大學入學考試中心
九十五學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：
100 分鐘
題型題數：
單選題 5 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 I 題共 9 題
作答方式：•
用
2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
•
答錯不倒扣
作答說明：
在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
（一）填答選擇題時，只用
1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到
−，±，以及 6，7，
8，9，0 等格子。
例：若第
1 題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即
選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：
解 答 欄
例：若多選題第
10 題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列的
與 劃記，如：
（二）選填題的題號是
A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題
的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第 B 題的答案格式是
，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第
18 列的 與第 19 列的 劃記，如：
例：若第
C 題的答案格式是 ，而答案是
50
7
−
時，則考生必須分別在答
案卡的第
20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
1
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
18
1
2 3 4
5
6
7
8
9
0
−
±
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
20
1
2 3 4
5
6
7
8
9
0
−
±
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
3
3
7
−
8
20 21
50
18
19
3
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1 頁
95 學年度
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數學考科
-1-
第 一 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔 5 5 分 ）
壹 、 單 選 題 （ 佔 2 5 分 ）
說明：第
1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得
5 分，答錯不倒扣。
1. 設一元二次整係數方程式
2
0
ax
bx c
+
+ =
有一根為
4 3i
+
。若將此方程式的兩根與原點在
複數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為
(1)
5
(2)
6
(3) 12 (4)
16
(5) 24
2.
在右圖的棋盤方格中，隨機任意取兩個格子。選出
的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）的機率為
(1)
1
20
(2)
1
4
(3)
3
4
(4)
3
5
(5)
4
5
3.
右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且
8
OD
=
。
問：直角三角形
OAB
的高
AB
為何？
(1)
1
(2)
6
2
−
(3)
7 1
−
(4)
3
(5)
2
4.
下列哪一個數值最接近
2
？
(1)
3 cos 44
sin 44
° +
°
(2)
3 cos54
sin 54
° +
°
(3)
3 cos 64
sin 64
° +
°
(4)
3 cos 74
sin 74
° +
°
(5)
3 cos84
sin 84
° +
°
8
O
A
B
C
D
15°
15°
30°
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數學考科
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7 頁
- 2 -
5.
在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌
A
的數量每兩個小
時可以成長為兩倍，細菌
B
的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種
細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌
B
的數量除以細菌
A
的數量最接近
10
？
(1) 24 小時。
(2) 48 小時。
(3) 69 小時。
(4) 96 小時。
(5) 117 小時。
貳 、 多 選 題
（ 佔 3 0 分 ）
說明：第
6 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確
選項標示在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得
5 分，只錯
一個選項可得
2.5 分，錯兩個或兩個以上選項不給分。
6.
假設
, ,
a b c
是三個正整數。若 25 是
,
a b
的最大公因數，且
3, 4,14
都是
,
b c
的公因
數，則下列何者正確？
(1)
c
一定可以被 56 整除。
(2)
2100
b
≥
。
(3) 若
100
a
≤
，則
25
a
=
。
(4)
, ,
a b c
三個數的最大公因數是 25 的因數。
(5)
, ,
a b c
三個數的最小公倍數大於或等於
25 3 4 14
× × ×
。
7.
考慮坐標平面上所有滿足
2
2
2
2
(
2)
(
2)
(
4)
10
x
y
x
y
−
+
+
−
+
+
=
的點
( , )
x y
所成的圖
形，下列敘述何者正確？
(1) 此圖形為一橢圓。
(2) 此圖形為一雙曲線。
(3) 此圖形的中心在
(2, 2)
−
。
(4) 此圖形對稱於
2 0
x
− =
。
(5) 此圖形有一頂點
(2,3)
。
8.
假設實數
1
2
3
4
, , ,
a a a a
是一個等差數列，且滿足
1
0
2
a
< <
及
3
4
a
=
。若定義
2
n
a
n
b
=
，
則以下哪些選項是對的？
(1)
1
2
3
4
, , ,
b b b b
是一個等比數列。
(2)
1
2
b
b
<
。
(3)
2
4
b
>
。
(4)
4
32
b
>
。
(5)
2
4
256
b b
× =
。
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3 頁
95 學年度
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數學考科
-3-
9.
學生練習計算三次多項式
( )
f x
除以一次多項式
( )
g x
的餘式。已知
( )
f x
的三次項係數
為
3
，一次項係數為
2
。甲生在計算時把
( )
f x
的三次項係數錯看成
2
（其它係數沒看
錯），乙生在計算時把
( )
f x
的一次項係數錯看成
2
−
（其它係數沒看錯）。而甲生和乙生
算出來的餘式剛好一樣。試問
( )
g x
可能等於以下哪些一次式？
(1)
x
(2)
1
x
−
(3)
2
x
−
(4)
1
x
+
(5)
2
x
+
10.
下圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖（圖中百分比數字代表各體重區間的相對次
數，其中各區間不包含左端點而包含右端點）
。該 100 名婦女體重的平均數為 55 公斤，標
準差為 12.5 公斤。曲線 N 代表一常態分
佈
，其平均數與標準差與樣本值相同。在此樣本中，
若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數 2 個標準差以上（即體重超過 80 公斤以
上）
，則下列敘述哪些正確?
體 重 (公 斤)
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
相
對
次
數
20%
24%
12%
6%
5%
33%
N
(1) 曲線 N（常態分佈）中，在 55 公斤以上所佔的比例約為 50%。
(2) 曲線 N（常態分佈）中，在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5%。
(3) 該樣本中，體重的中位數大於 55 公斤。
(4) 該樣本中，體重的第一四分位數大於 45 公斤。
(5)
該
樣本中，
「體重過重」
（體重超過 80 公斤以上）的比例大於或等於 5%。
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4 頁
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- 4 -
11.
將正整數
18
分解成兩個正整數的乘積有
1 18, 2 9,3 6
×
×
×
三種，又
3 6
×
是這三種分解中，兩數的差最小的，我們稱
3 6
×
為
18
的最佳分解。當
(
)
p q p q
×
≤
是正整數
n
的最佳分解時，我們規定函數
( )
p
F n
q
=
，例如
3
1
(18)
6
2
F
= =
。
下列有關函數
( )
F n
的敘述，何者正確？
(1)
(4) 1
F
=
。
(2)
3
(24)
8
F
=
。
(3)
1
(27)
3
F
=
。
(4) 若
n
是一個質數，則
1
( )
F n
n
=
。
(5) 若
n
是一個完全平方數，則
( ) 1
F n
=
。
第 二 部 分 ： 選 填 題
（ 佔 4 5 分 ）
說明：
1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–32)。
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.
抽樣調查某地區 1000 個有兩個小孩的家庭，得到如下數據，其中（男，女）代表第一個小
孩是男孩而第二個小孩是女生的家庭，餘類推。
家庭別
家庭數
（男，男）
261
（男，女）
249
（女，男）
255
（女，女）
235
由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男、女孩性別比約為
⑫⑬⑭
:100
（四捨五入至整數位）
。
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數學考科
-5-
B.
下圖為一正立方體，若
M 在線段
AB 上，
2
BM
AM
=
，
N 為線段
BC
之中點，則
cos
10
MON
∠
=
⑮
⑰
⑯
。
（分數要化成最簡分數）
C.
給定平面上三點
( 6, 2),(2, 1),(1, 2)
− −
−
。若有第四點和此三點形成一菱形（四邊長皆
相等）
，則第四點的坐標為
(
)
,
⑱ ⑲
。
D.
如圖所示，
ABCD
為圓內接四邊形：
若
30 ,
45 ,
6
DBC
ABD
CD
∠
= ° ∠
=
°
= ，則
線段
AD
=
E.
新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該鞋店共有八款
鞋可供選擇，其價格如下：
款式
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
價格
670
670
700
700
700
800
800
800
規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、乙兩款鞋
之一）
。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法一共有
種。
23
22
。
21
20
A
B
D
C
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6 頁
數學考科
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- 6 -
F.
某地共有 9 個電視頻道，將其分配給 3 個新聞台、4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型。
若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道的分配方式共有
G.
用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：
拼第
95 個圖需用到
塊白色地磚。
H.
在三角形
ABC
中，若
D 點在
BC
邊上，且
7,
13,
7,
8
AB
AC
BD
CD
=
=
=
= ，則
I.
設
(0,0), (10,0), (10,6), (0,6)
A
B
C
D
為坐標平面上的四個點。如果直線
(
7) 4
y m x
=
− +
將四邊形
ABCD
分成面積相等的兩塊，那麼
第 1 個
第 2 個
第 3 個
29
28
27
種。
26
25
24
A D =
30
。
（化 成 最 簡 分 數）。
m =
32
31
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數學考科
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參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1.
一元二次方程式
2
0
ax
bx c
+
+ = 的公式解：
a
ac
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=
2.
平面上兩點
P
1
(
)
1
1
, y
x
，
P
2
(
)
x y
2
2
,
間的距離為
P P
x
x
y
y
1 2
2
1
2
2
1
2
=
−
+
−
(
)
(
)
3.
通過
(
)
1
1
,
y
x
與
(
)
x y
2
2
,
的直線斜率
2
1
2
1
y
y
m
x
x
−
=
−
,
2
1
x
x
≠ .
4.
等比數列
1
k
ar
−
的前
n 項之和
(1
)
,
1.
1
n
n
a
r
S
r
r
⋅ −
=
≠
−
5.
三角函數的公式：
sin(
) sin cos
sin cos
A B
A
B
B
A
+
=
+
cos(
) cos cos
sin sin
A B
A
B
A
B
+
=
−
sin 2
2sin cos
θ
θ
θ
=
6.
∆ABC 的正弦定理：
sin
sin
sin
1
,
2
A
B
C
a
b
c
R
=
=
=
R
是外接圓半徑。
∆ABC 的餘弦定理：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
7.
棣美弗定理
: 設
(
)
cos
sin
z r
i
θ
θ
=
+
，則
(
)
z
r
n
i
n
n
n
=
+
cos
sin
θ
θ
，
n
為一正整數
8.
算術平均數：
1
2
1
1
1
(
)
(
)
n
n
i
i
M
X
x
x
x
x
n
n
=
=
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
=
∑
(樣本)標準差：
2
2
2
1
1
1
1
(
)
((
)
)
1
1
n
n
i
i
i
i
S
x
X
x
n X
n
n
=
=
=
−
=
−
∑
∑
−
−
9.
參考數值：
0.3010 ; log 3 0.4771 ; sin15
;
6
2
6
2
log 2
cos15
4
4
≈
≈
° =
−
+
° =
10. 常態分佈：常態分佈的資料對稱於平均數
µ
，且當標準差為
S
時，該資料大約有
68% 落在區間
(
,
)
S
S
µ
µ
−
+
內，約有 95% 落在區間
(
2 ,
2 )
S
S
µ
µ
−
+
內，約有
99.7% 落在區間
(
3 ,
3 )
S
S
µ
µ
−
+
內。