成一個數列的混合數
列問題，我們透過將數字轉換成英文字母的墊步，帶出混合雙數列的問題。因此，
編 號
主題名稱
施測年級
施測分析者
R
數形規律
六年級
台南市大成國小曾曉馨
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設計乃以「數列→混合雙數列→圖形規律探索的應用問題（實體數列）」呈現。
而為了幫助學生建立數字數列與實體數列問題間的連結，我們也透過畫圖實
作及表格的方式，引導學生寫出數列，由實體數列跟數字數列間的理解轉換切
入，再引入數列類推的問題，協助學生搭建解題鷹架。
然而，施測的結果並未得到應有的成效，顯然引導的題目鋪陳仍舊不足，抑
或題目的描述尚待琢磨，以至於學生還無法拾級而上，成功達陣。因此，為了根
據前面的缺失進行修正，我們再次分析圖形規律探索的應用問題，設想先前題目
鋪陳的斷層，補充銜接概念的題組，也就是「數列→混合雙數列→數列類推第
10 項→運算規律的探索→圖形規律探索的應用問題」
，並在圖形規律探索的應用
問題增加探討變項之表列，期待能透過一連串的題組，在老師不介入教學的前提
下，引導學生逐步學習。
但為了確知學生了解何謂規律探索，我們還是在試題的前面先加入簡單的教
學引導，希望藉此幫助學生了解題目的表徵與內涵，引導如下：
【第一部分引導】
請依「規律性」
，找出□中的數字，並說說看你是怎麼發現規律的？
建議：從「觀察」中發現蛛絲馬跡，
「假設」規律，再透過「驗證」確認規律，
接著就可以「類推」解題囉~~~加油！！
例如：1, 3, 5, 7,□
◎
觀察：1→3 差 2，3→5 差 2
◎
假設：規律是 1＋2＝3，3＋2＝5
◎
驗證：5＋2＝7，確認規律無誤
類推：7＋2＝9 就得到答案囉~~^^
【第二部份引導】
請你想想，除了一一列舉之外，你還能更運用什麼樣的數學方法，找出下面
數列的第 10 個。
例如：1, 3, 5, 7, …請問第 10 個是多少？
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◎
假設：規律是 1＋2×1＝3(跟第一個數字間隔 1 個)，1＋2×2＝5(跟第一個
數字間隔 2 個)
◎
驗證：驗證第四個是否為 7，因此，1＋2×3＝7(跟第一個數字間隔 3 個)，
確認規律無誤
◎
類推：第 10 個數字是 1+2×9=19(跟第一個數字間隔 9 個)。
此外，我們也試著修訂問題的敘述方式，以減少影響學習的負向因素，幫助
學生更無礙的朝目標邁進。例如，我們發現若將目標設定在圖形規律探索的應用
問題上，第一部分題目（5）2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17,□的設計，反而是造
成學生探尋圖形規律的干擾因素，為了更聚焦，故而將該題刪除。
歷經第二階段的題目設計與修訂，我們又再進行第二次施測，並依據學生的
反應進行分析。
三、 施測方式與結果分析：
本試題經由 2 次施測與修訂，對象以 2 班國小五年級普通班學生為樣本，測
驗目標─圖形規律探索的應用問題是六年級下學期怎樣解題單元的題型，我們嘗
試透過題組式解題來進行概念培養，以搭建目標問題的解題鷹架，茲將施測結果
分析如下：
第 1 次的答題情形如下圖所示，顯而易見，學生答題的情形並不理想，特別
是在我們以第 10 題、第 11 題為目標的前提下，並沒有學生能夠完全達成目標，
顯然題目間尚缺乏足夠的連結。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
菱形
珠
10
圓形
珠
11
表一
11
表二
11
○
1
11
○
2
答對率 89% 92% 84% 79% 15% 73% 82% 80% 72% 95% 20% 30% 30% 0% 28%
依據修訂後題目，我們進行第 2 次施測，答題情形與分析將分段陳述於下。
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【第一部份】
題號
第一題 第二題 第三題 第四題 第五題 第六題 第七題 第八題
答對率
95%
93%
85%
80%
82%
84%
82%
75%
＜分析＞
本部分與原先設計題目的差別，只在於少了「質數規則」的題目，並將原先
的 6、7、8、9 的題號順延。從兩者的答題情形來看，修訂後的題目，因為在題
目之前加進了教學引導，因此，整體來說，學生的理解程度都有所提昇。而綜觀
第一部分的題目，1-5 題的題目類型是加法、減法、乘法和除法的單數列，學生
對於加、減法規則的觀察與辨識較乘除規則來得容易，6-9 題的混合雙數列，則
因為有第 6 題的引導，所以，中等以上的學生也多能察覺規律，然而由學生對單
數列加減與乘除規則的理解，我們不難發現，這樣的情形在混合雙數列中亦存在
著(第 7 題的答對率高於第 8 題)。
【第二部份】
題號
第一題 第二題 第三題 第四題
答對率
85%
85%
80%
78%
＜分析＞
本部分的施測目的，在於引導學生發現不逐一列舉的情形下，如何類推第 n
項，數列的類型則是加減法的單數列與雙數列。在此部分，學生因為先前第一部
分的基礎，及進入第二部份試題前的引導式說明，大部分多能運用較為數學化的
方式解題，但部分學生仍傾向於把數列中的數字一一列舉，直到第 10 項，這或
許也是因為題目所設計要求的類推項並不大的原因所致。
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【第三部份】
題號 第一題 第二題 第三題
答對率 90%
82%
92%
＜分析＞
第三部份的評量目的在於透過運算規律的探索，培養學生從察覺數字關係的
規律中，發現量與量之間的關係，透過系列圖形的引導，學生更容易藉由圖形位
置的對應，區別各自代表所欲探討的數量，進而探尋其間的關係。由於本部分所
列的運算關係都不是太難，主要是為了導引學生熟悉運算規律的探索，故而多數
學生在此部份均表現得不錯。
【第四部份】
(1)
◎表格回答
答對題數 對一格 對二格 對三格 對四格 對五格 對六格 對七格
菱形珠
0
0
2%
0
0
0
92%
圓形珠
0
0
10%
0
0
0
90%
＜分析＞
在這題中多數學生以數列轉化圖形的表現都相當不錯，尤其是題目圖形已呈
現數列前 3 項的變化，因此，學生至少都能答對 3 格，但至於能否在繼續類推，
少部分學生則出現障礙。而相較於菱形珠，圓形珠的數列變化較為複雜，當然答
題表現也就相對較差。
◎題目回答
題號
第一題
第 100 個圖的菱形珠多
第二題
第 100 個圖的圓形珠多
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少顆？
少顆？
答對率
92%
83%
＜分析＞
有了上題的引導之後，相較於第一次施測，學生在類推數列第 100 項時顯然
有較好的表現，然而在圓形珠的問題上，因為要求第 100 項，對少部份學生來說
可能尚無法透過運算進行較大數字的類推，因而較上題圓形珠的答對率有稍微下
降的結果。
(2)
◎圖形繪製
題目
圖形繪製
畫對率
98%
＜分析＞
幾乎所有的學生都能察覺圖形的規則變化，正確繪製，此將有助於學生將圖
形轉化數列。
◎表格 1
答對題數 全錯 對 1 格
對 2 格 對 3 格 對 4 格 對 5 格 對 6 格
答對率
0
5%
0
0
0
0
95%
＜分析＞
由於有繪製圖形的實作經驗，學生在回答「每邊 6 顆時菱形珠的變化如何用
數列表示？」和「每邊 6 顆時圓形珠的變化如何用數列表示？」兩個問題以進行
數列轉換時，能夠較無斷層的銜接，因此，筆者認為繪圖的經驗能夠幫助多數學
生察覺數列的變化。
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◎表格 2
題目
每邊 2 顆 每邊 3 顆 每邊 4 顆 每邊 5 顆 每邊 6 顆
全部總顆數
98%
98%
98%
95%
95%
菱形珠的總顆數
(顆)
82%
79%
79%
75%
75%
圓形珠的總顆數
(顆)
82%
79%
79%
75%
75%
差幾顆
81%
77%
77%
73%
73%
＜分析＞
要完成這個表格所列的問題，對多數學生而言並不困難，尤其表列所要求的
問題幾乎都可以在先前題目所呈現的圖形中找到答案，再透過簡單的運算之後，
就能夠得到「差幾顆」的答案，特別是前 3 個圖形，因為在題目上已提供圖形，
其答對率之高也就不待言之。
◎題目回答
題號
第一題 第二題-1 第二題-2 第三題
第四題
第五題
答對率
64%
80%
75%
30%
73%
29%
＜分析＞
第一題，學生較不亦看出數字特徵的原因，乃源於學生尚未具備平方數的概
念；第二題的部份，學生多能觀察出兩種珠在每邊顆數奇數和偶數的差別，但要
回答多幾顆的觀察中，少部分學生的察覺能力較差，就無法發現其中的規律。
而在這一系列的問題中，第三個問題『想辦法從「菱形珠的總顆數(顆)」
、
「圓
形珠的總顆數(顆)」
、
「全部總顆數」
、
「差幾顆」的數字間，找出他們之間的關係，
用以解決第○
4 、○
5 題(你可以模仿【第三部份】列出關係) 』對多數學生而言是
相當困難的挑戰，從混亂的數字中發現運算規律，這個部份可能還要長時間的引
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導，無法僅藉由一兩個應用問題題目的鋪陳來洞悉，而運算規律能否發現將連帶
影響到第五個問題的解題，不過，大致來看，學生在第二次施測，因為有四部份
的系列引導，在圖形規律探索的應用問題（實體數列）表現明顯提昇。
再回到第四個問題的答題表現，
「每邊排 10 顆串珠」的題目，學生就算沒有
察覺「菱形珠的總顆數(顆)」
、
「圓形珠的總顆數(顆)」
、
「全部總顆數」
、
「差幾顆」
的數字運算關係，仍可透過數列一一列舉的方式解題，因此，答題率相較於第五
題明顯較好。當然，能夠答對第五題的學生，便能運用菱形珠與圓形珠相差 10
顆與總顆數之間的關係來解題，則在此題的解決上也就更暢行無阻。
四、省思與建議
本研究透過兩階段的行動研究模式，讓試題的編修與概念的連結更能貼近學
習者的需要，在此歷程中有幾點省思與建議：
ㄧ、評量指導語深淺的拿捏：編制試題之初，本以為只要將試題的概念做細
部切分，就可引導學生進行目標解題，但後來發現學生對於規律探索的題目
相當陌生，因此才會在題目之前加入指導語。然而，指導語如何點到為止，
既能在掌握學生的起點行為下引導其了解題目，又避免透露過多訊息，限制
學生思考，這個部份我認為是試題編制者都應該深思的問題。
二、評量的方式與用意應釐清：如果評量的方式是要透過教師不介入教學的
前提下進行，為了逐步奠基，題目的設計就必須切分得很細，題數也相對提
高；反之，如果評量的設計是要可透過小組討論，且教師進行適時的提問與
教學，則題目的設計便能更開放進行，因此，建議評量題目設計前應釐清評
量進行的方式與用意。
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【附件一】
年 班 姓名
請依「規律性」
，找出□中的數字。
（1）202, 204, 206, 208,□
（2）7935,7925, 7915,□
（3）202, 404, 808, 1616,□
（4）1000, 200, 40,□
（5）2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17,□
（6）1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,□
（7）2, A, 5, B, 8, C, 11, D,□
（8）1, 2, 3, 7, 5, 12, 7,□
（9）3, 4, 6, 12, 12, 36, 24,□
（10）請問圖 100 的菱形珠和圓形珠各需多少顆？
→ →
（11）媽媽要用菱形和圓形的串珠串成如下圖的正方形，當每邊排 50 顆串珠
時，菱形珠和圓形珠各需多少顆？哪一種珠多？多幾顆？
◆ ○
→
◆ ○ ◆
→
◆ ○ ◆ ○
○ ○
○ ○ ◆
○ ○ ◆ ○
◆ ◆ ◆
◆ ◆ ◆ ○
○ ○ ○ ○
圖一
圖二
圖三
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菱形珠變化如何用的數列表示？
圓形珠變化如何用的數列表示？
每邊串珠的顆數
2
3
4
5
6
菱形珠的顆數(顆)
圓形珠的顆數(顆)
○
1 當每邊排 50 顆串珠時，菱形珠和圓形珠各需多少顆？
○
2 當每邊排 50 顆串珠時哪一種珠多？多幾顆？
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【附件二】
年 班 姓名
請依「規律性」
，找出□中的數字，並說說看你是怎麼發現規律的？
建議：從「觀察」中發現蛛絲馬跡，
「假設」規律，再透過「驗證」確認規律，
接著就可以「類推」解題囉~~~加油！！
例如：1, 3, 5, 7,□
◎
觀察：1→3 差 2，3→5 差 2
◎
假設：規律是 1＋2＝3，3＋2＝5
◎
驗證：5＋2＝7，確認規律無誤
◎
類推：7＋2＝9 就得到答案囉^^
【第一部份】
（1）202, 204, 206, 208,□
（2）7935,7925, 7915,□
（3）202, 404, 808, 1616,□
（4）1000, 200, 40,□
（5）1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,□
（6）2, A, 5, B, 8, C, 11, D,□
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（7）1, 2, 3, 7, 5, 12, 7,□
（8）3, 4, 6, 12, 12, 36, 24,□
【第二部份】
請你想想，除了一一列舉之外，你還能更運用什麼樣的數學方法，找出下面數列
的第 10 個。
例如：1, 3, 5, 7, …請問第 10 個是多少？
◎
觀察：1→3 差 2，3→5 差 2
◎
假設：規律是 1＋2×1＝3(跟第一個數字間隔 1 個)，1＋2×2＝5(跟第一個
數字間隔 2 個)
◎
驗證：驗證第四個是否為 7，因此，1＋2×3＝7(跟第一個數字間隔 3 個)，
確認規律無誤
◎
類推：第 10 個數字是 1+2×9=19(跟第一個數字間隔 9 個)。
（1）202, 204, 206, 208,…請問第 10 個是多少？
（2）7935,7925, 7915,…請問第 10 個是多少？
（3）2, A, 5, B, 8, C, 11, D,…請問第 10 個是多少？
（4）1, 2, 3, 7, 5, 12, 7,…請問第 10 個是多少？
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【第三部份】
這些數字間存在著某種運算關係，請你透過觀察、假設、驗證、類推的歷程，
找出最後一個圖形空格處的答案。例如：1,8,2,6；3,4,7,5 這兩組數字的運算
關係是 1×8＝2＋6；3×4＝7＋5，因此，如果最後一個圖形的數字是 5,3,8,□，
那麼□的答案就是 7，因為 5×3＝8＋□
7
(1)
(2)
(3)
6
1
2
3
12
3
4
5
17
6
4
4
3
2
14
1
5
4
24
8
4
3
4
1
2
7
18
4
26
4
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【第四部份】
（1）請觀察菱形珠和圓形珠從圖一到圖三的變化
→ →
菱形珠變化如何用的數列表示？
圓形珠變化如何用的數列表示？
○
1 第 100 個圖的菱形珠多少顆？
○
2 第 100 個圖的圓形珠多少顆？
（2）媽媽要用菱形和圓形的串珠串成如下的正方形圖案
◆ ○
→
◆ ○ ◆
→
◆ ○ ◆ ○ →
○ ○
○ ○ ◆
○ ○ ◆ ○
◆ ◆ ◆
◆ ◆ ◆ ○
○ ○ ○ ○
每邊
2 顆
每邊
3 顆
每邊 4 顆
2 顆
每邊 6 顆，畫畫看
每邊 6 顆時菱形珠的變化如何用數列表示？
每邊 6 顆時圓形珠的變化如何用數列表示？
圖一
圖二
圖三
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每邊串珠的
顆數
全部總顆數 菱形珠的總顆數(顆) 圓形珠的總顆數(顆) 差幾顆
2
3
4
5
6
○
1 你覺得全部的總顆數有什麼特徵？
○
2 當每邊排 50 顆串珠時哪一種珠多？多幾顆？
○
3 想辦法從「菱形珠的總顆數(顆)」
、
「圓形珠的總顆數(顆)」
、
「全部總顆數」
、
「差
幾顆」的數字間，找出他們之間的關係，用以解決第○
4 、○
5 題(你可以模仿【第
三部份】列出關係)。
○
4 當每邊排 10 顆串珠時，菱形珠和圓形珠各需多少顆？
菱形珠：
圓形珠：
○
5 當每邊排 50 顆串珠時，菱形珠和圓形珠各需多少顆？
菱形珠：
圓形珠：
寫完這張學習單，請寫下你的感覺
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472
參考解答：
【第一部分】
（1）210
（後面的數）－（前面的數）＝2
□＝208＋2＝210
（2）7905
（前面的數）－（後面的數）＝10
□＝7915－7910＝7905
（3）3232
（後面的數）÷（前面的數）＝2
□＝1616×2＝3232
（4）8
（前面的數）÷（後面的數）＝5
□＝40÷5＝8
（5）34
＜佩多拉基數列＞1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,□
前二個數相加等於後面的數
1＋2＝3, 2＋3＝5, 3＋5＝8, 5＋8＝13, 8＋13＝21
□＝13＋21＝34
（6）14
＜雙數列＞數列同時具備 2,5,8,11…，以及 A,B,C,D,…的變化,因此，□
＝11＋3＝14
（7）17
＜雙數列＞數列同時具備 1,3,5,7…，以及 2,7,12,…的變化,因此，□＝
12＋5＝17
（8）108
＜雙數列＞數列同時具備 3,6,12,24…，以及 4,12,36,…的變化,因此，
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473
□＝36×3＝108
【第二部份】
(1) 220
202+2×9=220(跟第一個數字相差 9 個間隔)。
(2) 7845
7935-10×9=7845(跟第一個數字相差 9 個間隔)。
(3) 103828
202×2×2×2×2×2×2×2×2×2=103828(跟第一個數字相差 9 個間隔)。
（4）0.000512
1000÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5=0.000512(跟第一個數字相差 9 個間隔)。
【第三部分】
（1）7
1＋2＋3＝6，3＋4＋5＝12，6＋4＋（ ）＝17
（2）36
4＋3＝14÷2，1＋5＝24÷4，8＋4＝（ ）÷3
（3）11
（4－2）÷2＝1，
（18－4）÷2＝7，
（26－4）÷2＝11
【第四部份】
(1)
菱形珠變化如何用的數列表示？
1
2
3
4
5
6
7
圓形珠變化如何用的數列表示？
4
7
10 13 16 19 22
○
1 菱形珠：100
○
2 圓形珠：4+99×3=301
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474
(2)
◆ ○ ◆ ○ ◆
○ ○ ◆ ○ ◆
◆ ◆ ◆ ○ ◆
○ ○ ○ ○ ◆
◆ ◆ ◆ ◆ ◆
每邊 6 顆時菱形珠的變化如何用數列表示？
1
5
9
每邊 6 顆時圓形珠的變化如何用數列表示？
3
7
11
每邊串珠的顆數 全部總顆數 菱形珠的總顆數(顆) 圓形珠的總顆數(顆) 差幾顆
2
4
1
3
2
3
9
6
3
3
4
16
6
10
4
5
25
15
10
5
6
36
15
21
6
○
1 每邊幾顆*每邊幾顆=總顆數；都是平方數
○
2 圓形珠，多 50 顆
○
3 （總顆數－差幾顆）÷2＝菱形珠或圓形珠總顆數較少的那個數字
（4－2）÷2＝1，1＋2＝3
（9－3）÷2＝3，3＋3＝6
（16－4）÷2＝6，6＋4＝10
○
4 菱形珠：45 顆 圓形珠：55 顆
○
5 菱形珠：1225 顆 圓形珠：1275 顆