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九十四學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘
題型題數：單選題 5題，多選題 6題，填充題第 A至I題共 9題
作答方式：•用2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
•答錯不倒扣
作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
（一）填答選擇題時，只用 1，2，3，4，5等五個格子，而不需要用到−，±，以及 6，7，
8，9，0等格子。
例：若第 1題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即
選項(3)時，考生要在答案卡第 1列的 劃記（注意不是 7），如：
解 答 欄
例：若多選題第 10 題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列的
與 劃記，如：
（二）填充題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題
的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第 B題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是8
3，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 劃記，如：
例：若第 C題的答案格式是 ，而答案是 50
7−時，則考生必須分別在答
案卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
1
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
3
3
7
−
8
20
21
50
1
8
1
9
3
第1頁 94 學年度
數學考科
-1-
共7頁
第一部分：選擇題
壹、單選題
說明：第
1
至
5
題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得
5
分，答錯不倒扣。
1. 試問整數 43659 共有多少個不同的質因數？
(1) 1 個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 5個
2. 利用公式 33 3 2
(1)
12 ( )
2
nn
n+
++⋅⋅⋅+= ，可計算出 33 3
(11) (12) (20)++⋅⋅⋅+之值為
(1) 41075 (2) 41095 (3) 41115 (4) 41135 (5) 41155
3. 台北銀行最早發行的樂透彩(俗稱小樂透)的玩法是「42 選6」：購買者從 01~42 中任選六個
號碼，當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同(不計次序)時即得頭獎；台北銀行曾考慮改
發行「39 選5」的小小樂透：購買者從 01~39 中任選五個號碼，如果這五個號碼與開出的五
個號碼完全相同(不計次序)則得頭獎。假設原來的小樂透中頭獎的機率是 R，而曾考慮發行
的小小樂透中頭獎的機率是 r。試問比值 r
R
最接近下列哪個選項？
(1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11
4. 設a, b為正實數，已知 77
log 11, log 13ab==；試問 7
log ( )ab
+
之值最接近下列哪個選項？
(1) 12 (2) 13 (3) 14 (4) 23 (5) 24
5. 某校高一第一次段考數學成績不太理想，多數同學成績偏低；考慮到可能是同學們適應不良
所致，數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以 10 作為正式紀錄的成績。今隨機
抽選 100 位同學，發現調整後的成績其平均為 65 分，標準差為 15 分；試問這 100 位同學
未調整前的成績之平均 M介於哪兩個連續正整數之間？(第7頁附有標準差公式)
(1) 40 ≤M＜41 (2) 41 ≤M＜42 (3) 42
≤
M＜43 (4) 43
≤
M＜44 (5) 44 ≤M＜45
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數學考科 共7頁
- 2 -
B
O
A
貳、多選題
說明：第
6
至
11
題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，劃記在答案卡之「解
答欄」。每題答對得
5
分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲
2.5
分，錯兩
個或兩個以上不給分。
6. 如右圖所示，兩射線 OA 與OB 交於 O點，試問下
列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內？
(1) + 2 (2) 3
4 ＋1
3
(3) 3
4 －1
3 (4) 3
4 ＋1
5
(5) 3
4 －1
5
7. 如右圖所示，坐標平面上一鳶形 ABCD，其中 A,C在
y-軸上，B,D在x-軸上，且 AB AD=＝2，
B
CCD==4，
AC ＝5。令 AB
m、BC
m、CD
m、
D
A
m分別表直線 AB、
BC、CD、DA 之斜率。試問以下哪些敘述成立？
(1) 此四數值中以 AB
m為最大
(2) 此四數值中以 BC
m為最小
(3) BC
m＝－ CD
m
(4) AB
m×BC
m＝－1
(5) CD
m＋
D
A
m＞0
8. 假設坐標空間中三相異平面 1
E
、2
E
、3
E
皆通過(－1,2,0)與(3,0,2)兩點，試問以下哪些點也同
時在此三平面上？
(1) (2,2,2) (2) (1,1,1) (3) (4,－2,2) (4) (－2,4,0) (5) (－5,－4,－2)
y
A
B
C
D
x
OB
OA OBOA
OBOA
OB
OB OA
OA
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數學考科
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共7頁
9. 若04
π
θ
<< ，試問以下哪些選項恆成立？
(1) sin cos
θ
θ
< (2) tan sin
θ
θ
<
(3) cos tan
θ
θ
<
(4) sin 2 cos 2
θ
θ
< (5) 1
tan tan
22
θ
θ
<
10. 設1
F
與2
F
為坐標平面上雙曲線
22
:1
916
xy
Γ−=的兩個焦點，P為
Γ
上一點，使得此三點構
成一等腰三角形。試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的週長？
(1) 20 (2) 24 (3) 28 (4) 32 (5) 36
11. 設S為空間中一球面， AB 為其一直徑，且 AB ＝10。若 P為空間中一點，使得 PA ＋PB ＝
14， 則P點的位置可能落在哪裡？
(1) 線段 AB 上；
(2) 直線 AB 上，但不在線段 AB 上；
(3) 球面 S上；
(4) 球S的內部，但不在線段 AB 上；
(5) 球S的外部，但不在直線 AB 上。
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數學考科 共7頁
- 4 -
第二部分：填充題
說明：
1.
第
A
至
I
題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號
(12–34)
。
2.
每題完全答對得
5
分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 若多項式 22xx++ 能整除 543 2
2
x
xxpx xq+++ ++，則 p＝ , q＝ 。
B. 在坐標平面上，正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為 A(0,1), B(0,0), C(1,0), D(1,1)。 設P為
正方形 ABCD 內部的一點，若 ∆PDA 與
∆
PBC 的面積比為 1：2, 且
∆
PA B 與∆PCD 的面積
比為 2：3, 則P點的坐標為( , )。(化成最簡分數)
C. 在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳 1個單
位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過 6次跳動後運動物體落在點+4 處，則此運動物
體共有 種不同的跳動方法。
D. 設複數 1zi=−；若 29
1zz z++ +⋅⋅⋅+ ＝abi
+
, 其中 a, b為實數， 則a＝ ,
b＝ 。
1
2
1
3
1
8
1
5
1
4
1
7
1
6
2
1
2
2
1
9
2
0
第5頁 94 學年度
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共7頁
E. 設O為坐標平面上的原點，P點坐標為(2, 1)；若 A、B分別是正 x-軸及正 y-軸上的點，
使得 ⊥ ，則 OAB∆面積的最大可能值為 。(化成最簡分數)
F. 如右圖所示，在 ABC∆中，
B
AC∠的平分
線AD 交對邊
B
C於D； 已知
B
D= 3，
DC =6，且 AB AD=，則cos
B
AD∠之值
為 。(化成最簡分數)
G. 在坐標平面上，過 F(1,0) 的直線交拋物線
Γ
：24yx
=
於P、Q兩點，其中 P在上半平面，
且知23PF QF=，則 P點的 x-坐標為 。(化成最簡分數)
B
A
C
D
28
2
7
30
2
9
25
26
2
3
24
P
B
P
A
94 學年度 第6頁
數學考科 共7頁
- 6 -
H. 設x為一正實數且滿足 18
33
x
x⋅= ；若 x落在連續正整數 k與k＋1之間，則 k＝ 。
I. 如右圖所示，ABCD-EFGH 為邊長等於 1之
正立方體。若 P點在立方體之內部且滿足
＝3
4 ＋1
2 ＋2
3 , 則P點至直線
AB 之距離為 。(化成最簡分數)
A
B
C
D
E
F
G
H
P
A
E
AP
A
B
A
D
3
1
32
34
3
3
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數學考科
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共7頁
參考公式及可能用到的數值
1. 一元二次方程式 20ax bx c++= 的公式解： a
acbb
x2
4
2−±−
=
2. 平面上兩點
P
1
(
)
11,yx ，
P
2
()
xy
22
,間的距離為 PP x x y y
12 2 1
2
21
2
=−+−()()
3. 通過
()
11,yx 與
()
xy
22
,的直線斜率 21
21
yy
m
x
x
−
=
−
, 21
x
x
≠
.
4. 等比數列 1k
ar −的前 n項之和 (1 ) ,1.
1
n
n
ar
Sr
r
⋅−
=
≠
−
5. 三角函數的和角公式：sin( ) sin cos sin cosAB A B B A
+
=+
12
12
12
tan tan
tan( ) 1tan tan
θ
θ
θθ
θ
θ
+
+=
−
6. ∆ABC 的正弦定理： sin sin sinABC
abc
==
∆ABC 的餘弦定理： 222
2coscab abC=+−
7. 棣美弗定理: 設
(
)
cos sinzr i
θ
θ
=+，則
(
)
zr nin
nn
=+cos sin
θθ
，n為一正整數
8. 算術平均數： 12
1
11
()( )
n
ni
i
M
Xxx x x
nn
=
== ++⋅⋅⋅+=
∑
(樣本)標準差： 22
2
11
11
() (() )
11
nn
ii
ii
SxX xnX
nn
==
=−= −
∑∑
−−
9. 參考數值： 142.3;449.26;236.25;732.13;414.12 ≈≈≈≈≈
π
10. 對數值： 8451.07log,6990.05log,4771.03log,3010.02log 10101010 ≈≈≈≈