【教學單元：概數】
授課教師：林宜臻 教授
學生姓名：吳佳儒
一、概數的本質概念
（一）概數的意義
「概數」意即「大概的數」，代表不是非常精確但很接近的一種數值。雖然概數不是正確值，且一個數值經由不同的方式取概數，可能會有好幾個概數，但許多時候，使用概數很方便，也具有其參考價值。例如「現在大概四點」、「外面氣溫約25度」、「差不多有100人參加會議」等等說法，都是在日常生活中，對於數量的大概描述。
概數出現時，常伴隨著「大約」、「大概」、「差不多」、「左右」等詞句，代表此一數字並非最精確、毫無誤差的。因此，基於方便，或該數字較難精確判斷時，則可選擇以一個約略的數字加以代替，此即概數的意義。
（二）取概數的益處
1.容易記、容易寫：
一般人對於複雜的數值與數列的之記憶能力並不好，因此，當數字太多、太複雜時，常讓人需要花費更多的心思去記憶。概數的益處則是，可將數字簡化，化成容易記憶、容易書寫的數字，同時也可保有該數值原本的大小與特性。
2.能很快掌握數目大小：
如果對於一個數量的精確性要求不高，只想知道大概的大小，那麼概數能很快速地讓人對此數值有一簡單的掌握。
（三）使用概數的時機
1.當正確的數量不是那麼重要，只需大概知道數量的大小即可時：
例如，台灣的土地面積實際上是36006.1784平方公里，但平常我們只希望知道台灣面積的大概數值，因此我們就可用「概數」表示大約是三萬六千(36000)平方公里。
2.當數量因時間而不斷變動時：
例如，95年年底雲林縣人口有720986人，我們常寫作約72萬人，原因在於人口數會因為出生與死亡而不斷變動，不會一直維持在
720968。因此，取一個簡單的數字作為代替。
同理，計算時間的問題也很類似，當有人問說現在幾點時，我們會說12點3分，或更簡單地說是12點，由於時間不斷地在走的特性，所以人們不可能給出一個正確答案，因為當您回答完後，這個答案又改變了。
3.測量工具與人為因素可能造成誤差時：
許多長度、大小由肉眼是無法判斷的，因此我們會藉助測量的工具；但測量總會造成誤差，也有人為干擾的因素，得到的數值不可能完全精確，因此，也可運用概數來代替。例如某人的身高用量尺測得160.2公分，實際上某人的身高不見得完全正確，但為了方便記錄，人們通常只取160公分這個近似值，以作為某人的身高。
（四）學習概數的流程
1.低年級課程：
引入兩位數的概數活動，利用「拾」階為單位，來大約地描述兩位數。
(1)討論該兩位數最多大於幾個「拾」，或該兩位數最少會小於幾個「拾」。例如：一個漢堡25元，身上只有10元的硬幣，要幾個才能買？
(2)討論「三十幾」這種說法的意思為何，會讓學生說說看有可能讓我們估計為「三十幾」的數目有哪些。
2.中年級課程：
引入「幾百多」的概數活動、導入日期的問題，探討區間日期的最大天數與最小天數，透過日常生活經驗中二位數及三位數的概數，並能用適當的概數敘述事件。
例如：小寶出生200多天，最多與最少各是幾天？最多是299天，最少是201天。
3.高年級課程：
(1)學習各種取概數的方式。
(2)了解「無條件捨去法」、「無條件進位法」、「四捨五入法」等不同取概數的策略時，概數代表不同區間內的整數，同時能列出可能的範圍區間。
(3)概數的計算與應用
（五）學生學習概數常見迷思
1.四捨五入法最好：
即使還沒開始學習概數，對於學生而言，四捨五入法這個名稱可能也不會太陌生，可能日常生活中就常常接觸到，因此，學生往往先入為主地認為這是最好的取概數方法。事實上，「無條件進入法」和「無條件捨去法」各自有適當的使用時機和優點。概數的取法，沒有哪一種比較好，只有哪一種較適當。雖然在一些特殊的情境中，人們對概數的使用已經發展出一些約定成俗的取法，但對於剛接觸概數的學生來說，很容易因為自身經驗，而誤認「四捨五入法」是最好的之偏差印象。
2.「二十」是不是「二十幾」：
依據日常用法，我們在提到數字為「二十幾」時，通常不包含二十這個數，因為二十本身是一個相當容易理解與計算的數字，且在語法上也簡便。因此，通常是將某數取概數而得到二十的結果，而不會將二十取概數得到另一數，同理也可在三十、四十、五十等數印證。如果學生有「二十」等同於「二十幾」的疑惑，教師可以說明在「二十」中，並沒有多於「二十」的部份，因此也沒有「二十幾」的方式來予以解答。
（六）解決學習概數常見迷思的方法
1.設計各種情境：
取概數的規則並不必然，只有是否適當。因此，教師可透過各種情境讓學生進行練習與思考，例如購物、領錢、換錢等情境，透過老師的講解，以幫助學生體會這些取概數的法則。
2.生活經驗的累積：
短短的一個數學單元中，或許可以提供學生原則與方法，但是不容易讓學生完全熟練與靈活應用。因此除了課堂之外，在生活中多加練習與嘗試，也是學習成功的關鍵，而教師也可以透過不斷地複習、回顧來加深學生的印象。
3.開放式討論：
基於概數的特性，可透過小組討論的方式讓學生分享彼此意見與經驗，並從中找到最佳的答案。故開放式的討論能夠激盪學生對於概數的認知與理解，此乃不錯的方式。
二、概數的教學內容
教學領域 | 數學 | 教學單元 | 概數 |
教學對象 | 五年級 | 教學時間 | 1節（40分鐘） |
教 學 研 究 | 一、教材分析： 透過實例的操作與應用，讓學生了解概數的意義並學會取概數的幾種方法，並且能理解概數在生活中的方便性與使用時機。 二、教學重點： （一）了解「無條件捨去法」的意義及取法。 （二）了解「無條件進入法」的意義及取法。 （三）了解「四捨五入法」的意義及取法。 （四）透過不同的情境，理解取概數方式的合理性。 三、學生經驗： （一）二位數加減。 （二）長度的實測與估計。 （三）乘除法。 | ||
教 學 目 標 | 單元目標 | 能力指標 | |
一、認識概數的意義。 二、認識概數的取法及其合理性。 三、利用概數做加、減的估算。 | N-2-05能應用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數，並利用概數作簡單的估算。 | ||
教 學 活 動 | |||
活動一、認識概數 透過教師舉例，對於概數的意義有初步的認識。 （一）教師舉例 1.台灣的人口有2300萬人「左右」。 2.從台北搭自強號到台南「大概」要花四小時。 3.中山高速公路全長「約」400公里。 （二）教師提問 生活中有哪些是類似的概念？有哪些情形我們會使用到概數？ （三）學生分享 （四）教師綜合講解 學生分享之後，由教師綜合講解概數的意義，以及在生活中扮演的角色。 活動二、無條件捨去法 透過教師佈題與學生參與活動，讓學生了解「無條件捨去法」的意義及取法。 （一）教師佈題 1.現有58個梨子，滿10個梨子才能裝成一盒，總共可以裝成幾盒呢？ 2.坐一次旋轉木馬要10元，小華身上有35元，最多可以坐幾次？ （二）教師講解 講解無條件捨去法取概數的應用，並釐清學生的觀念。 （三）教師佈題與學生練習 1. 100張榮譽卡可以換一張「榮譽獎狀」，如果我有2238張榮譽卡，我可以換幾張「榮譽獎狀」？ → 2238 = 22 * 100 + 38 2.1000張榮譽卡可以換一個「榮譽獎盃」，如果我有2238張榮譽卡，我可以換幾張「榮譽獎盃」？ → 2238 = 2 * 1000 + 238 活動三、無條件進入法 透過教師佈題與學生參與活動，讓學生了解「無條件進入法」的意義及取法。 （一）教師佈題 1.一杯咖啡要65元，小明帶得都是十元硬幣，最少要掏出多少錢才能買一杯？ 2.一台數位相機要8540元，提款機只能提領千元鈔票的話，至少要領多少錢才能夠買？ （二）教師講解 講解無條件進入法取概數的應用，並釐清學生的觀念。 （三）教師佈題與學生練習 1.現在總共有16386隻金魚，如果一個水族箱裡最多能放100條金魚，需要幾個水族箱才裝得完呢？ 2.現在總共有16386隻金魚，如果一個魚池裡最多能放1000條金魚，需要幾個魚池才裝得完呢？ 活動四、四捨五入法 透過教師佈題與學生參與活動，讓學生了解「四捨五入法」的意義及取法。 （一）教師佈題 1.中華職棒的總冠軍賽共有8748人進場看球，如果以千人為單位的話，進場的球迷大概有幾千人呢？ (1)用無條件捨去法 (2)用無條件進入法 2.世界盃足球賽的冠軍賽共有102596位球迷買票進場，轉播單位想知道現場大概有幾萬人，答案會是？ (1)用無條件捨去法 (2)用無條件進入法 （二）教師提問與學生討論 1.這兩種方法哪一種比較能呈現真實情況？ 2.讓學生討論為什麼，暫時不給予評論，先進入下一部份。 （三）教師舉例 有一隻小螞蟻出外覓食，爬出洞口後發現他的右手邊有一塊披薩，左手邊有一塊蛋糕： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
螞蟻要往那邊走才能比較快吃到食物呢？ （四）教師講解 教師提示四捨五入法取概數的原則與釐清概念。 （五）學生練習 1.中華職棒的總冠軍賽共有8748人進場看球，如果以千人為單位的話，進場的球迷大概有幾千人呢？(用四捨五入法) 2.世界盃足球賽的冠軍賽共有102596位球迷買票進場，轉播單位想知道現場大概有幾萬人，答案會是？(用四捨五入法) （六）教師提問與學生回饋 1.這三種方法哪一種比較接近真實數字？ 2.什麼時候適合用無條件進入法？ 3.什麼時候適合用無條件捨去法？ 4.什麼時候適合用四捨五入法？ 活動五、估算 （一）教師講解 教師提示估算的種類包括： 1.先無條件捨去取概數，再計算。 2.先無條件進入取概數，再計算。 3.先四捨五入取概數，再計算。 （二）教師佈題與學生練習 淡江大學附近共有三所國小，淡水國小有728位學生、鄧公國小有588位學生、文化國小有646位學生，請問： 1.淡水國小的學生人數分別用無條件捨去法、無條件進入法、四捨五入法來取概數，分別約有幾百位學生？ 2.鄧公國小的學生人數用無條件捨去法、無條件進入法、四捨五入法來取概數，分別約有幾百位學生？ 3.文化國小的學生人數用無條件捨去法、無條件進入法、四捨五入法來取概數，分別約有幾百位學生？ 4.這三所國小的學生總人數，分別用無條件捨去法、無條件進入法、四捨五入法來取概數，各有約幾千位學生？ 5.這三所國小的學生人數，分別用無條件捨去法取概數後，再相加，合計這三所國小的學生總人數約有多少人？ 6.這三所國小的學生人數，分別用無條件進入法取概數後，再相加，合計這三所國小的學生總人數約有多少人？ 7.這三所國小的學生人數，分別用四捨五入法取概數後，再相加，合計這三所國小的學生總人數約有多少人？ | |||
參考書目：
張英傑(民95)。國小課本數學9。台北：南一。
教育部： http://www.edu.tw/index.htm