小數本質概念與教學策略探討

認知結構

1. 小數與整數和分數的關係

2. 小數讀寫法

3. 小數化聚

教學策略

1. 透過分數

2. 透過位值概念

3. 透過生活上的例子

4. 學生容易迷思點

1. 數學結構

小數定義：
小數是指比單位１還小的數。當整數被分成十等分、百等分、千等分…等等，分數就有了另外的特殊符號。

例如：當一個整數被等分成十等份後，以十份為單位中的一部份，以分數表示是「sup 11( 1 )」，但是，如果用另一種特殊的記法來記，就可記成「0.1」。

小數結構：
印阿記數系統是採用0~9的十個數字，和來記錄「數」。

印阿記數系統（滿十進一）：

2831＝2×1000 + 千位數是百位數的10倍
8×100 + 百位數是十位數的10倍

3×10 + 十位數是個位數的10倍

1×1

小數的記數系統也承襲了滿十進一的規則：

2. 35＝2×1 +

3×0.1 + 個位數是十分位數的10倍
5×0.01 十分位數是百分位數的10倍

9的下一個數詞是10，所以 0.9的下一個數是 1.0，而不是 0.10

小數種類：

小數分為：(一) 無限小數(二)有限小數

(一) 無限小數：循環小數-------0.33333333333

不循環小數------ 3.1416589756

(二) 有限小數：純小數例：0.1整數部份是零

帶小數例：1.1整數部份不是零

小數點後跟著n位數，稱為n位小數。

單位小數：一位小數、二位小數、三位小數

1. 一位小數－如：0.1

「十分之一」的另一種記法

2. 二位小數－如：0.01

「百分之一」的另一種記法

3. 三位小數－如：0.001

「千分之一」的另一種記法

小數點：
小數記法中的「.」稱為小數點，用來分隔整數部分與不夠整數的部分(即小數部分)。小數點右邊第一個位置稱為「十分位」，；小數點右邊第二個位置稱為「百分位」，；小數點右邊第三個位置稱為「千分位」。

小數點為對稱中心，小數點左右兩邊的位名並沒有對稱，小數點左邊（由右至左）的位名依序是個位、十位、百位、....，小數點右邊（由左至右）的位名依序是十分位、百分位、千分位....，如果小數點是位名的對稱中心，小數點右邊少了「個分位」。

2. 認知結構

小數與整數和分數的關係：
當整體被分成十等分、百等分、千等分…..等等，此時表示分量的分數就有了另外特殊的記法，例如可記成0.1和可記成0.01，此類記法稱為小數記法。

小數讀寫法：

小數化聚：
（1）0.1與0.01之間的化聚活動

10個0.01等於0.1

0.01＜0.10（比大小時，看小數點後的數）

小數點後位數不同時，少位數的可以補零。

如0.01 和0.1 做比大小時，0.1後面可以補零為0.10

（2）0.01與0.001之間的化聚活動

10個0.001等於0.01

0.001 ＜0.010

（3）0.1與0.001之間的化聚活動

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

100個0.001等於0.1

0.100＞0.001
畫線部分比大小

3. 教學策略

在國小「數」系統的教學，是先指導「整數」的學習，進而導入「分數」，最後才進入「小數」的學習領域。有關小數的教材在各年級安排的內容與順序大致如下：

數學教材小數內容分析表

透過分數：
將小數看成是由「等分割」及「合成活動」製作而成。

例如：單位小數0.285是記錄將一個整體一千等分割後，再集聚其中285份的分量，也就是記錄285個「0.001」的合成結果。

0.001 × 285 285 1000

透過位值概念：
經由多單位記數系統的位值概念來了解小數的結構，例如0.285是記錄2個「0.1」、8個「0.01」和5個「0.001」的合成結果。
（0.1 × 2）+（0.01×8）+ （0.001 × 5）=0.285

「0.1張紙」在哪裡（強調等分割的概念）

請學學生選出ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ中，斜線的部分哪一個是0.1張紙？

ㄅㄆㄇㄈ

教學重點：

教師在強調單位1，即一張紙為何後，教師在黑板上展示數張等分割的圖，請學生選出有顏色部分表示0.1張紙的圖，以診斷學生對十等分割的概念是否穩固。

塗彩珠活動（強調等分割的概念）

表 示一串彩珠，請回答下面問題。

（1）小萍有下圖這麼多串彩珠，其中有3串是紅色的，請將紅色的彩珠塗上顏色：

（2）小誠有下圖這麼多串彩珠，其中有0.3串是藍色的，請將藍色的彩珠塗上顏色：

教學重點：

教師以10串彩珠，每串各有10顆彩珠的情境，藉以要求學生思考3串及0.3 串間的差異。

透過生活上的例子：
在生活應用上，數學傾於使用「整數的概念」，例如：全班分為「2」組，而不會說，全班分成各「1 2」組，或是各「0.5」組。或是「1」個披薩分成「4」塊，也會說每一塊是「1 4」而不會說成「0.25」塊。因此，在教學上，老師應以生活上較為常見的例子做為解說，例如：郵票、加油的公升數、百米賽跑…等。

學生容易迷思點：
（1）比較小數大小

彰化縣今天上午下了1.56 公釐的雨，台中縣下了1.67 公釐的雨，南投縣下了1.7 公釐的雨，雲林縣下了1.49 公釐的雨，請問哪一縣市今天下的雨量最多？

 彰化縣台中縣南投縣雲林縣答：（3）

帶小數的比較大小，三個誘答選項是不管小數點直接將四個數看成整數做比較，受到整數法則的影響。

學童在進行小數比較大小時，常犯錯的類型有以下四種：

• 小數是比0還小的數

• 整數法則（小數點的位數愈多其值愈大，如3.21＞3.8）

• 分數法則（小數點的位數愈多其值愈小，如3.45＜3.2）

• 忽略小數點，如12.7＜4.28（認為127小於428）

( 2 )小數的化聚

上數學課時，老師問庭宇305 個0.01 應該怎麼表示，請大家幫庭宇選出正確的答案？

 3.05  0.305  30.5  305 答：（1）

測驗二位單位小數的合成，選項直接將單位與個數合成，選項對於二位單位小數合成位值觀念不清，選項完全忽略小數點的存在

• 四、五、六年級部分學童，雖較熟悉用運算方式理解小數的十進結構（例如：0.1 與1 的關係），但忽視概念知識與理解知識的獲得。

• 中年級學童在小數的化聚上不清楚小數與整數的關係、直接將個數與單位合成，例如：36個0.1是0.36。

( 3 )小數的稠密度

下列哪一個數最接近0？

 0.09  0.9  0.91  0.99 答：（1）

由於四個選項都在0與1之間，除了須瞭解稠密度之外，尚須有數線觀念，選項最接近1，選項對稠密度觀念尚需加強。

研究指出學生在說出0.2 和0.3 之間的小數時，僅有44﹪的學童答對，而問有其他的數介於這兩數之閒時，學童通常的回答是老師、或書本說的，代表學童缺乏小數稠密度觀念。

( 4 )小數位值、位名的認識

一顆西瓜重7 公斤，一顆草莓重0.07 公斤，將西瓜和草莓分別放在等臂天平兩端，要使天平保持平衡，請問草莓要放多少顆？

 700  100  70  10 答：（2）

測量一位整數與二位小數位值的關係。選項顥示對一位整數與二位純小數的位值轉換觀念不清。

中、高年級學童常會因為對位值概念的不正確，忽視小數點的存在而導致運算結果的錯誤。

( 5 )小數的意義

文文有0.08 張色紙，這是將1張色紙平分成幾份後的8份？

 800  100  10  8 答：（2）

需由逆向思考推論0.08是由全體平分100等份後中的8等份，選項對全體等分的的概念不清楚，選項對二位小數的由來概念不清，選項無法做逆項思考解題。

• 要兒童說明小數的意義（例如：0.1）有其困難。

• 不清楚純小數與1的關係、忽視整數部分、把小數當整數。

• 部分學童讀小數時，會將小數點後的數字視為整數來讀，例如0.7、0.8、0.9、0.10、0.11「零點十一」.…的序列詞，且年級越低錯誤比例越高。

( 6 )小數與數線對應關係

在數線上8.77 最接近下列哪一個整數？

 8  9  88  878 答：（2）

未具呈現數線要求學生以抽象思考判斷出在數線上最接近的數，學生在這方面容易受整數法則影響，忽略小數點當成整數處理，所以容易錯答成

( 7 )小數的十進結構

小明用0.1 公升的量杯裝水30 次，合起來是裝了多少公升的水？

 30  3  0.3  0.03 答：（2）

若是以一位純小數合成10次學生較易答對，但若改為合成30次，則較容易出錯。選項將數字直看成整數合成，選項對一位帶小數的十進位結構位值觀念錯誤。

( 8 )小數與分數的關係

將sup 7( 4 )以小數表示應是：

 0.4  0.8  4.5  5.4 答：（2）

選項直接將分子當成小數；忽略分母的存在，選項將分子當成整數、分母當成小數，選項分母當成整數、分子當成小數。

• 當小數→分數時

學童會依題目數字的個數決定分母，若題目的小數位數有2個數字則分母寫10（例如:3.25=3sup 7( 25 )）

若題目小數位數有3 個數字則分母寫100（例如:1.736=1sup 7( 736 )）。

• 分數→小數時

直接把分母當成整數部分而把分子當成小數部份（例如: sup 7( 5 )＝5.1）

直接把分子當成整數部分而把分母當成小數部分（例sup 7( 1 )如：1.5）

不管分母的數字，就直接把分子拿來當成小數部份（例如：sup 7( 1 )＝0.1）。

參考資料

1. 國小數學教材分析—小數的數概念與運算。2005年2月27日取自：http://www.naer.edu.tw/study/math/ana/book4/

2. 林宜臻的數學園地數學本質概念—小數概念。2005年2月28日取自：http://www.naer.edu.tw:8080

3. 劉曼麗（2004）九年一貫數學領域分數與小數能力指標的詮釋：子計畫三－小數。

4. 陳麗珍。國小四年級學童小數概念學習的偵測。2005年3月1日取自：http://gsems.ntctc.edu.tw/gsems/測統所歷屆論文與作品/[論文]_.pdf