大學入學考試中心
學 科能力 測驗 參考試 卷
（
111 學年度起適用）
數學
A考科
作答注意事項
考試時間：
100分鐘
作答方式：
˙選擇題用
2B 鉛筆在「答題卷」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。
˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答題卷」上作答；更正時，可以使用修正液（帶）
。
˙考生須依上述規定畫記或作答，若未依規定而導致答案難以辨識或評閱時，恐將影響考生
成績並傷及權益。
˙答題卷每人一張，不得要求增補。
˙選填題考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面
的例子。
例：若答案格式是
，而依題意計算出來的答案是 3
8
，則考生必須分別在答案卡上的
第
18-1 列的 與第 18-2 列的 畫記，如：
例：若答案格式是
，而答案是
7
50
−
時，則考生必須分別在答案卡的第
19-1 列的
與第
19-2 列的 畫記，如：
選擇
(填)題計分方式：
˙單選題：每題有
n個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題的
分數；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
˙多選題：每題有
n個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選
項均答對者，得該題全部的分數；答錯
k個選項者，得該題
2
n
k
n
−
的分數；但得分低於零
分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
˙選填題每題有
n個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。
※試題中參考的附圖均為示意圖，試題後附有參考公式及數值。
18-1
18-2
3
7
−
8
著作權屬財團法人大學入學考試中心基金會所有，僅供非營
利目的使用，轉載請註明出處。若作為營利目的使用，應事
前經由財團法人大學入學考試中心基金會書面同意授權。
19-1 19-2
50
18-1
−
±
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
−
±
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
18-2
19-1
−
±
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
−
±
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
19-2
大學入學考試中心
學科能力測驗（111 學年度起適用）
數學考科
參考試卷說明
本參考試卷為
111 學年度起適用之學科能力測驗數學考科參考試卷。大考中心依據
（
1）108 學年度開始實施之「十二年國民基本教育課程綱要國民中小學暨普通型高級中
等學校
—
數學領域」
，以及（
2）本中心所公布之 111 學年度起適用之「學科能力測驗數學
考科考試說明」
，二份文件所揭櫫之理念與目標而設計。
一、測驗科目與範圍
因應數學領綱 A、B 類的設計，招聯會提出的多元入學新方案， 111 年之後的
學科能力測驗數學考科分為數學 A、數學 B 考科。其測驗範圍如下（詳細內容可參
見學科能力測驗考試說明）。
二、題型、架構與配分
學科能力測驗數學考科 題型包括選擇題型（單選題、多選題）、選填題與混合
題 型 ， 其 中 混 合 題 型 是 指 同 時 包 含 選 擇 題 （ 或 選 填 題 ） 與 非 選 擇 題 的 題 型 ， 以 題
組 方 式 評 量 。 各 題 型 有 其 不 同 的 評 量 目 的 ， 例 如 選 擇 題 評 量 數 學 概 念 ， 並 鼓 勵 考
生 根 據 所 給 予 的 選 項 作 判 斷 。 單 選 題 的 各 個 選 項 ， 其 中 只 有 一 個 是 正 確 的 ； 多 選
題 的 選 項 則 要 求 考 生 逐 項 判 斷 其 正 確 性 ， 答 案 可 能 好 幾 個 ， 也 可 能 只 有 一 個 是 正
確 的 ， 選 填 題 型 則 評 量 考 生 主 動 解 題 的 能 力 。 混 合 題 型 則 是 將 多 個 步 驟 的 問 題 分
成數小題， 各小題可能以不同題型評量，例如多選題搭配非選擇題 （ 數學 A 參考
試卷），也可單選題搭配非選擇題（數學 B 參考試卷），將試題內需要的資料或作
答線索，在題組中的小題呈現，引導作答。
本數學 A、數學 B 的參考試卷均包含兩部分：第壹部分為單選題、多選題、 選
填題，配分占 85%，第貳部分為混合題型，配分占 15%，其中數學 A 的混合題型
以經濟學常見的成本與獲利情境為素材，評量多項式的應用；數學 B 的混合題型則
是 以 物 流 的 送 貨 路 線 為 素 材 ， 評 量 能 將 直 線 排 列 與 組 合 的 知 識 應 用 在 解 決 問 題 。
因此，除測驗學科知識、解題能力外，並同時評量閱讀表達及推理的能力。
考科
測驗範圍
數學 A
10 年級必修數學、11 年級必修數學 A 類。
數學 B
10 年級必修數學、11 年級必修數學 B 類。
三、命題特色
配合「十二年國民基本教育課程綱要國民中小學暨普通型高級中等學校— 數學領域」
強調素養與跨領域的精神，「學科能力測驗數學考科」除了測驗高中階段學生的數學基本
概念，也評量使用這些概念解決生活與學術探究情境問題的能力。
四、考生作答（答題卷）
此次答題卷為配合混合題型而設計，考生填答時須注意本考科試題本之「作答注意
事項」的提示，並於規定的作答區撰寫。
參考試卷呈現本中心未來命題方向、組卷架構、答題卷設計、參考答案／評分原則
等可能樣貌，僅適宜作為參考練習、評量之示例；此外，本次試題除部分為原創外，亦
有採用或修改歷年考題或研究用試題情形。
本中心對本次公告之參考試卷，雖追求最高品質，但仍可能存在須調整精進之處，
歡迎各界惠予指正、建議。
第
1 頁
參 考 試 卷
共
7 頁
數學
A 考科
- 1 -
第 壹 部 分 、 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 、 選 填 題 共 占
85 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占
35 分 ）
說明：第
1 題至第 7 題，每題 5 分。
1. 滿足絕對值不等式 2 13 9
x −
≤ 的所有實數
x 所形成的區間之長度為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 9
(3) 10
(4) 13
(5) 18
2. 設
(5,0,12)
A
、
( 5,0,12)
B −
為坐標空間中兩點，且
P 為 xy 平面上滿足
13
PA PB
=
=
的點。試
問點
P 的坐標為下列哪一個選項？
(1)
(0,0,24)
(2)
(5,0,0)
(3)
(0,13,0)
(4) (5,5,0)
(5)
(0,0,0)
3. 若第 1 天獲得 1 元、第 2 天獲得 2 元、第 3 天獲得 4 元、第 4 天獲得 8 元、依此每天所
獲得的錢為前一天的兩倍，如此進行到第
30 天，試問這 30 天所獲得的錢之總數最接近
下列哪一個選項？
(1)
4
10
元
(2)
6
10
元
(3)
8
10
元
(4)
9
10
元
(5)
12
10
元
4. 設
x
與
y 的關係式為
2
10 log
2
x
y
= ×
，且當
1
x x
= 、
2
x 時，其對應的
y
值分別為
1
y 、
2
y ，
其中
1
x 、
2
x 為正實數。若
2
1
2
x
x
=
，則對於
1
y 、
2
y 的關係，試選出正確的選項。
(1)
2
1
2
y
y
=
(2)
1
2
2
10
y
y =
(3)
2
1
20 log
y
y
=
×
(4)
2
1
log 2
y
y
=
+
(5)
2
1
20 log 2
y
y
=
+
×
5. 坐標空間中一質點自點 (1,1,1)
P
沿著方向
(1,2,2)
a
=
等速直線前進，經過
5 秒後剛好到達
平面
3
28
x y
z
− +
=
上，立即轉向並沿著方向
( 2,2, 1)
b
= −
−
依同樣的速率等速直線前進。試
問再經過幾秒此質點會剛好到達平面
2
x = 上？
(1) 1 秒
(2) 2 秒
(3) 3 秒
(4) 4 秒
(5) 永遠不會到達
參 考 試 卷
第
2 頁
數學
A 考科
共
7 頁
- 2 -
6. 考慮坐標平面上的直線
: 3 2
1
L x
y
−
=
。若
a 為實數且二階方陣
1 0
8
a
−
所代表的線性變換
可以將
L 上的點變換到一條斜率為 2 的直線，則 a 的值為下列哪一個選項？
(1) 6
(2) 8
(3) 10
(4) 12
(5) 14
7. 某實驗有 9 件血液樣本，將其混合成一組樣本作一次檢驗。假設每件血液樣本檢驗呈陽
性的機率都是
0.1，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。
當混合的樣本檢驗結果呈陰性反應時，只要一次檢驗即可，當混合的樣本檢驗結果呈陽
性反應時，就必須重新將這
9 件血液樣本逐一檢驗，此情況下總共需要 10 次檢驗。依
檢驗方式，這
9 件血液樣本檢驗次數之期望值為何？
(1)
9
9 0.9
×
次
(2)
10
9 0.9
×
次
(3)
9
9 (1 0.9)
× −
次
(4)
9
10 9 0.9
− ×
次
(5)
9
10 9 0.9
+ ×
次
二 、 多 選 題 （ 占
30 分 ）
說明：第
8 題至第 13 題，每題 5 分。
8. 已知 a、b 為正整數且 a 與 b 的乘積是 11位數，而
a
b
化成小數後的整數部分是
2 位數，
則
a 可能為幾位數？
(1) 5 位數
(2) 6 位數
(3) 7 位數
(4) 8 位數
(5) 9 位數
9. 已知三次實係數多項式函數
3
2
( ) 2
6
10
f x
x
x
x k
=
−
+
+ 的圖形之對稱中心為
(1,5)
，試選出正
確的選項。
(1)
1
k =
(2) 若點
( , )
r s
在
( )
y f x
=
的圖形上，則點
( 2, 10)
r
s
+
+
也在
( )
y f x
=
的圖形上
(3)
( )
y f x
=
的圖形在
1
x =
附近的近似直線為
4( 1) 5
y
x
=
− +
(4)
( )
y f x
=
的圖形平移後可與
3
2
4
5
y
x
x
=
+
+
的圖形重合
(5)
( )
y f x
=
的圖形與
3
2
4
5
y
x
x
=
+
+
的圖形有交點
第
3 頁
參 考 試 卷
共
7 頁
數學
A 考科
- 3 -
10. 所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比，以百分
率表達（進行統計分析時，所有年齡以整數表示）
。下表為去年某國三個年齡範圍的失
業率。
年齡範圍
35~39 歲 40~44 歲 45~49 歲
失業率
9.80%
13.17%
7.08%
根據上表，試選出正確的選項。
(1) 上表三個年齡範圍中，以 40~44 歲的失業率最高
(2) 40~44 歲勞動力人數多於 45~49 歲勞動力人數
(3) 40~49 歲的失業率等於 13.17 7.08 %
2
+
(4) 如果 40~44 歲的失業率降低，則 45~49 歲的失業率會升高
(5) 若經統計得 35~44 歲的失業率為 12.66%，則 35~39 歲勞動力人數少於 40~44 歲勞
動力人數
11. 在平面上，已知
ABCD
是一平行四邊形，且點
X 在
BCD
∆
的內部（不含邊界）。下列選
項中，試選出
AX
可能的關係式。
(1)
1
2
3
3
AX AB AD
=
+
(2)
2
2
3
3
AX AB AD
=
+
(3)
1
2
3
3
AX AB AC
=
+
(4)
1
3
5
5
AX AB AC
=
+
(5)
2
1
3
3
AX AB BD
=
+
12. 設函數 ( )
3sin
sin(
)
2
f x
x
x
π
=
+
−
，其中
x
為任意實數，試選出正確的選項。
(1) ( )
3
2
f
π
=
(2)
( )
f x
的最小値為
3
−
(3)
( )
f x
的最大値為
2
(4)
( )
f x
的週期為
π
(5)
( )
y f x
=
的圖形經過平移後可與
cos
y
x
=
的圖形重合
參 考 試 卷
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4 頁
數學
A 考科
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7 頁
- 4 -
13. 設 Γ 為坐標平面上的圓，點
(0, 0)
在
Γ 的外部且點
(2, 6)
在
Γ 的內部。試選出正確的選項。
(1) Γ 的圓心可能在第一象限且此時 Γ 的半徑必定小於
10
(2) Γ 的圓心可能在第二象限且此時 Γ 的半徑必定小於
10
(3) Γ 的圓心可能在第三象限且此時 Γ 的半徑必定大於
10
(4) Γ 的圓心可能在第四象限且此時 Γ 的半徑必定大於
10
(5) Γ 的圓心可能在
x
軸上且此時圓心的
x
坐標必定大於
10
三 、 選 填 題 （ 占
20 分 ）
說明：第
14 至 17 題，每題 5 分。
14. 一個滑板是由
1
個踏板、
1
個輪架及
2
組相同品牌的滑輪組合而成，如圖。
某滑板店提供
3 種不同品牌的踏板、1 種輪架及 2 種不同品牌的滑輪，讓顧客自由選擇
搭配，每一種零件的單價如下表：
今 欲 隨 意 組 裝 一 個 不 超 過
3000 元 的 滑 板 ， 則 有
○
14 種 不 同 的 搭 配 方 式 。
15. 線性方程組
2
3
0
2
3
6
6
2
8
x
y
z
x y
z
x y
x
y z
+
+
=
+ +
=
−
=
−
− =
經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為
1 0
0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
a b
c d
，
則
a =
○
15-1 、
b =
○
15-2 、
c =
○
15-3 、
d =
○
15-4
○
15-5 。
零 件
踏 板
1
A
踏 板
2
A
踏 板
3
A
輪 架
B
滑 輪
1
C
滑 輪
2
C
單 價
300 元 /個 400 元 /個 500 元 /個 1200 元 /個
600 元 /組
700 元 /組
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5 頁
參 考 試 卷
共
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數學
A 考科
- 5 -
16. 已 知銳角三角形
ABC
中，
2
AB =
且
4
AC =
。若
ABC
∆
的外接圓半徑為
4 14
7
，
則
BC =
○
16-1
○
16-2 。 （化 為 最 簡 根 式 ）
17. 有一新型「打地鼠」遊戲機，機台上有 25 個洞，分別標示整數坐標（格子點），如圖。
老闆將這
25 個格子點各作成一支籤，並放置於籤筒。每位遊戲者先從籤筒中同時抽出
兩支籤，並依照抽出籤所對應的洞各擊一槌，假設每支籤被抽中的機率相等。若所擊
的兩個洞的中點也是格子點，則僅有中點所在的洞冒出
100 元獎金，且遊戲結束；若
所擊的兩個洞的中點不是格子點，則機台上的
25 個洞皆會伸出《遊戲結束》的牌子，
表示這局結束。依上述規則，只玩一局可得
100 元獎金的機率為
○
17-1
○
17-2
○
17-3
。（化
為最簡分數）
參 考 試 卷
第
6 頁
數學
A 考科
共
7 頁
- 6 -
第 貳 部 分 、 混 合 題 （ 占
15 分 ）
說明︰本部分共 有
1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。非選擇題
請由左而右橫式書寫，必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。
第
18 至 19 題為題組
假 設 某 經 銷 商 進 貨
x 台 儀 器 的 成 本 為
( )
C x
(單 位：萬 元 )，而 預 估 可 獲 利 的 金 額
為
( )
g x
(單 位：萬 元 )，其 中
( )
C x
與
( )
g x
分 別 為 三 次 與 二 次 的 實 係 數 多 項 式 函 數。已 知
當
1,2,3
x =
時 ， 成 本 與 獲 利 滿 足
( ) 18
4 ( )
C x
x
g x
=
−
的 關 係 。 又 知 進 貨
4 台 儀 器 的 成 本 費
用
(4) 51
C
=
萬 元 。 根 據 上 述 ， 試 回 答 下 列 問 題 。
18. 設多項式函數
(
)
( )
( ) 18
4 ( )
f x C x
x
g x
=
−
−
。試選出正確的選項。
(多選題，5 分)
(1)
( )
f x
為三次多項式函數
(2)
(1) = 0
f
(3)
2
5 6
x
x
− +
是
( )
f x
的因式
(4)
(0) (4) 0
f
f
<
(5)
21
(4)
4
g
=
19. 若經銷商進貨 x 台儀器的成本費用為
3
2
1
1
( )
5
2
2
C x
x
x
x
=
+
−
+
(萬元)，試求此經銷商預估
最多可獲利的金額是多少？
(10 分)
第
7 頁
參 考 試 卷
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數學
A 考科
- 7 -
參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首 項 為
a
， 公 差 為
d
的 等 差 數 列 前
n
項 之 和 為
(2
(
1) )
2
n a n
d
S
+
−
=
首 項 為
a
， 公 比 為
(
1)
r r
的 等 比 數 列 前
n
項 之 和 為
(1
)
1
n
a
r
S
r
−
=
−
2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ：
sin(
) sin cos
cos sin
A B
A
B
A
B
+
=
+
cos(
) cos cos
sin sin
A B
A
B
A
B
+
=
−
tan
tan
tan(
)
1 tan tan
A
B
A B
A
B
+
+
=
−
3.
ABC
∆
的 正 弦 定 理 ：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
（ R 為
ABC
∆
外 接 圓 半 徑 ）
ABC
∆
的 餘 弦 定 理 ：
2
2
2
2 cos
c
a b
ab
C
=
+
−
4. 一 維 數 據
1
2
: , , ,
n
X x x
x
，
算 術 平 均 數
1
2
1 (
)
X
n
x x
x
n
µ =
+
+ ⋅⋅⋅ +
標 準 差
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
[(
) (
)
(
) ]
[(
)
]
X
X
X
n
X
n
X
x
x
x
x
x
x
n
n
n
σ
µ
µ
µ
µ
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
=
−
5. 二 維 數 據
1
1
2
2
( , ) : ( , ),( , ), ,( , )
n
n
X Y
x y
x y
x y
，
相 關 係 數
1
1
2
2
,
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
X
Y
X
Y
n
X
n
Y
X Y
X Y
x
y
x
y
x
y
r
n
µ
µ
µ
µ
µ
µ
σ σ
−
−
+
−
−
+ +
−
−
=
迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式
,
(
)
Y
Y
X Y
X
X
y
r
x
σ
µ
µ
σ
−
=
−
6. 參 考 數 值 ：
2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,
3.142
π
≈
≈
≈
≈
≈
7. 對 數 值 ： log 2 0.3010, log3 0.4771, log5 0.6990, log7 0.8451
≈
≈
≈
≈