「幾何與證明」的總結性評量分析
台北縣中山國中 陶道毓
桃園縣新屋國中 楊 椿
壹、前言
中小學的教育是屬於國民義務教育階段，學生的學習成果除了影響個人發展，也影響國家未來的競爭力，因此世界各國無不重視義務教育的發展，美國布希總統提出的「不遺漏任一個孩子」（No child left behind）法案，即是其中一個例子。
學校內教師的教學活動和學生學習活動，是否達到原來的教學目標，有賴適當的評量作為診斷和教學的回饋。良好的評量，無論是形成性評量或總結性評量，都有回饋改進教學與實施補救教學的功能。各校定期的階段評量，進行統一的命題和考試，加上評量範圍較廣，對教和學雙方面，都有深遠的影響。此次針對階段評量進行分析探討，希望對提昇命題技術和實施題目分析的方式有所助益。
研究分析對象是台北縣◎◎國中九十一學年度第一學期第三階段三年級的期末考試題目，考試範圍是國中數學第五冊第三章「幾何與證明」。由於該校為了協助三年級學生適應基本學力測驗，使用鉛筆畫卡的應考模式，採用電腦讀卡，有助於學生答題狀況之分析，對命題之分析也有相當助益。
貳、評量目標
1.學生能利用三角形全等的性質，進行基礎的幾何推理。
2.學生學會「綜合證題法」，並能證明簡單的命題。
3.學生瞭解三角形的外心、內心、重心的意義和性質。
4.學生能利用三角形外心、內心、重心的性質，做簡單的計算題。
參、適用年級
九年級（國中三年級）
肆、實施流程
一、準備階段
1.確定分析題目範圍和來源。
2.研閱教材內容與教師手冊。
3.列出各章節之評量目標。
4.篩選出重要評量目標。
5.編制命題雙向細目表。
二、整理階段
1.蒐集並決定使用的題目卷。
2.蒐集評量結果數據。
3.算出全年級平均分數、成績分布。
4.逐題計算出難易度指數、鑑別度指數。
三、分析階段
1.詳細分析本次命題之成敗原因與優缺點，作為往後命題改進之依據。
2.檢討分析教學與評量的關聯性。
伍、評量內容
第五冊第三章「幾何與證明」，包含3-1「幾何推理」、3-2「綜合證題法」、3-3「三角形外心、內心、重心」，是國中階段幾何部分教學最深的範圍。
題目和解答，請見附錄一。
詳細的試題與目標雙向細目表如下：
知 識 | 理 解 | 應 用 | 分 析 | 綜 合 | 評 鑑 | |
利用三角形全等的性質，寫出幾何證明的過程。 | 9.10 | 6.8.22 | 7 | |||
等腰三角形的性質 | 23 | 14 | 7 | |||
中垂線的性質及利用其性質做簡易的證明或計算。 | ||||||
角平分線的性質及利用其性質做簡易的證明或計算。 | 10 | 1 | ||||
中線的性質及利用其性質做簡易的證明或計算。 | 5 | |||||
三角形的外心及外心到三頂點等距離 | 14.25 | 2 | ||||
能利用外心的性質做簡單的計算題。 | 12.17 | 11 | 18 | |||
直角三角形斜邊中點到三頂點等距離 | 12 | . | ||||
三角形的內心及內心到三邊等距離。 | 13 | 16 | 2 | |||
能利用內心的性質做簡單的計算題。 | 15 | 4 | ||||
三角形的重心及重心到頂點的距離的性質。 | 21 | 24 | ||||
能利用重心的性質做簡單的計算題。 | 12 | 20.25 | 18 | |||
性質的綜合應用。 | 3. 19 | |||||
合 計 | 2 | 4 | 9 | 5 | 6 |
陸、評量標準
1.以課本和習作內容占70~80%為基準。
2.評量時間為50分鐘。
3.以選擇題形式，學生以2B鉛筆畫卡作答，再由電腦讀卡計分。
4.命題教師預計全年級各班平均分數約為65分水準。
柒、學生表現分析
一、難度分折的做法
試題的難度與測驗的效率(effectiveness)有關，難度適當的試題是構成優良測驗的必要條件，試題的難易程度通常以全體受試著答對或通過該題的百分比(prcentage passing)表示之，也就是通過率，以公式表示應為P=R/N *100%，R是答對的人數，N:總人數。往後分析可採用此直接計算通過率的方式。
本次試題難度的求法，係先將受試者依照測驗總分的高低次序排列，然後把得分最商與得分最低的受試者各取全體人數的27%，定為高分組和低分組，再分別求出此兩組在某一試題上通過人數的百分比，以兩組百分比的平均數作為該試題的難度。其計算公式如下：
P=(PH+PL)/2
上式中，P代表試題難度，PH為高分組通過該題人數百分比，PL為低分組通過該題人數百分比。以P表示試題的難度，P值愈大，難度愈低；P值愈小，難度愈高。不過，P值是一種順序尺度，差距單位並不相等，因而祇能表示試題難易的相對位置，卻無法指出各難度之間差異的大小。一般而言，試題的難度(P)愈接近.50，則其所能發揮的區別作用愈大。
二、鑑別度分析的做法
要增加測驗的預測與診斷功能，必須著重試題的鑑別度分析。鑑別度的觀察重點是比較高分組和低分組在個別試題上通過人數之百分比。先將測驗總分最高的27%受試者列為高分組，最低的27%受試著列為低分組，然後分別求出這兩組受試著在個別試題上的通過人數百分比，再以高分組的百分比減去低分組的百分比所得的差數，作為鑑別指數。其計算公式如後： D=PH-PL
式中，D代表鑑別指數，PH為高分組通過人數百分比，PL為低分組通過人數百分比。鑑別指數愈大，表示個別試題反應與測驗總分的一致性愈高。外在效度分析的方法和步驟，輿前述內部一致性的分析相彷彿，所不同者祇是參照標準不同而已。
Ebel(1965)曾提出一個「經驗的規準」，可供參考之用，敘述如下：D鑑別指數在：
【.4o以上】表示是非常優良的試題
【.30～.39】表示是良好試題，但可能需要修改
【.20～.29】表示是邊際試題，通常宜加修改
【.19以下】表示是不良試題，必須淘汰或者修改留用
三、學生作答分析
此次從三年級33班級，以1/10的比例，抽樣取4個班，159份答案。題目共有25題，均為選擇題，每題4分。分析資料如下：
總平均：58分 60分以上：83人
分數 | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 |
人數 | 0 | 4 | 25 | 15 | 18 | 14 | 25 | 22 | 23 | 13 |
以分數的統計，呈現雙峰的現象。以選擇題沒有倒扣分數的情形下，亂猜的期望值達到25分，再加上只考到一點簡單的觀念的題目，考個30分到40分應是完全不困難的，就數據呈現：國三學生落差很大，有些同學幾乎放棄了數學的學習，這是令人擔心的狀況！
四、試題分析
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
T | 64.8% | 58.5% | 25.8% | 46.5% | 72.3% | 75.5% | 71.1% | 30.2% | 50.3% | 26.4% | 49.1% | 58.5% | 58.5% |
PH | 90.7% | 100.0% | 53.5% | 79.1% | 97.7% | 100.0% | 100.0% | 58.1% | 81.4% | 53.5% | 86.0% | 93.0% | 95.3% |
PL | 27.9% | 20.9% | 18.6% | 16.3% | 41.9% | 39.5% | 30.2% | 27.9% | 23.3% | 16.3% | 27.9% | 34.0% | 18.6% |
P | 0.59 | 0.60 | 0.36 | 0.48 | 0.70 | 0.70 | 0.65 | 0.43 | 0.52 | 0.35 | 0.57 | 0.64 | 0.57 |
D | 0.63 | 0.79 | 0.35 | 0.63 | 0.56 | 0.60 | 0.70 | 0.30 | 0.58 | 0.37 | 0.58 | 0.58 | 0.77 |
14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |
T | 58.5% | 72.3% | 68.6% | 81.1% | 66.0% | 62.9% | 34.6% | 73.6% | 67.3% | 45.9% | 66.0% | 64.8% |
PH | 88.4% | 100.0% | 97.7% | 100.0% | 95.3% | 83.7% | 62.8% | 95.3% | 97.7% | 69.8% | 93.0% | 100.0% |
PL | 23.3% | 25.6% | 25.6% | 39.5% | 30.2% | 25.6% | 16.3% | 34.9% | 27.9% | 37.2% | 25.6% | 23.3% |
P | 0.56 | 0.63 | 0.62 | 0.70 | 0.63 | 0.55 | 0.40 | 0.65 | 0.63 | 0.53 | 0.59 | 0.62 |
D | 0.65 | 0.74 | 0.72 | 0.60 | 0.65 | 0.58 | 0.47 | 0.60 | 0.70 | 0.33 | 0.67 | 0.77 |
T：全體平均答對數 PH：高分組通過率 PL：低分組通過率 P：試題難度 D：鑑別指數
1.就鑑別指數分析：D值介於0.30~0.39間的有第3.8.10.23四題，可稍做修改。其他21道題目D值在0.56～0.79間，就鑑別度而言均屬優良題目。
2.就題目難度分析：第3.10較難外，許多題目過於簡單，如第5.6.7.12.15.16.17.18.21.22.25題均是。
3.題目第2.5.6.7.15.16.17.22.25題高分組幾乎全部通過(PH>97.5)，題目太過簡單，似乎對學生沒有刺激思考和推理的幫助。第5題低分組有近42%的同學答對，更應該修正。
4.個別題目修正分析：
(1)第5題（PH：97.7% PL：41.9% P：.70 ）題目太簡單
【評述】將一個證明推理簡化到判斷欠缺一個公共角的選擇，只要最基本的概念即可勝任。
【修正建議】：
1.題目改為證明題。（仍是一個簡單的證明題）
2.若仍為選擇題，將
=
改為選項，較能測驗學生運用已知條件推理的能力。
(2)第3題（T：25.8% PH：53.5% PL：18.6% P：.36 D：.35 ） 題目稍難
【評述】命題的前提是將30-60-90度三角形邊長比例當成公式應用，加上需要畫輔助線，對一般同學而言較難。
【修正建議】：
1.基本思考是不鼓勵背太多套裝公式，建議考到畢氏定理應用即可。
2.
60度特別角推算出
的高後，再由面積逆推
，應考慮分段給分，因此改以計算題形式較佳。
(3)第10題（T：26.4% PH：53.5% PL：16.3% P：.35 D：.37 ） 題目稍難
【評述】由於誘答項(甲)(乙)均需證明不成立，學生又易受6.8數據影響，產生6.8.10為直角三角形的錯覺。即使沒有上述障礙，要應用角平分線到兩邊等距觀念計算也屬應用層次的能力。
【修正建議】：
1.改變數據。
2.選項改變為對面積的選擇。
(4)第8題（P：.43 D：.30 ）
【評述】四個選項個別均需做推理判斷，因此其實是個複選題。
【修正建議】：
1.以證明題方式評量。
2.若分成若干小題時，應該分別給分。
(5)第23題（P：.53 D：.33 ）
【評述】本題考的是有關等腰三角形的觀念，但是錯誤項是題意的陷阱，就數學的角度而言意義不大，反而形成考驗文字的解讀能力，最令人擔心的是誤導學生的學習方向。
【修正建議】：將【兩邊上的高相等】改為【任兩邊上的高相等】
(6)第22題（T：67.3% PH：97.7% PL：27.9% P：.63 D：.70 ）
【評述】此題目對於擁有證明能力或能針對誘答選項進行推理的學生而言，並不困難，只有對被題目長度嚇住的或是程度差者無法選出正確答案。
【修正建議】：
1.改為填充題，更能促初學生的觀念。
2.若要瞭解學生是否擁有完整的證題觀念，則以直接考證明題為宜。
伍、整體分析
1.從數據來觀察：及格人數83人，在159人中及格率52.2%。與考題大多數鑑別度高有關，缺乏一般性單純觀念的考題，加上每題配分4分頗重，不利於數理能力較弱的學生。
2.命題實應做雙向細目表，進一步需分配易、中、難不同難易度的題數。此次命題就「記憶、理解、應用、分析、綜合、評鑑」六層次而言，較著重在後面幾項，數學知識、概念的前二項能力很少出現，應給予學習成效較差的學生更多的鼓勵。
3.為了配合基本學力測驗的題型，期末「幾何與證明」測驗題型，不考證明題和計算題，僅考選擇題，對教學目標是否達成的檢驗目的將會落空，教師也無法觀察到學生證明題証法敘寫的學習狀況，進一步的影響是對學生學習方向恐怕產生誤導作用。（就數學而言，基本學力測驗只考選擇題，是無法檢測學生數學溝通、表達的能力的）。
陸、分享與建議
（一）考試與教學
考試是教學的一個部分，透過好的評量機制，能夠回饋教師教學的效果。「考試領導教學」是目前難以大幅度改變的觀念，因此妥善的規劃評量試題，仍能帶動教與學的改變，但是這部分有賴教師積極的成長方能進步。
（二）基測與階段考
無可諱言的，升學的期待不減，學力測驗的壓力一定存在。教師當然也需要瞭解學力指標和基測的方向，不應該墨守陳規，把一些過時、無意義的題目拿出來折磨學生。回到教學現場，協助三年級學生體察學測趨勢，重視理解、和生活結合是有其必要的，但是因此而偏廢數學的學習內涵，則就顯得顛倒了。
（三）建議總結性的階段評量，做下列考慮
1.應該慎重其事的分析學生應該具有的能力，再適度的分布在考題內。
2.題型應該依數學課程發展的需求規劃。
3.不要忽視基本觀念的檢視。
4.評量結果應該在後續的教學研究會中探討、分析。
當然在各校的階段評量和做心理測驗的評量，也應有所不同。在心理測驗的命題要完全講求信、效度和鑑別度，但是學校內的階段性考試應該還要考慮到結果對學生的影響。因此部分鑑別度雖低、難度也低的基本原理原則或知識，也應斟酌列入命題內，一方面了解學習成效不佳的學生反應，另一方面也鼓勵成績較差的學生能踏實的繼續努力，這部分不屬於本分析的探討範圍，但仍提醒教師們列入參考。
柒、附件
◎國中國三第一學期第三次階段評量試卷及解答
捌、參考文獻
國立編譯館（民91）。國民中學數學課本（5）。台北市：編者。
國立編譯館（民91）。國民中學數學教師手冊（5）。台北市：編者。
台灣省政府教育廳（民71）。國民中學數學科學習成就評量理論與命題示例。台北：台灣省國民學校教師研習會。
台北市政府教育局（民79）。段考評量改進工作專輯（上下冊）。台北市：編者。
附件一臺北縣立◎◎國民中學九十一學年度第一學期第三階段考試三年級數學科試題卷 P1 | ||
說明：1、本試卷共25題選擇題，每題4分，共100分。 2、試題中的圖形僅供參考，若比例有誤則以題目中的數據為準。 | ||
1. | 如 | |
2. | 如圖(二)，中山文化樂園有A、B、C三大主題遊樂區，並在各區之間有鐵道相連接，今欲建遊客中心及游泳池，並依園方規定，遊客中心需與各鐵道間的距離相等，而游泳池要和三大遊樂區等距離，試問遊客中心和游泳池分別應蓋在△ABC的什麼位置上？（課本P153） |
|
3. | 如圖(三)，△ABC中，∠BAC＝60o且 8
|
|
4. | 如圖(四)，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交於P點，過P點作 | |
5. | 如圖(五)，在△ABC中， 在 又因為(甲) 且 ∴ △ABD 故 甲：∠ADB＝∠AEC＝90o；乙：RHS。甲：∠ABD＝ | |
P2 | ||
6. | 如 已知 故 你認為應加上那一個條件後，才能使證明過程完整？（課本P131）
| |
7. | 如圖(七)，△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB＝90o＝ ∠
又因∠ACB＝90o＝∠DCE， ∴∠ACB＋(甲) ＝∠DCE＋(乙) ，即∠BCD＝(丙) ， ∴△BCD 請選出正確者為？（課本P130） 甲：∠CBD 乙：∠CED 丙：∠CAE 丁：SAS。 | |
8. | 如
請選出正確者為？（課本3－2） 甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁甲、乙、丙、丁 | |
9. | 如圖(九)，今有邊長為12的正方形ABCD的紙一張，以下列步驟摺紙： 將正方形ABCD先對摺，使兩半完全疊合，後攤開，出現摺痕 再 則
| |
P3 | ||
10. | 如
何者正確者？（課本自我評量3－2） 丁丙乙甲 | |
11. | 今有直角三角形的紙一張，兩股長分別是6公分及8公分，欲在這張紙上剪下一個最大的圓， 10公分5公分4公分2公分 | |
12. | 如 (甲)
(乙) △BGD的面積是△AOG面積的2倍 (丙)
(丁)
請選出錯誤者為？ （課本P167） 甲、乙乙、丙丙、丁甲、丁 | |
13. | △ABC的面積是30，其內切圓的半徑是3，則△ABC的周長為？（課本P159） 20 15 10 5 | |
14. | 如圖(十二)，O為等腰△ABC的外心，且
( 請選出正確者為？ （習作P41） 甲、乙、丙乙、丙、丁甲、丙、丁甲、乙、丙、丁 | |
P4 | ||
15. | △ABC中，O為內心，則下列敘述中：
請選出正確者為？ （習作P41） 甲、乙乙、丙丙、丁甲、丁 | |
16. | 如 (甲)r＝4 (乙) R＝10(丙)R－r＝3(丁)R＋r＝7 請選出正確者為？ （課本P162） 甲 | |
17. | 如圖(十四)，已知O為△ABC的外心，圓O是△ABC的外接圓，且∠ABC＝50o，∠ACB＝70o，則∠BOC＝？度。（課本P156） 120o 130o 150o 160o | |
18. | 在 (甲)O(3 , 4) (乙)O(4 , 3)(丙)
G( 請選出正確者為？ （習作3－3） 甲、乙乙、丙丙、丁甲、丁 | |
19. | 如
| |
20. | 如圖(十七)，ABCD為平行四邊形， | |
21. | 如 H為 X Y Z W | |
P5 | ||
22. | 如 求證：△ADE
證明：1.
∵ABCD是正方形，∴ (甲) 3. 4.
∴△ADE
從下列選項中，選出可填入(甲)中的正確證明過程。（課本3－2） ∵ ∵ L ∵∠7=90°，∠5=∠6=90°∴∠2=∠3 ∵∠7=∠5=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3，∴∠1=∠3 | |
23. | 下列有關等腰三角形的敘述，何者錯誤？（課本3－2） 兩腰上的中線長相等 兩邊上的高相等 兩底角的平分線等長 | |
24. | 如 20 30 40 60 | |
25. | 如 13
| |
圖
等距離，這個點
之平分線
之平分線
之平分線
＝
平方公分，則
10
∥
，已知
，
，
，則△
＝
和
均為中線，以下是證明
△
圖
圖
⊥
，
⊥
⊥
將
，出現摺痕
。
＝？（課本
圖
是∠
⊥
圖
＋
＝
⊥
圖
⊥
⊥
⊥
，若
、乙乙、丙丙、丁甲、丁
直角坐標平面上，直線
, 2)(
圖
＝？（習作
圖
四等分，
：
之中點。下列哪一個點為△
圖
⊥
)
圖
＝
圖
＝
＝
臺北縣立◎◎國民中學九十一學年度第一學期第三階段考試三年級數學科參考答案
選擇題： (每題四分，共100分)
（1） | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | (8) | (9) | (10) |
D | A | D | A | C | B | D | B | D | B |
(11) | (12) | (13) | (14) | (15) | (16) | (17) | (18) | (19) | (20) |
C | B | A | A | C | C | A | B | C | D |
(21) | (22) | (23) | (24) | (25) | |||||
C | D | A | D | C | |||||