2009-07-06
,离现在 16
年 111
天,建議確認內容是否仍然適用。國立台灣師大附中高一下補充教材 Ch2-5 正弦定理與餘弦定理
重點一 二邊角面積公式及正弦定理
1. 二邊角面積公式:
令
ABC
Δ
之面積以
a ABC
Δ
或
Δ 表示,
AB
c
=
,
BC
a
=
,
CA
b
=
,
則
a ABC
Δ
=
1
(
2
Δ = ×
∵
底
×高
1
a (b sin C))
2
= ⋅ ⋅
2. 正弦定理:
設
ABC
Δ
的外接圓半徑記為 R ,
AB
c
=
,
BC
a
=
,
CA
b
=
,
則
(由
1
1
1
a ABC
ab sin C
bc sin A
ca sin B
2
2
2
Δ
=
=
=
以
2
abc
乘之可得)
例題演練
例題 1. 在
ABC
Δ
中,若 a, b, c, 分別表 A
∠ , B
∠ ,
C
∠
的對邊長,依下列各條件求
ABC
Δ
的面積。
(1)
b
5
=
,
c
6
=
,
o
A
60
∠ =
(2)
a
7
=
,
b
10
=
,
o
C
45
∠ =
例題 2. 在半徑為 4 之一圓上取三點 A , B ,
C
使
AB
之度數: BC 之度數: CA 之度數為
3 : 4 : 5
, 則
ABC
Δ
之面積為
。
例題 3. 設 a, b, c, 為
ABC
Δ
之三邊長, 且
a
b 2b
0
+ −
=
,
3a
4b 5c
0
+
−
=
, 求
sin A : sin B : sin C
=
。
例題 4.
ABC
Δ
中,
o
B
55
∠ =
,
o
C
65
∠ =
,
a
10
=
, 則
ABC
Δ
的外接圓面積為
。
例題 5. 設圓內接四邊形
ABCD
中
o
CAD
30
∠
=
,
o
ACB
45
∠
=
,
CD
2
=
, 求
AB
=
。
課後練習
1.
ABC
Δ
之外接圓半徑為 4 , 若
AB
度數: BC 度數:CA 度數為
1:1: 4
, 則
ABC
Δ
之
面積為
。
24.
ABC
Δ
之三邊長為 a, b, c ,外接圓半徑為 R ,若 a, b, c 均小於 3 R ,則
ABC
Δ
必為
(A)銳角三角形 (B)鈍角三角形 (C)直角三角形 (D)無法判斷
25.若方程式
3
2
8x
60x
142x 105
0
−
+
−
= 的三根分別為 , ,
α β γ ,現以此三根為邊長構成
一三角形,試求所形成三角形面積。
21.
ABC
Δ
中, 各邊
BC
,
CA
, AB 的高分別為
a
b
c
h , h , h ,若
a
h
20
=
,
b
h
15
=
,
c
h
12
=
,
則三邊長
(a, b, c)
=
。
22.設
ABC
Δ
三邊
BC
,
CA
, AB 上的中線長分別為 5, 6, 7 ,則
ABC
Δ
的面積為
。
23.
ABC
Δ
中,若 AB 4
= ,
AC
5
=
,
BC
6
=
, D, E 為
BC
之三等分點,若
DAE
∠
= θ
,
則
cos
θ =
2. 三角形之三內角比為
A : B : C
1: 2 : 3
=
, 則
a : b : c
=
。
3. 於
ABC
Δ
中,
AB
5AC
=
,
P
BC
∈
但異於 B, C 點, 設 R, r 分別表 ABP
Δ
與
ACP
Δ
之外
接圓半徑, 試求
r
R
之值。
4. 設圓內接四邊形
ABCD
中,
AB
30
=
,
o
CAD
CBD
45
∠
= ∠
=
,
AC
交 BD 於
O
且
o
AOB
75
∠
=
, 則 CD
=
。
5. 設圓內接四邊形
ABCD
,
AB
AD
5
=
=
,
o
C
90
∠ =
,
o
D
105
∠ =
, 則
(1) AC
=
。(2) BD
=
。(3)四邊形
ABCD
面積為
。
γ
β
α
E
D
A
B
C
θ
30
°
45
°
45
°
B
D
E
C
A
6. 如右圖,
ABC
Δ
中,
o
C
90
∠ =
,且 AD DE
EB
=
=
,
已知
ACD
∠
= α
, DCE
∠
= β , ECB
∠
= γ ,
則
sin
sin
sin
α ⋅
γ
=
β
7. 如右圖所示,已知大圓的半徑是小圓半徑的兩倍,
則
θ =
8. 如右圖, D, E 點在
ABC
Δ
的
BC
邊上,
如果
o
ACB
ADC
45
∠
= ∠
=
,
試問
ABC
Δ
, ABD
Δ
與 ABE
Δ
的外接圓
的半徑
1
2
r , r 與
3
r 的大小關係為何?
課後練習
18.甲,乙,丙三鄉,兩兩相距 4 公里,
6
公里,
8
公里,今欲設一個到三鄉距離相等的公園,
此距離為
公里。
19.梯形
ABCD
中, 若
AD // BC
且
AB 13
=
,
BC
25
=
,
CD
15
=
, AD 11
= , 則梯形面
積
=
。
20.
ABC
Δ
中, AB 4
= ,
AC
3
=
,
o
A
60
∠ =
,求:
(1)
Δ 的面積
=
。 (2) BC
=
。 (3)
Δ 的外接圓半徑
=
。
(4)分角線 AD
=
。(5)中線 AM
=
。
例題 14.
ABC
Δ
中,已知
BC
5
=
,
CA
7
=
,
AB
8
=
,則最長邊上之中線長為
。
例題 15.
ABC
Δ
之內切圓半徑為 r ,切 BC, CA, AB 於 D, E, F ,
BC
a
=
,
CA
b
=
,
AB
c
=
,
a
b c
s
2
+ +
=
(1)求證
(s b)(s c)
A
tan
2
s(s a)
−
−
=
−
。
(2) 若 a, b, c 成等差, 則
A
C
tan
tan
2
2
⋅
=
。
(3)
a DEF
a ABC
Δ
=
Δ
。
重點二 餘弦定理及投影定理
1. 餘弦定理:
ABC
Δ
中,
AB
c
=
,
BC
a
=
,
CA
b
=
,
則
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
2bc cos A
b
c
a
2ca cos B
c
a
b
2ab cos C
⎧ =
+ −
⎪
=
+
−
⎨
⎪ = + −
⎩
並由餘弦定理可得
o
2
2
2
o
2
2
2
o
2
2
2
A
90
a
b
c
A
90
a
b
c
A
90
a
b
c
⎧∠ =
⇔
=
+
⎪∠ >
⇔
>
+
⎨
⎪∠ <
⇔
<
+
⎩
(廣義之畢式定理)
2. 投影定理:
a
b cos C c cos B
b
c cos A
a cos C
c
a cos B b cos A
=
+
⎧
⎪ =
+
⎨
⎪ =
+
⎩
例題演練
例題 6.
ABC
Δ
中, 若 (b c) : (c a) : (a b) 6 : 7 : 5
+
+
+
=
, 求最大角的
cos
值
=
。
例題 7.
ABC
Δ
中, D 在
BC
上且
AB
7
=
,
BD
3
=
,
AC
3
=
,
CD
2
=
, 求 AD
=
。
例題 8. 四邊形
ABCD
內接於圓, 已知
AB
5
=
,
BC
5
=
,
CD
2
=
,
o
B
60
∠ =
, 求
DA
=
。
例題 9. 若 (a b c)(a b c) 3ab
+ +
+ − =
, 則
C
∠ =
。
例題 10.
ABC
Δ
中,(1)若
4
2
2
2
4
2
2
4
c
2(a
b )c
a
a b
b
0
−
+
+
+
+
= , 則
C
∠ =
。
(2)若 (sin A sin B sin C)(sin A sin B sin C) 3sin A sin B
+
+
+
−
=
, 則
C
∠ =
。
(4)已知外接圓半徑 R:
abc
4R
Δ =
證明:
2. 相關幾何定理:
(1)平行四邊形性質定理:平行四邊形各邊的平方和等於對角線的平方和。
(2)三角形的中線定理:
Δ ABC 中令 AD 為
BC
邊上的中線,則
2
2
2
2
AB
AC
2(AD
BD )
+
=
+
(3) 三角形的角平分線:利用面積可求得。
例題演練
例題 12.設
ABC
Δ
中, 其三邊長為 5, 6, 7 ,求:(1)此三角形之面積 (2)外接圓之半徑
(3)內切圓之半徑
例題 13.設一三角形
ABC
Δ
的三高為 6, 4, 3 ,求:(1)最小角的餘弦 (2)三邊長
重點三 三角形邊角關係的應用
1. 面積公式:
(1)已知三邊:
s(s a)(s b)(s c)
Δ =
−
−
−
,
a
b c
s
2
+ +
=
(海龍公式)
證明:
(2)已知兩邊與夾角:
1
1
1
ab sin C
bc sin A
ca sin B
2
2
2
Δ =
=
=
(3)已知內切圓半徑 r:
rs
Δ =
證明:
例題 11.
ABC
Δ
中, a, b, c 表三邊長, 其對角為 A , B , C ,若 a
5 1
=
+ , b
3 1
=
+ ,
c
5
5
= −
, 則
(b c) cos A
(c a) cos B (a
b) cos C
+
+ +
+ +
=
。
課後練習
9.
ABC
Δ
中, 若
1
tan A
3
= ,
BC
5
=
, AC 3 10
=
, 則 AB
=
。
10.
ABC
Δ
中, AB 5, BC 6, CA 7
=
=
= ,其內切圓切三邊 BC, CA, AB 於 D, E, F,求
AD
=
。
11.凸四邊形
ABCD
內接於圓, 已知
AB
BC
3
=
=
,
CD
5
=
,
DA
8
=
, 則 BD
=
。
G
D
B
F
C
E
A
12.
ABC
Δ
中, 若
3
3
3
3
log (a
b c) log (a
b c) 1 log a
log b
+ + +
+ − = +
+
, 則
C
∠ =
。
13.
ABC
Δ
中, 若
a cos A
b cos B
=
, 試證
ABC
Δ
為等腰三角形或直角三角形。
14.設
ABC
Δ
中, AB 4
= ,
BC
5
=
,
CA
7
=
,如圖分別
以 AB, BC 為邊向外作正方形 ABDE ,
BCFG
,
則
cos( CAE)
∠
=
, DG
=
B
C
D
E
A
15.如右圖,已知
ABC
Δ
, AB 4
= ,
BC
6
=
,
CA
5
=
,
由
AC
邊作一個正方形
ACDE
,試求 BE 的長
16.
ABC
Δ
中,若
b
a
1
a
c
b c
+
=
+
+
,則
C
∠ =
17.三角形
ABC
之三邊長為
2
x
x 1
+ + ,
2
x
1
− , 2x 1
+ ,則最大角角度為幾度?
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