1
數學科自編教材
八年級
八年級上學期
遊戲看數界
2
課程一：畢氏定理拼板遊戲
壹、活動器材：
一、正方形卡片(附件一)、三角形種類牌(附件二)、任務卡(附件三)
二、學習單(依活動分每人各 1 張/每組一張)。
三、學習回饋單(每人各 1 張)。
貳、活動說明：
一、單元主題說明：
(一)透過數個正方形面積圍成三角形的實際操作過程，發展學生「畢氏定理」的先備具
體心像，以利相關正式課程的進行。
(二)活動適用於「畢氏定理」正式課程之前
(三)適用年級：(國中八年級)
二、活動目標與核心概念：
(一)運用正方形圍成三角形的歷程，來發現畢氏定理，並補足本單元懸缺的課程。
（註）
(二)核心概念：奠定畢氏定理的相關條件與結論之認識。
（註）:懸缺的課程是指，國中未探討銳角與鈍角三角形的兩邊平方和與第三邊平方的關係，
可延伸到高中的餘弦定理。
參、活動流程：
一、啟蒙活動
【奠基畢氏定理的充分條件。當非直角三角形時，兩邊平方和不會等於第三邊的
平方(懸缺課程)】
3
啟蒙活動(一) 遊戲式臆測探究
(一)個人競賽，四人一組（三人參與遊戲，一人當裁判，裁判用來判定圍出來是何種三角形）
【器材】:
(1)
每組發一包正方形卡片，每人由其中拿不同色的正方形，紅色、藍色、綠色
(並將邊長
17 的正方形先放到旁邊，不使用)
(2)
每人一套 4 張種類牌銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形、不能圍出三角形。
(3)
三角板或直尺(用以檢視是否為直角)
(4)
A3 方格紙(當底板，也可用方格檢視是否為直角)
【遊戲目標】: 看誰答對的次數最多，誰就是贏家
【遊戲步驟】:
(1)
每人由卡片包中任抽一張正方形卡片，放在桌面
(2) 大家一起檢視拿出來的三張正方形卡片
(3)
每人先思考、猜測會圍出什麼三角形，並拿出那張牌，蓋在桌面上
(4)
再一同將猜測的牌打開後，接著再將三張正方形卡片圍在一起，同時用三角板(或底
板方格紙
)檢視是何種三角形，檢視牌卡，答對者，獲得一勝，於表格做下記錄。重複步驟
(1)ˋ 每次出的正方形卡，可收回，重複使用，但下一次不能再出同一張卡。
(5)
活動進行 10~15 分鐘，看誰答對的次數最多，誰就是贏家
共玩兩次
第一次為暖身賽 5 分鐘，自由地玩，不做記錄，無關勝負。
第二次為正式賽 10 分鐘，一邊玩，一邊做記錄，以此局定勝負。(最後將結果紀錄在表單中，
如下表，依據每次的紀錄，作為下次猜測的基礎 ) 。
(6)
第二次結束後，教師引導各組的贏家發表贏的策略，並做歸納。(以做下一輪團體賽所用)
每人發放
不 同 色 的
正 方 形 卡
片
+種類牌
三人任意
拿出一張
正方形卡
片
共同檢視
猜測圍出
何種三角
形並出牌
裁判
檢核答案
4
學習單(個人賽/每人一張)
較短
較短 較長 較小 較小
面 積
(乙)
b
2
最
大
面
積
(丙)
c
2
較小的
兩 個
面積和
(甲+
乙)
a
2
+ b
2
關係 最大
填 入
三角形
種 類
銳角?/
鈍角?/
直角?/
不能圍出?
此
邊長
a
邊長
b
邊長
c
面積
(甲)
面積
(丙)
局
答
a
2
(<、
=、
c
2
對
>)
4
5
6
16
25
36
4
2
+5
2
>
6
2
銳角三角形
3
4
5
9
16
25
3
2
+4
2
=
5
2
直角三角形
4
5
7
16
25
49
4
2
+5
2
<
7
2
鈍角三角形
3
4
10
9
16
100
3
2
+4
2
<
10
2
不能圍
6
8
10
36
64
100
6
2
+8
2
=
10
2
直角三角形
學習單(學生填寫學習單示意圖)
如何判斷所圍出的圖形是何種三角形?
_
_
_
啟蒙活動(一)
遊戲式臆測探究
5
啟蒙活動(二) 遊戲式團體競賽
(二)團體競賽，四人一組
【器材】:
(1)
每組發放完整的一包正方形的卡片(紅色+藍色+綠色)
(2)
三角板或直尺(用以檢視是否為直角)
(3)
A3 方格紙(當底板，也可用方格檢視是否為直角)
【遊戲目標】: 全班競賽，找到最多組合者，獲勝
【遊戲步驟】:
(1)
由各組推派一位到其他組擔任裁判長，做以下活動的檢視與計分。
(2)
請各組使用正方形卡片(卡片上有註明邊長和面積，學生可運用前一個活動的經驗，
最短兩邊的和 >第三邊的概念，圍出三角形)，各組必須圍出銳角、直角、鈍角三角形各一
個，並且於表格中完成記錄，才可得一分。由裁判長來檢視得分。
(3) 將相關邊長、面積資訊記錄於表格中，並記錄最小的兩個正方形面積的和，與最大正方形面
積的關係
(4) 活動進行 10~15 分鐘，全班看哪一組，圍出的組數最多，就是贏家。
(由各組的裁判長，檢視該組拼出來銳角、鈍角、直角各一個，並完成學習單紀錄，才可得
一分。老師巡視各組並做最後加分的統計。)
全班競賽
四人一組
每組發放
正方形
卡片
找出銳角、
直角、鈍
角三角形
各一個，
才得一分
表格記錄
最高分
贏家
6
學習單(團體賽/每組一張)
（完成銳角、鈍角、直角三角形各一個，才算一組。找到幾組，依序記錄一、二、三…..）
三
角
形
種
類
較短
邊長
a
較短
邊長b
較長
邊長c
較 小
面 積
(甲)
a
2
較小
面 積
(乙)
b
2
最
大
面
積
(丙)
c
2
較小的兩個
面積和
(甲+乙)
a
2
+ b
2
關係
(<、=、>)
最大
面積
(丙)
c
2
找
到
組
數
銳
角
三
角
形
4
5
6
16
25
36
4
2
+5
2
>
6
2
一
6
8
9
36
64
81
6
2
+8
2
>
9
2
二
8
9
10
64
81
100
8
2
+9
2
>
10
2
三
直
角
三
角
形
3
4
5
9
16
25
3
2
+4
2
=
5
2
一
6
8
10
36
64
100
6
2
+8
2
=
10
2
二
9
12
15
81
144
225
9
2
+12
2
=
15
2
三
鈍
角
三
角
形
4
5
7
16
25
49
4
2
+5
2
<
7
2
一
5
10
12
25
100 144
5
2
+10
2
<
12
2
二
5
6
8
25
36
81
5
2
+6
2
<
8
2
三
學習單(學生填寫學習單示意圖)
如何判斷所圍出的圖形是何種三角形?
_
_
_
_
啟蒙活動(二)
遊戲式團體競賽
7
全班競賽
四人一組
每組發放
正方形卡
片
抽任務卡
表格記錄
最高分
贏家
遊戲活動：遊戲式團體解謎
二、遊戲活動 【發現畢氏定理：當直角三角形的邊長為特定整數時，發現畢氏
定理成立，逆敘述也成立。】
【器材】:
(1)每組發放完整的一包正方形的卡片(紅色+藍色+綠
色) (2)三角板或直尺(用以檢視是否為直角)
(3)
底板 A3 磁性方格紙 (請翻成背面，沒有格子的)
(4)
任務牌卡（附件三）
【遊戲目標】: 每組輪流到老師手上抽取不同的任務牌，甲類乙類牌各抽 6 張，名次統計
【遊戲步驟】:
（方式一）
全班競賽：
學習單每組甲、乙各一張
(1) 四人一組，第一組到老師手上抽取任務牌（甲類牌）
，老師向全班公佈題目
(2) 各組利用正方形卡片包當作輔助，依照所抽的任務卡提示，完成任務，與記錄表填寫
完成（記錄邊長、面積大小、與三角形種類等關係）
(3) 完成的組別依序排隊，將拼好的圖形與記錄單一同拿給老師審查，老師紀錄各組名次。
(4) 甲類牌依序先抽完 6 張（使用學習單甲）
，再抽乙類牌抽 6 張（使用學習單乙），第一次
由第一組抽，第二次由第二組抽，依此類推。統計各組名次總和，名次總合低的勝出。
（方式二）組內競賽：可以同一組玩，四人輪流抽牌，學習單每人甲、乙各一張
8
學習單甲(團體賽/每組一張) 配合 牌卡甲
已知(三角形種類)
可推得(正方形面積關係)
三 三
角
形
種
類
較短
較短
較長 較小
較小
面 積
(乙)
b
2
最
大
面
積
(丙)
c
2
較小的兩個
面積和
(甲+乙)
a
2
+ b
2
關係
最大
面積
(丙)
c
2
角
形
邊長 a 邊長b 邊長c 面積
(甲)
牌
a
2
(<、=、>)
A
直
角
三
角
形
3
4
5
9
16
25
9＋16
＝
25
(學生填寫示意學習單)
遊戲活動：
遊戲式團體解謎
9
學習單 乙(團體賽/每組一張) 配合 牌卡乙
已知 (正方形面積關係)
可推得(何種三角形)
較 小
面 積
(甲)
a
2
較小
面
積
(乙)
b
2
最 大
面 積
(丙)
c
2
較小的
兩 個
面積和
(甲+
乙)
a
2
+
b
2
關係
<、
=、
>
最大
面積
(丙)
c
2
三角
形牌
(A~H)
三
角
形
種
類
較短
邊長a
較短
邊長
b
較長
邊長
c
9
16
25
9＋16
＝
25
A
直 角
三角形
3
4
5
10
(學生填寫示意學習單)
遊戲活動-實例說明
題目卡 甲類
拿出H 三角形，找出能吻合三角形三邊的三個正方形(方格底板不可使用)
已知: 直角三角形
可得:兩股平方和=斜邊的平方
11
題目卡 乙類
依題意拿出三個正方形，找出能吻合三角形三邊的三角形 (方格底板不可使用)
已知: 兩股平方和=斜邊的平方
可得: 直角三角形
畢氏定理逆定理
畢氏定理
12
肆、學習單：
學習單(個人賽/每人一張)
較短
較短 較長 較小 較小
面 積
(乙)
b
2
最
大
面
積
(丙)
c
2
較小的
兩 個
面積和
(甲+
乙)
a
2
+ b
2
關係 最大
填 入
三角形
種 類
銳角?/
鈍角?/
直角?/
不能圍?
此
邊長
a
邊長
b
邊長
c
面積
(甲)
面積
(丙)
局
答
a
2
(<、
=、
c
2
對
>)
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
三角形
如何判斷所圍出的圖形是何種三角形?
_
_
_
啟蒙活動(一)
遊戲式臆測探究
13
啟蒙活動(二)
遊戲式團體競賽課程
啟蒙活動 學習單(團體賽/每組一張)
（完成銳角、鈍角、直角三角形各一個，才算一組。找到幾組，依序記錄一、二、三…..）
三
角
形
種
類
較短
邊長
a
較短
邊長b
較長
邊長c
較 小
面 積
(甲)
a
2
較小
面 積
(乙)
b
2
最
大
面
積
(丙)
c
2
較小的兩個
面積和
(甲+乙)
a
2
+ b
2
關係
(<、=、>)
最大
面積
(丙)
c
2
找
到
組
數
銳
角
三
角
形
直
角
三
角
形
鈍
角
三
角
形
如何判斷所圍出的圖形是何種三角形?
_
_
_
_
14
學習單 甲(團體賽/每組一張)
已知(三角形種類)
可推得(正方形面積關係)
三
角
形
牌
A
至
H
三
角
形
種
類
較短
邊長
a
較短
邊長b
較長
邊長c
較 小
面 積
(甲)
a
2
較小
面 積
(乙)
b
2
最
大
面
積
(丙)
c
2
較小的兩個
面積和
(甲+乙)
a
2
+ b
2
關係
(<、=、>)
最大
面積
(丙)
c
2
遊戲活動：
遊戲式解謎課程
15
學習單 乙(團體賽/每組一張)
已知 (正方形面積關係)
可推得(何種三角形)
較 小
面 積
(甲)
a
2
較小
面
積
(乙)
b
2
最 大
面 積
(丙)
c
2
較小的
兩 個
面積和
(甲+
乙)
a
2
+
b
2
關係
<、
=、
>
最大
面積
(丙)
c
2
三角
形牌
(A~H)
三
角
形
種
類
較短
邊長a
較短
邊長
b
較長
邊長
c
遊戲活動：
遊戲式解謎課程
16
「畢氏定理拼板遊戲」
我的姓名是：
一、在啟蒙活動中，
(1)
如何判斷能不能圍出三角形，有沒有發現什麼條件?(提示:三邊長的大小關係)
(2)
若能圍出，又要如何判斷所圍出的三角形是直角、鈍角、或銳角三角形?
(使用什麼工具?或方法?)
二、由啟蒙活動的表格中觀察，試著完成以下表格(將以下空格填入＞、＜、＝)
畫底線的角
夾的兩邊為 a、b，
角
的對邊為 c
1. 已知
銳角
三角形 ABC，角 C 為銳角
則三角形三邊長的關係
a
2
+ b
2
c
2
2. 已知
直角
三角形 ABC，角 C 為直角，
則三角形三邊長的關係
a
2
+ b
2
c
2
3. 已知
鈍角
三角形 ABC，角 C 為鈍角，
則三角形三邊長的關係
a
2
+ b
2
c
2
我們玩過「畢氏定理拼板遊戲」，不管你剛才的比賽是輸或贏，接下來的學
習單，可以參考剛才的遊戲，用心想一想，用自己的話完成此學習單，才是這個
活動最完美的勝利者。加油喔！
17
三、由遊戲活動中
1. 已知三角形的三邊關係符合
a
2
+ b
2
= c
2
，則該三角形一定是
三
角形
2. 已知直角三角形，三邊為
a、b、c
(斜邊)
，
則三邊的關係必符合
a
2
+ b
2
c
2
(空格填入＞、＜、＝)
眼見不一定為真
四、
(1)
請在底板上分別使用邊長 12、12、17 的正方形，圍出三角形，請問你看到什麼三角形？
(2)
依據以上活動結論，請判斷三角形三邊長分別為 12、12、17，是何種三角形？為什麼？
五、
(1)
請在底板上分別使用邊長 8、9、12 的正方形，圍出三角形，請問你看到什麼三角形？
(2)
依據以上活動結論，請判斷三角形三邊長分別為 8、9、12，是何種三角形？為什麼？
18
我們玩過「畢氏定理拼板遊戲」單元的桌遊，度過了快樂的時光，現在請你用心想
一想，「畢氏定理拼板遊戲」帶給你的感覺是什麼呢？你學了些什麼？請用自己的話
寫下來。
伍、學習回饋：
(一)我的感覺是：
(二)我覺得最有趣的是：
(三)我還想要知道的是：
我的名字是：(
)
年(
)月(
)日
19
附件一
常用的畢氏三元數
3-4-5
6-8-10
9-12-15
12-16-20 15-20-25
18-24-30
21-28-35 24-32-40
5-12-
13
10-24-26 15-36-39
7-24-
25
8-15-17
16-30-34
9-40-41
12-35-37 20-21-29
啟蒙活動正方形卡片:
運用以上所列數字，剪出以該數字為邊長的正方形。利用上頁
的方格紙，剪出正方形。(因正方形大小關係，僅採用 8 組有底色的
數字)
24 張正方形，第一個數字用紅色，第二個數字用綠色，第三個數
字用藍色。如下圖。
每一包並附上，附件（二）的牌卡片各一張(銳角三角形、直角
三角形、鈍角三角形，不能拼出三角形)。
20
附件二
啟蒙活動-
三角形牌
21
附件三
遊戲活動-任務牌
1
2
課程二：幾何釘板實驗
壹、 活動器材：
一、幾何釘板 (每組 1 個)。
二、橡皮筋 (每組 10 條)。
三、遊戲地圖 1 張。
四、機會卡 9 張、命運卡 9 張。
五、小公仔或跳棋 (每組 1 個)
六、學習單 (每組 1 張)。
七、學習回饋單 (每組 1 張)。
貳、活動說明：
一、單元主題說明：
(一)透過以「幾何釘板」操作，發展「邊長為無理數的正方形」之先備具體心像，
以利相關正式課程之進行。
(二)活動適於「平方根」正式課程之前。
(三)適用年級：(國中一年級以上)。
二、活動目標與核心概念：
(一)在幾何釘板上，能圍出指定面積大小的正方形。
(二)在幾何釘板上，能在指定範圍內圍出各種面積大小不同的正方形。
(三)核心概念：藉由實驗操作，能圍出邊長長度為無理數的正方形。
參、活動流程：
一、先備活動：用橡皮筋在釘板上圍出斜擺的正方形例子。
教師示範，以圖(一)的線段長為一邊，形成一個正方形。
正確
正確
圖(
一
)
請學生觀察圖中的正方形，回答下列問題：
1.這個四邊形為什麼是正方形呢？
3
機會
？
在釘板上圍出面
積是 5 的正方形
命運
！
於 1 分鐘內，在
4x4 的釘板上圍
出面積大小不同
2.
它的面積要如何計算呢？
3.
有沒有其他圍法可圍出相同面積的正方形？
二、遊戲目標：
以大富翁遊戲的形式，兩或三組玩家猜拳決定先後順序，每組玩家皆從【1】出發，
依序翻卡片解題，該題得分即前進步數，最先走到終點【30】的玩家獲勝！
三、遊戲準備：
1. 各組領取材料，包含：幾何釘板 1 個、橡皮筋 10 條。
2. 老師將遊戲地圖、機會卡、命運卡擺放好之後，請每組選 1 個小公仔(或跳棋)
擺放在遊戲地圖起點【1】位置。
四、遊戲進行：
1. 所有玩家猜拳決定先後順序。
2. 輪到遊戲者，可選擇翻機會卡或命運卡一張，玩家需完成卡片上的指定任務，即可
依該卡片的得分決定前進步數。
例：翻機會卡，任務為「在釘板上圍出面積是 5 的正方形」，若正確完成任務則
可前進 3 步。
例：翻命運卡，任務為「於 1 分鐘內在 4×4 的釘板上圍出面積大小不同的正方形」，
若圍出 5 種則可前進 5 步。
3. 9 張命運卡中，其中 4 張是「下次前進步數加倍」、「請退回起點」、「遊戲方向逆
轉」與「暫停一次」。
4. 當有玩家抵達終點【30】即獲勝，其他玩家則依結束順序為該局名次。
肆、學習單：
4
幾何釘板實驗
我們的小組成員有：
(一)
你認為有哪些面積大小的正方形比較容易圍出來呢？
(二)
請在下面的方格紙，畫出遊戲中你曾圍出的正方形，並寫下其面積。(至少 5
種) (每個小格子邊長 1 公分)
(三)
上題中你畫的正方形，量量看它的邊長是多少公分？(四捨五入至小數第一位)
(1) 面積是
的正方形，邊長
(2) 面積是
的正方形，邊長
(3) 面積是
的正方形，邊長
(4) 面積是
的正方形，邊長
(5) 面積是
的正方形，邊長
5
我們玩過「幾何釘板實驗」單元的桌遊，度過了快樂的時光，現在請你用心想一想，
「幾何釘板實驗」帶給你(妳)的感覺是什麼呢？你(妳)學了些什麼？請用自己的話寫下
來。
伍、學習回饋：
(一)我的感覺是：
(二)我覺得最有趣的是：
(三)我還想要知道的是：
我的名字是：(
)
103 年(
)月(
)日
6
陸、遊戲配件
25
26 27 28 29 30
1
24
2
23
3
22
4
21
5
20
6
19
7
18
8
17
16 15 14 13 12 11 10 9
7
幾何釘板實驗
6
機會
？
機會
？
機會
？
機會
？
機會
？
機會
？
8
幾何釘板實驗
機會
？
機會
？
機會
？
幾何釘板實驗
7
在釘板上圍出
面積是 9 的正
方形
在釘板上圍出
面積是 10 的
正方形
在釘板上圍出
面積是 13 的
正方形
在釘板上圍出
面積是 8 的正
方形
在釘板上圍出
面積是 5 的正
方形
在釘板上圍出
面積是 2 的正
方形
幾何釘板實驗
在釘板上圍出
面積是 20 的
正方形
在釘板上圍出
面積是 18 的
正方形
在釘板上圍出
面積是 16 的
正方形
命運
!
8
命運
!
命運
!
命運
!
命運
!
命運
!
命運
!
命運
!
命運
!
9
1 分鐘內，在 6x6
的釘板範圍，圍出
面積大小不同的正
方形
得分：圍出種類數
1 分鐘內，圍出面
積小於 10 的正
方形
得分：圍出種類數
下次前進
步數加倍
請退回起
點
遊戲方向
逆轉
暫停一次
1 分鐘內，在 5x5
的釘板範圍，圍出
面積大小不同的正
方形
得分：圍出種類數
1 分鐘內，在 4x4
的釘板範圍，圍出
面積大小不同的正
方形
得分：圍出種類數
1 分鐘內，在 3x3
的釘板範圍，圍出
面積大小不同的正
方形
得分：圍出種類數
B
D
課程三：十字交乘法〜加減乘除
壹、活 動 器 材 撲
克牌、遊戲紙
貳、活動說明
一、單元主題說明：利用撲克牌遊戲建立十字交乘法的概念
二、活動目標與核心概念：運用撲克牌玩類似「撿紅點」的遊戲，從中引入
十字交乘法的規則，讓學生自玩撲克牌同時建立十字交乘法的概念
參、活動流程
一、先備活動：練習撲克牌的點數做加減乘除
遊戲規則：
遊戲一
一、兩人為玩家，每人發六張牌，另外中間發四張牌，玩家可以利用自己的
及桌面上的撲克牌，把撲克牌 A 分解成撲克牌 B 乘以撲克牌 C， 撲
克牌 B 加上撲克牌 C 等於撲克牌 D，若能湊成這四張則算一墩，若
無牌能湊成一墩，則需打出一張牌至桌面，再抽一張牌給自己，保持手
上六張牌，若用自己及桌面的牌完成一墩，則桌面不補牌，自己手上的牌
補至六張，若最後無牌可補，則牌多的玩家先出牌至與對方玩家收手上牌
數相同，再依序換對方出牌，至手上無牌即結束，最後看誰吃下最多墩的
為贏家。補充：若玩家增至 3 到 5 人，可以用兩副撲克牌混和來進行。
二、遊戲所需相關資料(如：計分表等) 遊
戲紙
＝
X
……..
C
A
＋
＝
B
D
A
C
B
D
遊戲二
一、兩人為玩家，每人發六張牌，另外中間發四張牌，兩人先猜拳，贏者可
以決定 E 的數值為多少，E 的數值需在 20~40 之間，玩家可以利用自
己的及桌面上的撲克牌，把撲克牌 A 乘上撲克牌 D 加上撲克牌 B 乘
上撲克牌 C，總和能等於數值 E，若能湊成這四張則算一墩，若無牌能
湊成一墩，則需打出一張牌至桌面，再抽一張牌給自己，保持手上六張牌，
若用自己及桌面的牌完成一墩，則桌面不補牌，自己手上的牌補至六張，
若最後無牌可補，則牌多的玩家先出牌至與對方玩家收手上牌數相同，再
依序換對方出牌，至手上無牌即結束，最後看誰吃下最多墩的為贏家。補
充：若玩家增至 3 到 5 人，可以用兩副撲克牌混和來進行。
二、遊戲所需相關資料(如：計分表等) 遊
戲紙
＝
X
X
E
C
A
E
肆、學習單
遊戲一
(1)若 A＝3，D＝4，則 B＝
，C＝
(2)若 A＝4，D＝4，則 B＝
，C＝
(3)若 A＝5，D＝6，則 B＝
，C＝
(4)若 A＝6，D＝5，則 B＝
，C＝
(5)若 A＝8，D＝6，則 B＝
，C＝
(6)若 A＝12，D＝7，則 B＝
，C＝
(7)若 A＝14，D＝9，則 B＝
，C＝
(8)若 A＝18，D＝11，則 B＝
，C＝
遊戲二
(1)若 A×B＝3，C×D＝2，E＝7，則 A＝
，B＝
，C＝
，D＝
(2)若 A×B＝5，C×D＝3，E＝8，則 A＝
，B＝
，C＝
，D＝
(3)若 A×B＝6，C×D＝5，E＝13，則 A＝
，B＝
，C＝
，D＝
(4)若 A×B＝6，C×D＝3，E＝11，則 A＝
，B＝
，C＝
，D＝
(5)若 A×B＝12，C×D＝2，E＝11，則 A＝
，B＝
，C＝
，D＝
(6)若 A×B＝10，C×D＝6，E＝19，則 A＝
，B＝
，C＝
，D＝
(7)若 A×B＝24，C×D＝4，E＝35，則 A＝
，B＝
，C＝
，D＝
(8)若 A×B＝20，C×D＝12，E＝31，則 A＝
，B＝
，C＝
，
D＝
1
課程四：矩形拼板
壹、活動器材：
一、設計好的大正方形(
x
2
)、長方形(
x)、小正方形(1)拼板若干個。(需請學生從紙板剪下)。
大正方形
長方形
小正方形
邊長
x
x、1
1
面積
x
2
x
1
x
x
2
x
1
x
x
1
1
1
二、紀錄單(每組 4 份)
三、學習單(每組 4 張)
四、回饋單(每組 2 張)
貳、活動說明：
一、單元主題說明：
(一)透過以「形」表徵「數」的「矩形拼板」操作，發展「一元二次式因式分解」之先備具體
心像，以利相關正式課程之進行。
(二)活動適於「十字交乘法做因式分解」正式課程之前。
(三)適用年級：(國中八年級，亦可以於七年級實施)。
二、活動目標與核心概念：
(一)給定不同組數的大正方形(
x
2
)、長方形(
x)、小正方形(1)拼版，嘗試「將指定的拼板
拚成矩形」問題。
(二)將「指定的拼板數拚成矩形」，並討論拚出來的方式與紀錄方式
(三)核心概念：發展十字交成因式分解的操作性幾何表徵心像。
2
參、活動流程：
一、認識拼板：
x
x
2
x
1
1
1
1
x
x
大正方形
請學生觀察該拼板是哪種圖
形，並設定邊長為
x 單
位， 請學生討論其面積如
何表 示?
x
2
平方單位
小正方形(1)
請學生觀察該拼板是哪種圖
形，並設定邊長為
1 單
位， 請學生討論其面積如
何表 示?
1
2
=1 平方單位
長方形(
x)
請學生觀察該拼板是哪種圖
形。並比對前面兩個正方
形，可以發現其中邊長為
x
單位，另一邊長為
1 單
位， 請學生討論其面積如
何表 示?
1×x = x 平方單位
二、先備活動：建造、討論用拼版拼出矩形的正例與非例。
(一)利用
任務卡
提供的拼板數量，拚出一個矩形。
大正方形(
x
2
)
長方形(
x)
小正方形(1)
x
2
x
1
數量
1
3
0
紀錄
圖形
面積
邊長乘積
x
2
＋3
x
x×(x＋3)
1. 請將拼出的圖形記錄下來。
沒有全用到
正確圖形
不行
2. 每次提供的矩形拼板一定要全部用完。
3. 矩形裡面不能空心。
x
2
x
x
x
2
x
x
x
3
老師小結：不可空心，且請全部用完，若沒用完，表示不能拼成矩形。
(三) 利用
任務卡
提供的拼板數量，拚出一個矩形。
x
2
x
x
1
1. 請將拼出的圖形記錄下來。
2. 拼法只有這一種嗎?
3. 討論正方形是否是矩形的一種。
老師小結：正方形也是矩形的一種。
(四) 利用
任務卡
提供的拼板數量，拚出一個矩形。
大正方形(
x
2
)
長方形(
x)
小正方形(1)
x
2
x
1
數量
1
3
2
紀錄
圖形
面積
邊長乘積
x
2
＋3
x＋2
(
x＋1)
×(
x＋2)
大正方形(x
2
)
長方形(x)
小正方形(1)
x
2
x
1
數量
1
2
1
紀錄
圖形
面積
邊長乘積
x
2
＋2x＋1
(x＋1)
×(x＋
1)或
(x＋
1)
2
x
2
x
x
1
x
1
4
x
2
＋3
x＋2
(
x＋1)
×(
x＋2)
學生常有
的拼法
x
2
＋3
x＋2
(
x＋1)
×(
x＋2)
1. 請將拼出的圖形記錄下來。
2. 拼法只有這一種嗎?
3. 討論這兩種是否是同一種。
老師小結：這兩種矩形經由旋轉後相同，為同一個矩形。
x
2
x
x
x
1
1
x
x
2
x
1
x
1
5
(五)遊戲規則示範及說明。(老師找一名同學示範並說明遊戲規則，其他學生聆聽)
肆、
實際遊戲。(安排同學三到四人一組)
(一)同組的同學每人拿一張記錄單，記錄自己每次任務卡完成後的圖形(簡易版)、面積、長寬。如下，
每次 1 分鐘。
紀錄
圖形
面積
邊長乘積
得分
x
2
＋2
x＋1
(
x＋1)
×(
x＋
1) 或
(
x＋
1)
2
3
(二) 同組 3~4 人討論後，判斷得到的分數，並記錄在最右欄。
(三) 玩到 24 張任務卡抽完為止(或誰先拿到 24 分，也可以宣告結束)。
附註
進階版:另附 6 張王牌，其中長方形(
x)的數量是?，因此學生可以自己透過嘗試或計算找出合適的數
字並排出矩形，由於可能的答案不只一個，所以屬於可以一次多拿許多分的機會。每人有一次抽該任務
王牌的機會，以增加得分。
舉例:
x
2
x
1
1
?
10
?可以是 11、7 兩個答案。
(一)共 24 張任務卡，老師先抽出 1 張任務卡，在 1 分鐘內拼出矩形，並記錄下該矩形的面
積與長、寬。拼出 1 分、寫出面積 1 分、寫出長寬 1 分(對於是否完成任務，需同組 4 人討論後
認可)。
(二)完成後該任務卡即可拿掉，若未完成，該任務卡仍需放回。
(三)接著輪到同學繼續抽出 1 張任務卡，在 1 分鐘內拼出矩形，並記錄下該矩形的面積與長、
寬。拼出 1 分、寫出面積 1 分、寫出長寬 1 分。(四)
依此類推。
(五)若同組四人，玩到 24 張任務卡抽完為止(或誰先拿到 24 分，也可以宣告結束)。
x
2
x
x
1
6
伍、遊戲紀錄單:
姓名:
(1)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(2)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(3)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(4)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(5)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
7
(6)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(7)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(8)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(9)紀錄 圖形
面積
邊長乘積
得分
(10)紀錄
圖形
面積
邊長乘積
得分
8
陸、學習單：
發現「矩形拼板」的秘密
我的姓名是：
一、
請將你完成的任務卡找出來並再作以下的整理。
x
2
x
1
面積
邊長乘積
m
放直的
長方形
拼板數
n
放橫的
長方形
拼板數
1
2
1
x
2
＋2
x＋1
(
x＋1)
× (
x＋1)
1
1
2、 觀察記錄、若放直的長方形(
x)的拼板數目為 m、放橫的長方形(x)的拼板數目為 n。m、
n 和小正方形(1)的拼板數目有甚麼關係?
3、
m、n 和長方形(
x
)的拼板數目有甚麼關係?
4、 當矩形面積記為
x
2
+ax+b 時，邊長乘積可以記錄為(x＋m) × (x＋n)，我的發現是……
我們玩過「矩形拼板」，不管你的挑戰是否成功，接下來的學習單，可以參考剛才
記錄的活動單，用心想一想，用自己的話完成此學習單，才是這個活動最完美的勝利
者。加油喔！
9
我們玩過「矩形拼板」單元的活動，度過了快樂的時光，現在請你用心想一想，「矩形拼
板」帶給你(妳)的感覺是什麼呢？你(妳)學了些什麼？請用自己的話寫下來。
伍、學習回饋：
(一)我的感覺是：
(二)我覺得最有趣的是：
(三)我還想要知道的是：
我的名字是：(
)
103 年(
)月(
)日
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
x
2
x
2
x
2
11
任務卡
x
2
x
1
x
2
x
1
1
2
1
1
2
1
x
2
x
1
x
2
x
1
1
3
2
1
3
2
x
2
x
1
x
2
x
1
1
4
3
1
4
3
x
2
x
1
x
2
x
1
1
4
4
1
5
4
x
2
x
1
x
2
x
1
1
4
4
1
5
4
12
8
7
＝
－
一
x
2
x
1
x
2
x
1
1
13
12
1
8
12
x
2
x
1
x
2
x
1
1
7
12
1
12
11
x
2
x
1
x
2
x
1
1
?
6
1
?
9
x
2
x
1
x
2
x
1
1
?
12
1
?
15
x
2
x
1
x
2
x
1
1
課程五：方形拼板
壹、 活動器材：
一、設計好的大正方形(
x
2
)、長方形(
x)、小正方形(1)拼板若干個。(需請學生從紙板剪下)。
大正方形
長方形
小正方形
邊長
x
x、1
1
面積
x
2
x
1
x
x
2
x
1
x
x
1
1
1
二、紀錄單(每組 4 張)
三、學習單(每組 4 張)
四、回饋單(每組 4 張)
貳、活動說明：
一、單元主題說明：
(一)透過以「形」表徵「數」的「方形拼板」操作，發展「配方法」之先備具體心像，以利相
關正式課程之進行。
(二)活動適於「配方法」正式課程之前。
(三)適用年級：(國中八年級，亦可以於七年級實施)。
二、活動目標與核心概念：
(一)給定不同組數的大正方形(
x
2
)、長方形(
x)、小正方形(1)拼版，嘗試「將指定的拼板拚
成正方形」問題。
(二)將「指定的拼板拚成正方形」找出還需要幾個小正方形拼板才可以拼成完整的正方形。並
討論拚出來的結果與紀錄方式
(三)核心概念：發展配方法的操作性幾何表徵心像。
2
參、活動流程：
一、認識拼板：
x
x
2
x
1
1
1
1
x
x
大正方形
請學生觀察該拼板是哪種圖
形，並設定邊長為
x 單
位， 請學生討論其面積如
何表 示?
x
2
平方單位
小正方形(1)
請學生觀察該拼板是哪種圖
形，並設定邊長為
1 單
位， 請學生討論其面積如
何表 示?
1
2
=1 平方單位
長方形(
x)
請學生觀察該拼板是哪種圖
形。並比對前面兩個正方
形，可以發現其中邊長為
x
單位，另一邊長為
1 單
位， 請學生討論其面積如
何表 示?
1×x = x 平方單位
二、先備活動：建造、討論用拼版拼出正方形的正例與非例。
註：討論
x
2
＋
bx＋c 與(x＋q)
2
的關係，作為配方法的前置活
動
依照以下任務提供的拼板數字（只有大正方形(
x
2
)與長方形(
x)的數目），想一想，還要幾個小正
方形(1)，才能拼出正方形。
(一)利用
任務卡
提供的拼板數量，拚出一個矩形。
大正方形(
x
2
)
長方形(
x)
小正方形(1)
x
2
x
1
數量
1
2
?
紀錄
圖形
面積
邊長平方
?=1
x
2
＋2
x＋1
(
x＋1)
2
x
2
x
x
1
3
?=2
拼不出來
會多出一個小正方形
4
(五)遊戲規則示範及說明。(老師找一名同學示範並說明遊戲規則，其他學生聆聽)
肆、
實際遊戲。(安排同學三到四人一組)
(一)同組的同學每人拿一張記錄單，記錄自己每次任務卡完成後的圖形(簡易版)、面積、長寬。如下，
每次 1 分鐘。
紀錄
圖形
面積
邊長平方
得分
x
2
＋2
x＋1
(
x＋1)
2
3
(二) 同組 3~4 人討論後，判斷得到的分數，並記錄在最右欄。
(三) 玩到 12 張任務卡抽完為止(或誰先拿到 24 分，也可以宣告結束)。
進階版:另附 6 張王牌，其中長方形(
x) 拼版數目是奇數。學生可以自己透過嘗試剪裁或計算找出合
適的小正方形(1)拼版數目以排出正方形。由於難度提高，每人僅有一次抽該任務王牌的機會，完成
可得雙倍的分數。
舉例:
紀錄
圖形
面積
邊長平方
得分
x
2
＋3
x＋(
3
)
2
2
(
x＋
3
)
2
2
3
(一)共
12
張任務卡，老師先抽出 1 張任務卡，在 1 分鐘內依任務卡上提供的大正方形(x
2
) 拼版數
目、長方形(x) 拼版數目，再另外找尋適當的小正方形(1)拼版數目，拼出完整的正方形，並
記錄下該正方形的面積與邊長平方。
(二)拼出(若小正方形拼板數不夠，可以用畫出)1 分、寫出面積 1 分、寫出邊長平方 1 分(對於是
否完成任務，需同組 4 人討論後認可)。
(三)完成後該任務卡即可拿掉，若未完成，該任務卡仍需放回。
(四)接著輪到同學繼續抽出 1 張任務卡，在 1 分鐘內依任務卡上提供的大正方形(x
2
) 拼版數目、
長方形(x) 拼版 數目，再另外找尋適當的小正方形(1)拼版數目，拼出完整的正方形， 並記錄下
該正方形的面積與邊長平方。
依此類推。
(五)若同組四人，玩到 12 張任務卡抽完為止(或誰先拿到 12 分，也可以宣告結束)。
x
2
x
x
1
5
伍、遊戲紀錄單:
姓名:
(1)紀錄 圖形
面積
邊長平方
得分
(2)紀錄 圖形
面積
邊長平方
得分
(3)紀錄 圖形
面積
邊長平方
得分
(4)紀錄 圖形
面積
邊長平方
得分
(5)紀錄 圖形
面積
邊長平方
得分
6
陸、學習單：
發現「方形拼板」的秘密
我的姓名是：
一、
請將你完成的任務卡找出來並再作以下的整理。
x
2
x
長方形個數
1
小正方形個
數
面積
邊長平方
神
秘
數
字
k
1
2
1
x
2
＋2
x＋1
(
x＋1)
2
2、 觀察小正方形(1)拼板的數目，他們有甚麼特殊性質?
3、 觀察長方形(
x)拼板的數目，他們有甚麼特殊性質?
4、 依觀察記錄，將長方形(
x)拼板的數目除以 2，得出一個神祕數字 k，並記錄在上表。
說說看長方形(
x
)拼板的數目與 k 的關係。
說說看小正方形(1)拼板的數目與 k 的關係。
5、 有大正方形拼板(
x
2
) 1 個與長方形(
x
)拼板 a 個時，還需要幾個小正方形(1)拼板?
才可以拼成一個完整的大正方形。
我們玩過「方形拼板」，不管你的挑戰是否成功，接下來的學習單，可以參考剛才
記錄的活動單，用心想一想，用自己的話完成此學習單，才是這個活動最完美的勝利
者。加油喔！
7
我們玩過「方形拼板」單元的活動，度過了快樂的時光，現在請你用心想一想，「方形拼
板」帶給你(妳)的感覺是什麼呢？你(妳)學了些什麼？請用自己的話寫下來。
伍、學習回饋：
(一)我的感覺是：
(二)我覺得最有趣的是：
(三)我還想要知道的是：
我的名字是：(
)
103 年(
)月(
)日
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
x
2
x
2
x
2
9
任務卡
x
2
x
1
x
2
x
1
1
2
?
1
2
?
x
2
x
1
x
2
x
1
1
4
?
1
4
?
x
2
x
1
x
2
x
1
1
6
?
1
6
?
x
2
x
1
x
2
x
1
1
8
?
1
8
?
x
2
x
1
x
2
x
1
1
10
?
1
10
?
1