正弦定理與餘弦定理:二邊角面積公式及應用

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國立台灣師大附中高一下補充教材 Ch2-5 正弦定理與餘弦定理

 

重點一 二邊角面積公式及正弦定理 

 

1. 二邊角面積公式: 

ABC

Δ

之面積以

a ABC

Δ

Δ 表示,

AB

c

=

BC

a

=

CA

b

=

 

a ABC

Δ

=

 

1

(

2

Δ = ×

×高

1

a (b sin C))

2

= ⋅ ⋅

 

2. 正弦定理: 

   設

ABC

Δ

的外接圓半徑記為 R , 

AB

c

=

BC

a

=

CA

b

=

 

 

 

(由

1

1

1

a ABC

ab sin C

bc sin A

ca sin B

2

2

2

Δ

=

=

=

2

abc

乘之可得) 

 

 

例題演練 

例題 1. 在

ABC

Δ

中,若 a, b, c, 分別表 A

∠ , B

∠ ,

C

的對邊長,依下列各條件求

ABC

Δ

 

的面積。 

       (1)

b

5

=

,

c

6

=

o

A

60

∠ =

  (2)

a

7

=

b

10

=

o

C

45

∠ =

 

 
 
 
 
 
 
 

例題 2. 在半徑為 4 之一圓上取三點 A , B ,

C

使

AB

之度數: BC 之度數: CA 之度數為

3 : 4 : 5

 , 則

ABC

Δ

之面積為

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

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例題 3. 設 a, b, c, 為

ABC

Δ

之三邊長, 且

a

b 2b

0

+ −

=

3a

4b 5c

0

+

=

, 求 

       

sin A : sin B : sin C

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
例題 4. 

ABC

Δ

中, 

o

B

55

∠ =

o

C

65

∠ =

a

10

=

, 則

ABC

Δ

的外接圓面積為

。  

 
 
 
 
 
 
 
 

例題 5. 設圓內接四邊形

ABCD

o

CAD

30

=

o

ACB

45

=

CD

2

=

, 求

AB

=

。 

 
 
 
 

 
 
 
 
課後練習 

1. 

ABC

Δ

之外接圓半徑為 4  , 若

AB

度數: BC 度數:CA 度數為

1:1: 4

, 則

ABC

Δ

 之 

面積為

。 

 
 
 
 
 
 
 
 

24.

ABC

Δ

之三邊長為 a, b, c ,外接圓半徑為 R ,若 a, b, c 均小於 3 R ,則

ABC

Δ

必為 

   (A)銳角三角形  (B)鈍角三角形  (C)直角三角形  (D)無法判斷 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25.若方程式

3

2

8x

60x

142x 105

0

+

= 的三根分別為 , ,

α β γ ,現以此三根為邊長構成 

一三角形,試求所形成三角形面積。 

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21.

ABC

Δ

中, 各邊

BC

CA

,  AB 的高分別為

a

b

c

h , h , h ,若

a

h

20

=

,

b

h

15

=

,

c

h

12

=

則三邊長

(a, b, c)

=

。 

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 

22.設

ABC

Δ

三邊

BC

,

CA

, AB 上的中線長分別為 5, 6, 7 ,則

ABC

Δ

的面積為

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

23.

ABC

Δ

中,若 AB 4

= ,

AC

5

=

,

BC

6

=

, D, E 為

BC

之三等分點,若

DAE

= θ

   則

cos

θ =

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. 三角形之三內角比為

A : B : C

1: 2 : 3

=

, 則

a : b : c

=

。 

 
 
 
 
 
 

3. 於

ABC

Δ

中, 

AB

5AC

=

P

BC

但異於 B, C 點, 設 R, r 分別表 ABP

Δ

ACP

Δ

之外

接圓半徑, 試求

r

R

之值。 

 
 
 
 
 
 
 

4. 設圓內接四邊形

ABCD

中, 

AB

30

=

o

CAD

CBD

45

= ∠

=

AC

交 BD 於

O

且 

   

o

AOB

75

=

, 則 CD

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 

5. 設圓內接四邊形

ABCD

AB

AD

5

=

=

o

C

90

∠ =

o

D

105

∠ =

, 則 

(1) AC

=

。(2) BD

=

。(3)四邊形

ABCD

面積為

。 

 
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
 

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γ

β

α

E

D

A

B

C

θ

30

°

45

°

45

°

B

D

E

C

A

6. 如右圖,

ABC

Δ

中,

o

C

90

∠ =

,且 AD DE

EB

=

=

   已知

ACD

= α

, DCE

= β , ECB

= γ , 

   則

sin

sin

sin

α ⋅

γ

=

β

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 如右圖所示,已知大圓的半徑是小圓半徑的兩倍, 
   則

θ =

 

 
 

 
 
 
 
 

 

8. 如右圖, D, E 點在

ABC

Δ

BC

邊上, 

   如果

o

ACB

ADC

45

= ∠

=

   試問

ABC

Δ

, ABD

Δ

與 ABE

Δ

的外接圓 

   的半徑

1

2

r , r 與

3

r 的大小關係為何? 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

課後練習 

18.甲,乙,丙三鄉,兩兩相距 4 公里,

6

公里,

8

公里,今欲設一個到三鄉距離相等的公園, 

此距離為

公里。 

 
 
 
 
 
 
 

19.梯形

ABCD

中, 若

AD // BC

AB 13

=

BC

25

=

CD

15

=

,  AD 11

= , 則梯形面 

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

20.

ABC

Δ

中, AB 4

= ,

AC

3

=

,

o

A

60

∠ =

,求: 

   (1)

Δ 的面積

=

。 (2) BC

=

。 (3)

Δ 的外接圓半徑

=

。 

   (4)分角線 AD

=

。(5)中線 AM

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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例題 14.

ABC

Δ

中,已知

BC

5

=

,

CA

7

=

,

AB

8

=

,則最長邊上之中線長為

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

例題 15.

ABC

Δ

之內切圓半徑為 r ,切 BC, CA, AB 於 D, E, F ,

BC

a

=

,

CA

b

=

,

AB

c

=

       

a

b c

s

2

+ +

=

 

(1)求證

(s b)(s c)

A

tan

2

s(s a)

=

。 

       (2) 若 a, b, c 成等差, 則

A

C

tan

tan

2

2

=

。 

       (3)

a DEF

a ABC

Δ

=

Δ

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

重點二 餘弦定理及投影定理 

1. 餘弦定理: 

   

ABC

Δ

中, 

AB

c

=

BC

a

=

CA

b

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

b

c

2bc cos A

b

c

a

2ca cos B

c

a

b

2ab cos C

⎧ =

+ −

=

+

⎪ = + −

 

   並由餘弦定理可得

o

2

2

2

o

2

2

2

o

2

2

2

A

90

a

b

c

A

90

a

b

c

A

90

a

b

c

⎧∠ =

=

+

⎪∠ >

>

+

⎪∠ <

<

+

 (廣義之畢式定理) 

2. 投影定理:

a

b cos C c cos B

b

c cos A

a cos C

c

a cos B b cos A

=

+

⎪ =

+

⎪ =

+

 

 

 

例題演練 

例題 6. 

ABC

Δ

中, 若 (b c) : (c a) : (a b) 6 : 7 : 5

+

+

+

=

, 求最大角的

cos

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

例題 7. 

ABC

Δ

中,  D 在

BC

上且

AB

7

=

BD

3

=

AC

3

=

CD

2

=

, 求 AD

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

background image

例題 8. 四邊形

ABCD

內接於圓, 已知

AB

5

=

BC

5

=

CD

2

=

o

B

60

∠ =

, 求

DA

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
例題 9. 若 (a b c)(a b c) 3ab

+ +

+ − =

, 則

C

∠ =

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
例題 10.

ABC

Δ

中,(1)若

4

2

2

2

4

2

2

4

c

2(a

b )c

a

a b

b

0

+

+

+

+

= , 則

C

∠ =

。 

        (2)若 (sin A sin B sin C)(sin A sin B sin C) 3sin A sin B

+

+

+

=

, 則

C

∠ =

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(4)已知外接圓半徑 R:

abc

4R

Δ =

 

   證明: 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. 相關幾何定理: 

(1)平行四邊形性質定理:平行四邊形各邊的平方和等於對角線的平方和。 

(2)三角形的中線定理:

Δ ABC 中令 AD 為

BC

邊上的中線,則

2

2

2

2

AB

AC

2(AD

BD )

+

=

+

 

(3) 三角形的角平分線:利用面積可求得。 

 

 

例題演練

 

例題 12.設

ABC

Δ

中, 其三邊長為 5, 6, 7 ,求:(1)此三角形之面積 (2)外接圓之半徑  

       (3)內切圓之半徑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
例題 13.設一三角形

ABC

Δ

的三高為 6, 4, 3 ,求:(1)最小角的餘弦 (2)三邊長 

 
 
 
 
 
 
 
 

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重點三 三角形邊角關係的應用 

1. 面積公式: 

(1)已知三邊:

s(s a)(s b)(s c)

Δ =

a

b c

s

2

+ +

=

 (海龍公式) 

   證明: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 

(2)已知兩邊與夾角:

1

1

1

ab sin C

bc sin A

ca sin B

2

2

2

Δ =

=

=

 

 
(3)已知內切圓半徑 r:

rs

Δ =

 

   證明: 
 
 
 
 
 
 
 
 

例題 11.

ABC

Δ

中, a, b, c 表三邊長, 其對角為 A ,  B , C ,若 a

5 1

=

+ ,  b

3 1

=

+ , 

c

5

5

= −

, 則

(b c) cos A

(c a) cos B (a

b) cos C

+

+ +

+ +

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 

課後練習 

9. 

ABC

Δ

中, 若

1

tan A

3

= , 

BC

5

=

,  AC 3 10

=

, 則 AB

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 

10.

ABC

Δ

中, AB 5, BC 6, CA 7

=

=

= ,其內切圓切三邊 BC, CA, AB 於 D, E, F,求

AD

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

11.凸四邊形

ABCD

內接於圓, 已知

AB

BC

3

=

=

CD

5

=

DA

8

=

, 則 BD

=

。 

 
 
 
 
 
 
 
 

background image

G

D

B

F

C

E

A

12.

ABC

Δ

中, 若

3

3

3

3

log (a

b c) log (a

b c) 1 log a

log b

+ + +

+ − = +

+

, 則

C

∠ =

。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.

ABC

Δ

中, 若

a cos A

b cos B

=

, 試證

ABC

Δ

為等腰三角形或直角三角形。 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

14.設

ABC

Δ

中, AB 4

= ,

BC

5

=

,

CA

7

=

,如圖分別 

  

以 AB, BC 為邊向外作正方形 ABDE ,

BCFG

   則

cos( CAE)

=

, DG

=

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

B

C

D

E

A

15.如右圖,已知

ABC

Δ

, AB 4

= ,

BC

6

=

,

CA

5

=

   由

AC

邊作一個正方形

ACDE

,試求 BE 的長

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

16.

ABC

Δ

中,若

b

a

1

a

c

b c

+

=

+

+

,則

C

∠ =

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17.三角形

ABC

之三邊長為

2

x

x 1

+ + , 

2

x

1

− ,  2x 1

+ ,則最大角角度為幾度? 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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