複式評量－以三角形與多邊形的邊角關係為例
高雄縣梓官國中 蔡長霖
高雄縣寶來國中 姚谷樺
壹、前言
九年一貫課程強調希望學生能學習帶著走的數學能力，以解決日常生活中的數學問題，而評量的方式，希望由傳統的紙筆測驗轉而成為多元評量。多元評量的方式有複式評量、數學寫作、實作評量……等方式，都是希望藉由各種不同的評量方式，能培養學生一些除了考試以外的能力，進而讓學生瞭解數學、喜歡數學。複式評量是以最接近傳統評量的方式，讓學生在數學改錯的過程中，提供反思的機會，發展數學的概念，強化已學習數學的能力，提供學生成功的學習成就經驗機會。
貳、評量目標
1.能使用三角形內角和為180度，做簡單的角度計算。
2.能利用三角形外角和為360度，並做簡單的角度計算。
3.能利用多邊形外角和為360度，瞭解正多邊形的邊角關係。
4.能利用三角形外角定理，計算內角及外角的角度。
參、適用年級
國中二年級
肆、實施流程
1.實施流程：
教學→第一次測驗（前測）→補救教學（試題檢討）→選題→組卷→第二次測驗（後測）→分析前後測學生的學習進步情形。
2.選題：學生作答錯誤及正確的代表性題目。
(如時間允許，最好是將數次前測之試題合起來一起選題，
如此選出的題目較具代表性，且可節省後測所花的時間。)
3.組卷：針對學生前測中各題作答過程的正確與錯誤且具有代表性的題目重新組卷，並經過補救教學（檢討）後，再進行後測。
所謂第一次測驗（前測），就像我們ㄧ般的小考ㄧ樣，將教師想要學生學會的教學目標融入在考試的題目中；如附件中：3.已知一三角形中有兩個內角為54°、39°，則第三個內角的外角是幾度？這個題目希望學生學會〝三角形外角定理〞，利用〝某外角等於其內對角之和〞，求出此外角。
若學生並未求出正確答案，或無法運用外角定理，則再依據學生的需要實施補救教學，之後，重新選題，組卷，選擇適當時間進行第二次測驗（後測）。
在第二次測驗（後測）中，這裡所採取的方式，並非直接給學生如第ㄧ次測驗般的空白考卷，而是，就像要讓學生批改他人試卷一般，給其已作答之考卷，當然，此份考卷是教師所設計的，並非由學生填寫。希望學生能以改正錯誤的方式達到教學目標。如附件中：
3. 已知一三角形中有兩個內角為54°、39°，則第三個內角的外角是幾度？
【解】 180－54－39＝87
360－87＝273
A：273°
第二次測驗（後測）的目的，是希望學生能經由補教教學的過程，達成教學目標。所以希望學生可找出此題的問題所在，如上述附件中所示，此題之正確解答應為
54＋39＝93A：93°
應利用外角定理求解為最佳。若學生在第二次測驗（後測）時能找出此一錯誤，將之糾正，則表示教學目標已達到；反之，若學生仍無法看出錯誤或不會使用外角定理，則表示教學目標未達成，應改進教學方法或再次進行補教教學。
伍、評量精神
1.採兼具形成性評量、診斷性評量的精神為主要目的與解釋結果。
2.後測（第二次測驗）旨在讓學生針對各題的解題過程與結果，指出哪些是對的？哪些是錯誤的？並提出建議做法，以呈現學生經過補救教學後的瞭解情形及後續發展成就，並藉由他人的解題過程發表自己的見解、欣賞多元與尊重他人的情操，更進而提供學生溝通與反思的機會，以增進學習的效果。
3.結合教學與評量，兼顧過程與結果、質與量的評量。
4.第一次評量與第二次評量之間務必要進行補救教學或試題檢討。
陸、複式評量內容---紙筆前測、後測試題
如附件
柒、評量標準
以本次評量為例：
1.前測10題，每題10分，共100分。
2.後測10題，每題1分，共10分。每批改正確一題，獲0.5分，全部批改正確可得5分。解說或建議確實合理者，每一題最高可得1分，最多計分5題，解說或建議超過5題者，根據前5題評分。
捌、學生表現分析
1.學生在前測時，考的不太理想，平均只有21分，答對題數為2.1題。
2.在經過試題檢討及補救教學後，在後測時，平均得分為4.2分（滿分10分），比較前測，在觀念辨析上有所提升及進步。但也有學生在前測考高分，但在後測卻略有下降，可能顯示該學生並未完全瞭解題意。其餘如附件。
附註：本複式評量由高雄縣國教輔導團數學領域國中組輔導員共同參與，蔡長霖（六龜中學）主持設計並實施，姚谷樺（寶來國中）協同設計、研修。
玖、分享與建議
1.複式評量是多元評量中的一種方式，它希望能讓學生在做數學改錯的過程中，從中辨析自己的觀念。而在使用的結果上，作者發現在中間程度的孩子有一定程度的參與，這是作者在傳統紙筆測驗中所難以見到的。
2.複式評量相較於傳統的紙筆測驗，可以使老師能更瞭解學生的錯誤，但是在組卷的過程，較為花費老師的時間；且老師要去看學生的錯誤類型時，學生不見得有寫，是其中的困難處。
3.在附件中所列出的複式評量中，由於需要挑出錯誤所在，與一般傳統的紙筆測驗有些許不同，學生可獲得新鮮感；而比較起來，用找出錯誤的方式來測驗，也會比直接填寫答案容易，也比較不會使學生有直接放棄的心態，而增加其成就感。
4.無論哪一種評量，最終目的，都是為了使學生達到其教學目標，而複式評量也不例外，但因為此種方式需耗費較多時間，故教師可依需求在較需要的單元實施，以維持教學品質。
附件一： 高雄縣立六龜高級中學九十二學年度第二學期數學科隨堂考（前測） 範圍：三角形與多邊形的邊角關係 班級：
座號： 姓名：
【解】
2.已知一個三角形的三個內角度數比是4：5：6，則其最大角為幾度？
【解】
3.已知一三角形中有兩個內角為54°、39°，則第三個內角的外角是幾度？
【解】
4.在△AB C中，∠A的外角為（3x－10）°，∠B的外角為（2x＋5）°，∠C的外角為100°，則∠ABC是幾度？
【解】
5.在四邊形ABCD中，如果∠A＝∠B＝∠C，而且 ∠D＝135°，則∠A＝？
【解】
6.若正 n 邊形其中的一外角與一內角度數比為 2：3，
則 n ＝？
【解】
7.若一凸邊形的內角和是外角和的2倍，求此多邊形有幾個邊？
【解】
8.若一正多邊形的一內角為144°，則此多邊形的內角和為幾度？
【解】
9.已知一四邊形中有一個內角是直角，其他三個內角度數的比是1：2：3，試求出這四個內角的度數。
【解】
10.△ABC中，∠C的外角是∠C的4倍，求︰
∠C的度數？
【解】
附件二： 高雄縣立六龜高級中學九十二學年度第二學期數學科隨堂考（後測） 範圍：三角形與多邊形的邊角關係 班級： 座號： 姓名：
【說明】次頁為某生作答的考卷。沒有附標準答案，請你批改看看，這張試卷的作答中哪幾題對，哪幾題錯。接著請針對試卷中答錯的題目，給予解說或建議，使試卷的主人能有所收穫。
老師將根據你的批改與建議內容給分，滿分10分，給分標準如下：
1.此張試卷共十題，每批改正確一題，獲0.5分，全部批改正確可得5分。
2.為試卷主人所做的解說或建議確實合理者，每一題最高可得1分，最多計分5題，解說或建議超過5題者，根據前5題評分。
3.請直接在原試卷上批改，並將「原作答錯誤之處」及「解說與建議」寫在以下的表格內。
題號 | 原作答正確與否 | 原作答錯誤之處 | 解說與建議 | 得分 |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 | ||||
5 | ||||
6 | ||||
7 | ||||
8 | ||||
9 | ||||
10 | ||||
總 分 | ||||
附件二： 高雄縣立六龜高級中學九十二學年度第二學期數學科隨堂考（後測） 範圍：三角形與多邊形的邊角關係 班級： 座號： 姓名：
1. 若一等腰三角形頂角是80°，則一底角為幾度？
【解】80×2＝160
180－160＝20
A：20度
2. 已知一個三角形的三個內角度數比是4：5：6，則其最大角為幾度？
【解】設三個內角度數為4r°、5r°、6r°
4r＋5r＋6r＝180
15r＝180
r＝12
6×12＝72
A：最大的角是72°
3. 已知一三角形中有兩個內角為54°、39°，則第三個內角的外角是幾度？
【解】180－54－39＝87
360－87＝273
A：273°
4. 在△AB C中，∠A的外角為（3x－10）°，∠B的外角為（2x＋5）°，∠C的外角為100°，則∠ABC是幾度？
【解】
（3x－10）＋（2x＋5）＋100＝180
5x＋95＝180
5x＝85
x＝17
2×17＋5＝39
A：39°
5. 在四邊形ABCD中，如果∠A＝∠B＝∠C，而且∠D＝135°，則∠A＝？
【解】180－135＝45
45÷3＝15
A：15°
6. 若正n 邊形其中的一外角與一內角度數比為2：3，
則n ＝？
【解】設外角2r°、內角3r°
2r＋3r＝180
5r＝180
r＝36
外角2×36＝72°
n＝360÷72＝5 A：n＝5
7. 若一凸邊形的內角和是外角和的2倍，求此多邊形有幾個邊？
【解】360×2＝720
720÷180＝4
A：4個邊
8. 若一正多邊形的一內角為144°，則此多邊形的內角和為幾度？
【解】外角180°－144°＝36°
360÷36＝10
∴是正10邊形
（10－2）×180°＝1440°
A:1440°
9. 已知一四邊形中有一個內角是直角，其他三個內角度數的比是1：2：3，試求出這四個內角的度數。
【解】360－90＝270
設三內角是r°、2r°、3r°
r＋2r＋3r＝270
6r＝270
r＝45
2×45＝90
3×45＝135 A：90°、45°、90°、135°
10. △ABC中，∠C的外角是∠C的4倍，求︰
∠C的度數？
【解】設∠C＝x°，∠C的外角＝4x°
x ＋4x＝180
5x＝180
x＝36
A：36°
附件三：複式評量成績及分析
座號 | 前測成績 | 前測答對題數 | 後測分數 |
1 | 0 | 0 | 3 |
2 | 90 | 9 | 8 |
3 | 0 | 0 | 3 |
4 | 10 | 1 | 5.5 |
5 | 0 | 0 | 5 |
6 | 40 | 4 | 5.5 |
7 | 0 | 0 | 1 |
8 | 0 | 0 | 3 |
9 | 0 | 0 | 3.5 |
10 | 0 | 0 | 3.5 |
11 | 0 | 0 | 4 |
12 | 100 | 10 | 8 |
13 | 80 | 8 | 10 |
14 | 10 | 1 | 4 |
15 | 0 | 0 | 3.5 |
16 | 20 | 2 | 6.5 |
17 | 10 | 1 | 4.5 |
18 | 0 | 0 | 0 |
19 | 0 | 0 | 0 |
20 | 0 | 0 | 7 |
21 | 10 | 1 | 3 |
22 | 0 | 0 | 6.5 |
23 | 40 | 4 | 5 |
24 | 80 | 8 | 10 |
25 | 0 | 0 | 0 |
26 | 10 | 1 | 4 |
27 | 0 | 0 | 0 |
28 | 0 | 0 | 1.5 |
29 | 0 | 0 | 3 |
30 | 90 | 9 | 9.5 |
31 | 70 | 7 | 9.5 |
32 | 90 | 9 | 10 |
33 | 0 | 0 | 3.5 |
34 | 0 | 0 | 0 |
35 | 0 | 0 | 0 |
36 | 30 | 3 | 3.5 |
37 | 30 | 3 | 3.5 |
38 | 0 | 0 | 0 |
統計 | 21.3 | 2.1 | 4.2 |
