統計的本質與重要性：數位時代的必備素養

敘述統計（Descriptive Statistics）

意義

將雜亂無章的原始資料(即樣本)，加以整理、組織轉變為易讀易懂的形式，來說明樣本特性。

常用以表示方式

數字(即統計量)，例如平均數、中位數、標準差、全距等；或統計圖表，如直方圖、長條圖、盒型圖、次數分配表等來描述資料的分布情形。

目的

透過敘述統計分析的使用，有助於對研究樣本的確認與瞭解。

推論統計（Statistical Inference）

意義

探討母體與樣本之間關係，根據樣本分析結果，對母體未知的特性做估計、檢定或預測，並給予適當的解釋。

常用以表示方式

點估計、區間估計、假設檢定。

目的

在面對龐大母體時，藉由抽樣理論，能以較少成本，利用推論性統計協助決策者進行判斷與決策，以管窺天。

統 計 圖

意義

將資料以點、線、面、體等圖形為主，以文字數字為輔的表現方式即為統計圖。也就是利用點的多寡，線的長短粗細、起伏趨勢，面積和體積的大小，顏色深淺來表示資料的特性者稱之為統計圖。

功用

資料可以文字及統計表的方式來表現它的特性，然而文字的說明往往費時費事，且不易表現資料的性質；表格雖然比文字簡單清楚，但有時仍嫌抽象，不如統計圖形來的清楚扼要，因此，統計圖就產生了。

統 計 表

意義

將蒐集到的資料整理成表格的形式，並以文字及數字表現出來，即是所謂的統計表。

功用

統計表的功用主要在於將資料簡化，使其便於比較，易於了解、記憶與運算，並顯示出資料的特性，以及節省文字說明的麻煩。

長條圖

定義

非連續性資料之次數分佈圖，可以說用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少畫成長短不同的直條，然後把這些直條按照一定的順序排列起來，也稱條形統計圖。

種類

直條圖

群組式直條圖

橫條圖

特性

1. 各分組的次序可以變動。

2. 長條圖沒有所謂底部刻度。

3. 長條圖的長條寬度沒有意義。

4. 這些長條是分開的，用以凸顯不同的類別各組間之大小關係。

5. 離散型資料均以此圖示法用來表示。

繪製方法

1. 經次數分配或相對次數分配彙整後的屬性資料，可藉由此圖示法描述。

2. 長條圖的外圍由兩條線組成，一條為「類別線」，用來標示類別；另一條為「數線」，用來標示各個類別的數量。

3. 長條圖可以直畫（數線直立於圖的左側）稱為直條圖；或橫畫（數線橫放於圖的底部）稱為橫條圖，較常使用直條圖。

4. 在各組標識上，畫一高度為該組的次數或相對次數之定寬長條。每一個長條代表一組。

5. 分類中有「其他」項時，通常列於最後。

注意事項

1. 同一長條圖中，每一長條寬度是相同的。

2.「類別線」上一定要標明類別的名稱。

3.  繪圖時，「長條」一定要對準類別的名稱。

4. 依資料彈性調整間格數，並且數線上的數字一定要標清楚。

範例

讀者們最喜愛閱讀哪一家報紙呢？

根據日前一份市調結果顯示，甲報、乙報、丙報及丁報排名前四名內。而在1000份有效問卷之中，甲報得 420票，乙報得 120票，丙報 150票，而丁報則得到 200票。將這些次數彙總於以下次數分配表中。

直方圖

定義

將一組數據分成數組後，再繪製成連續型資料之次數分佈圖，為統計圖的一種，在直方圖中，柱和柱之間沒有空隙，而且組距都是連續下去的。

種類

直方圖

特性

1. 分組的次序不能變動。

2. 專用於表示連續型資料之次數分佈圖。

3. 除非有空組，否則長條間不能有空隙。

繪製方法

1. 將資料依大小排列；求全距。

2. 依據全距與樣本個數將資料的數值範圍定適當組數。

3. 決定同樣寬度的組距。

4. 定義組限，組界定義須明確，每個觀測值只能被歸入一組。

5. 計算各組次數。

6. 依各組次數表繪圖→每一個長條代表一組→橫軸上標示出分布的組距刻度（長條的寬度）→縱軸上代表各組計數次數（長條的高度）。

注意事項

1. 橫軸與縱軸儘量由0 開始。

2. 圖形應以單一色為原則，本示範僅為使各分組顯出差異。

3. 直方圖的外圍由兩條線組成，一條為「類別線」，用來標示類別，多以範圍呈現；另一條為「數線」，用來標示各個類別的數量。

4. 「類別線」上一定要標明類別的名稱。

5. 繪圖時，兩長條之間一定要緊密相連。

6. 依資料彈性調整間格數，並且數線上的數字一定要標清楚。

7. 直方圖是顯示統計結果的一種圖示，直方圖是處理次序變數或連續變數資料（如身高、體重數…等）。

8. 組距利用「以上」、「以下」、「超過」、「未滿」等語詞的共識。

補充

1. 圖之高與長之比例大約為三：五，此即為黃金比例。

2. 組數多寡並無明確定義，但不宜太多亦不宜太少，其決定有多種原則，常用方式為Sturges 法，史氏認為組數= 1 + 3.322 log 10N。

3. 組距以5、10、15 …等常用數字較為常見。

範例

下表為120位成人，每分鐘脈搏跳動之次數分配表，(表中組界為每分鐘脈搏跳動次數範圍)

次數分配折線圖

定義

又稱次數多邊圖，將一組數據分成數組後，再繪製成一密閉折線。

種類

次數分配折線圖

組合式次數分配折線圖

特性

1. 分組的次序不能變動

2. 專用於表示連續型資料之分佈圖

3. 其結構與直方圖相似，只是將每一直方之組中點以線相連結

繪製方法

1. 統計圖本身之線條，必須比座標線或尺度線粗與清楚。

2. 線段兩端應延伸至橫軸上。

3. 橫軸與縱軸儘量由0 開始。

4. 線段應以單一色為原則。

注意事項

1. 折線圖的外圍「類別線」，用來標示類別和「數線」，用來標示各個類別的數量

2.  標出原點0。

3.「類別線」上一定要標明類別的名稱。

4.  繪圖時，兩點之間一定要用直線連接。

5. 依資料彈性調整間格數，並且數線上的數字一定要標清楚。

6. 折線圖依時間變化排序，不得任意更換。

7. 折線圖可根據折線的上升或下降，推斷或預測數量間的變化。

8. 折線圖根據刻度的大小，畫出的折線有很大的差別，但代表的意義相同。

範例

下表為120位成人，每分鐘脈搏跳動之次數分配表，(表中組別為每分鐘脈搏跳動次數範圍)

圓形圖

定義

用整個圓的面積表示總數，用圓的扇形面積表示部分所占總數的百分數，這樣的統計圖叫做圓形統計圖(也稱扇形圖)。

種類

圓形圖

分裂式立體圓形圖

特性

1. 每一個資料項目在圓形單位所佔的百分比。

2. 毎一項資料項目的百分比相加等於100%。

3. 顯示各項相對於項總和的比例大小。

繪製方法

1. 以圓形為一個單位。

2. 算出毎一個資料項目的百分比。

3. 利用圓心角乘以每項的百分比，可以找出各項所佔的角度。

4. 毎個資料項目用不同顏色作為區分。

注意事項

1. 毎一項資料項目百分比的和等於100%。

2. 要利用量角器來輔助製作。

3. 毎項資料的數據都是以百分比表示之。

4. 可以劃出圖例說明每項資料，並且將每項資料的百分比畫在圓內各項資料上，以便讀圖。

範例

讀者們最喜愛閱讀哪一家報紙呢？

根據日前一份市調結果顯示，甲報、乙報、丙報及丁報高居榜首。而在1000份有效問卷之中，甲報得420票，乙報120票，丙報150票，而丁報則得到200票。將這些讀者閱讀之次數彙總於以下次數分配表中。

名詞

解釋

次數

各筆或各組資料出現或發生的「次數」、「人數」等。

相對次數

各筆或各組資料出現或發生的次數除以全部次數的總和。

有序資料

因數量、時間、位置等有序變化而產生對應的資料。

累積次數

有序資料中依出現或發生的秩序（如：由小至大）累加至各筆或各組的次數。

累積相對次數

有序資料中依出現或發生的秩序（如：由小至大）累加至各筆或各組的相對次數。

百分位數

各筆或各組資料的相對位置，表示有百分之多少的資料比該筆或該組資料的數要小。

分位數

將資料分成數等分，其分割點即稱為分位數。

平均數

所有資料的總和除以總次數，即所有資料的平均值。

中位數

第50百分位數，通常表示比這筆或這組數大和比這筆或這組數小的資料各佔一半。

眾數

出現次數最高的一個或一組數。

全距

資料中最大數與最小數的差。

四分位數

第25、50、75百分位數也分別被稱為第1、第2、第3四分位數，第2四分位數又常被稱為中位數。

四分位距

第3四分位數與第1四分位數的差。

機率

一個事件會發生的機會；機率常以百分率或分數來表示。

統計圖

能表現統計資料的圖形。

橫軸、縱軸

統計圖中水平、鉛直方向的軸線。

長條圖

以長條狀圖形高度或長度代表資料量的統計圖形，又稱bar chart，其中各長條間並不相連接。

折線圖

以直線連接相鄰兩資料點的圖形。

圓形圖

以圓內各扇形面積代表資料統計量的圖形，又稱pie chart。

直方圖

以長條狀圖形高度代表資料量的統計圖形，又稱histogram，其中各相鄰長條間彼此相連接。

盒狀圖

以盒狀圖形表現最大數、最小數、第1、第2、第3四分位數位置的圖形，又稱box chart。

標準差

變異數開平方即所謂標準差，常用來量測一群資料的分散程度，為分散趨勢量中之一種。

變異數

變異數即在量測所有資料到平均數的平均距離。常用來量測一群資料的分散程度，為分散趨勢量中之一種。

年級

統計與機率

四年級

˙橫軸、縱軸、長條圖、折線圖

˙圓形圖

九年級

˙次數、相對次數、累積次數、累積相對次數、百分位數、四分位數

˙平均數、中位數、眾數

˙次數圖、直方圖、盒狀圖

˙全距、四分位距

˙機會、機率、抽樣、隨機性質

不易掌握之概念(常見迷思概念)

教學者之對策

1. 統計圖表與長條圖

會搞不清楚「間距」代表的意義。

在設計題目時，如果間距為50，那麼一半即為25，以淺顯易懂的數字及方式，建立學生對於「間距」的基本認知，在帶領其重複做題目練習。

【陳玫年老師受訪，李姿儀訪談】

2. 生活中常見的交叉對應（二維）表格

二維表格通常是統計單元，現在還沒教到，不過依照以往的經驗，直接讀表格沒有什麼問題，但如何把表格上的資訊畫成統計圖會需要花多一點時間指導。

【李建亭老師受訪，黃健哲訪談】

3.統計圖表：

a.有時候無法把物品歸類做成統計圖表

b.統計圖表無法聯結生活經驗

c. 不清楚如何看圖表和製表

d. 長條圖的統計表的長條是要畫在數字的上面，學生會直接畫在2個數字的中間。

e. 縱軸、橫軸的代表意思容易搞混。

像一堆東西要分類然後再畫統計圖表好看出有多少，學生會不知道怎麼分才好，老師剛開始就會帶他們分，之後舉例怎麼分，再讓他們自己去分類看看。

【宋屏麟老師受訪，黃綺紋訪談】

老師會拿些火車時刻表、電視節目表，讓小朋友知道表格圖與實際中生活運用的關係，也會用分組競賽方式提高學生的學習興趣。

【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】

從一大堆數字中讓學生自己分類，然後數數（次數），在畫成長條圖，在此部分比較重要的是「步驟」，每一步驟都很重要，不可或缺。至於在機率方面，從簡單的數數到機率的推論即可，利提最好用日常生活的例子，學生比較能瞭解。

【林世健、周　勇】

讓學生多練習幾次。

【蘇鈺瑋老師受訪，劉又寧訪談】

利用具體的圖表呈現給學生看，讓學生比較有何不同，再告知學生所代表的意義為何，為何會做這樣的呈現。

【顏秀芬老師受訪，王珮綺、馬國霖訪談】

4.百分比

學生不知如何將0.12化作百分比(12%)

告訴學生百分比的意思就是要先將東西分成100等份來看，比如將一塊長型蛋糕分成100塊，12塊就是佔全部的 ，化作百分比就是要乘100，所以× 100=12%

【蔡宜真老師受訪，蔡佩蓁訪談】

5.折線圖

　　折線圖上所描繪的點須取在每個單位量的正中央，而學生對於那個中間值常搞不清楚。

(1)直接告訴學生繪製折線圖時的中間值等於組距除以二（例如：組距為20, 30, 40, 50…的折線圖橫坐標，其標示點就在25、35、45…上）。

(2)當繪製統計圖時，強調橫軸、縱軸所代表的意義一定要寫出來。

【王惠貞老師受訪，吳昀曇訪談】

6.平均數

學生對於平均數的定義不容易了解，學生容易用死背公式的方式來運算平均數。

【例】：五年級甲班舉辦捉泥鰍比賽，甲班學生捉到的結果是沒有捉到的有5人，捉到1隻的有3人，捉到2隻的有8人，3隻的有6人，4隻的有2人，5隻的有1人，問每位學生捉到泥鰍的平均數是多少？

※學生常犯解題錯誤

學生容易將沒有捉到的人當作0人，在全班總人數上忽略沒有捉到泥鰍的人數，因此學生將式子列為

（1×3＋2×8＋3×6＋4×2＋5×1）÷（3＋8＋6＋2＋1）

＝50÷20

＝2.5（隻）

※學生常犯解題錯誤

學生很容易沒有看清楚題目的問題，只看到數字就將數字作運算。

陳老師請學生將「每位學生捉到泥鰍的平均數是多少」畫線，陳老師提醒學生先看清楚題目要問的問題，之後陳老師問學生怎麼算，在黑板寫出（如下）

平均＝總和÷個數，陳老師解釋總和代表全班共捉到泥鰍的數目；個數代表全班人數

陳老師在黑板上寫出（如下）

沒有：5人

1隻：3人

2隻：8人

3隻：6人

4隻：2人

5隻：1人

陳老師列出算式（如下）

5×0＝0

3×1＝3

8×2＝16

6×3＝18

4×2＝8

5×1＝5

接著算出全班共捉泥鰍的數目

0＋3＋16＋18＋8＋5＝50（隻）

學生容易忽略寫0

然後算出全班總人數

5＋3＋8＋6＋2＋1＝25（人）

學生容易忽略寫5（以為沒有捉泥鰍的人不算在全班總人數中）

最後答案

50÷25＝2（隻/人）

【陳淑真老師受訪，莊靜詩訪談】

7.平均數的次數

在平均數題目中學生容易把次數的意思弄混。

【例】：

次數	1	2	3	4	5	6
得分	3	4	0	2	4	5
次數	7	8	9	10	11	12
得分	3	4	1	2	4	4

學生容易將得分為3的次數算成有1＋7＝8次；得分為4的次數算成有2＋5＋8＋11＋12＝38次。

學生因為次數算錯，所以在算平均數時也會算錯。

陳老師將得分相同的次數用相同顏色的筆圈起來，提醒學生題目所求的次數意思，之後問學生得分為3的次數有幾次，在第1、7次皆為得分為3，所以共2次；得分為4的次數有幾次，在第2、5、8、11、12次皆為得分為4，所以共5次。

【陳淑真老師受訪，莊靜詩訪談】

8.平均數與加權平均數的迷思

學生雖然都會做這兩個的計算，但是無法了解為何要如此麻煩算出兩個平均數，老師會解釋因為課程的節數不同而有不同的重要性，或許老師可以再帶入更多的實際例子舉例，讓學生更明白加權平均數的妙用，如有的學生英文最好，數學最差，那麼他考試一定是英文能夠加重計分對他最有好處等等。

(杜陽蘭、張夢鑾)

9.小朋友容易錯誤的地方是間隔：有時會忽略這是代表3這是代表4、或是代表5。

提醒學生注意要歸零開始計算。那半格又是多少？一格代表5格等比較容易錯，要提醒小朋友不要粗心。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

10.統計之差距較大的組距（如5以上）

畫線，算看看有幾個距離，並告訴孩子並非組距是5就畫5條線，而是要有五個距離。

【陳穎潔老師受訪，張雅芳訪談】

11.統計方法中，長條圖的運用：小朋友一開始常無法正確運用長條圖，例如沒有從橫座標底端開始畫起，有些小朋友甚至難以看懂長條圖的意義。

王老師先不要求按照長條圖的作法，而是直接先要求小朋友，自己畫任何的標誌來代表有幾個東西，並且要讓別人一眼就可以看出代表的數量。小朋友有這種代號標示的觀念之後，再來教長條圖，這樣會比較容易理解長條圖代表的意義。

【王怡楷老師受訪，曾建民訪談】

長條圖

折線圖

長條圖最大特色是容易透過圖象清楚看出資料的大小關係，且即使改變其長條的次序，也不改變其本質。

折線圖若改變其順序，則往往失去了原來的本意。故一般說來，折線圖乃考察數量的變化情形，其橫軸往往是依時間或分數的先後次序排列的，若順序一改變，其折線型態亦將隨之改變。

長條圖

直方圖

長條圖資料項目屬於「類別變項」，可變換次序。長條圖可適用於較多類型資料，較普遍使用。

直方圖資料項目為次序連續變數，故不能任意更換變數位置。橫軸上的分數有連續或次序關係，故必須依序排列，不能任意更動變數位置。

1-d-01

能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。

D-1-01

說明：

●讓學童自由發揮，允許學童多元的分類與記錄方式，只要能夠將資料加以整理即可。
● 例：班上的男女同學數；班上同學的出生月份；對給定不同顏色色紙的分類；班上同學最喜歡卡通的紀錄；班上工作分配的人數列表；幾何形體教具的分類（參見1-s-02）。上課的課表，也是一種表格紀錄的方式，應鼓勵學童製作。

1-d-02

能將紀錄以統計表呈現並說明。

D-1-01

說明：

●讓學童將分類與數量的紀錄，製作成表格式統計表。
● 例：小明利用下列其中一種表格將書包裡面鉛筆、剪刀及書本的個數記錄下來。

3-d-01

能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。

D-1-02

說明：

●例：電視節目表、各班人數表、餐廳價格表等，並配合「數與量」單元進行教學。

3-d-02

能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。

D-1-03

說明：

●例：用功課表等來教學，並配合「數與量」單元進行。
●可利用火車時刻表等，來規劃旅行計畫。

4-d-01

能報讀生活中資料的統計圖，如長條圖、折線圖與圓形圖等。

D-2-01

說明：

●利用生活上的統計圖，作為例子，例如：某班的成績分佈情形，可分別以長條圖、折線圖或圓形圖來呈現。
●「報讀」是指將統計圖上所看到的資料讀出來。
●資料的解讀應於「社會」、「自然與生活科技」等領域的教學中進行為宜。 圖1、成績分佈長條圖

圖2、成績分佈折線圖

圖3、成績分佈圓形圖

● 此階段長條圖、折線圖不涉及座標的教學，只需對橫軸、縱軸的資料有所了解。教師可以使用生活中簡單的長條圖、折線圖，來使學童認識統計圖上橫軸、縱軸的資料，並報讀資料。
● 圓形圖部份，不涉及圓面積、圓心角及扇形面積的教學，僅報讀資料，並觀察各區域大小與資料間的對照關係。

4-d-02

能報讀較複雜的長條圖。

D-2-02

說明：

●此處的較複雜的長條圖是指各種變形或資料較煩瑣的長條圖。
● 利用已學過的長條圖知識，讓學童舉一反三地報讀變形長條圖，並不需要教遍各種變形長條圖。
● 示例中的各種變形長條圖不一定都要呈現，可以當作學習活動來進行相關討論。
● 例：各種變形長條圖的樣式：
圖4

圖5

圖6

●圖4、圖5又稱直條圖，圖6又稱橫條圖。教學上宜以直立的長條圖為宜。
●統計圖表的功能在於由圖表可以輕鬆掌握整筆資料，如果只看原始資料不容易有整體印象。
●現成長條圖包括在報紙或雜誌中所見之長條圖，本細目著重在學童直接報讀長條圖，而非將資料轉換成長條圖，可讓學童省去繪製大量資料圖表的時間。
●例：92年五月全國各縣市人口數（人口統計電子報第《598》號）。

圖7

5-d-01

能整理生活中的資料，並製成長條圖。

D-2-03

說明：

●學童可將現成資料，藉由次數、數量或人數做成長條圖。
● 例：各國每人每日垃圾量（中國時報88.6）。
因為想要了解每個人每天會製造多少垃圾，而收集了下面的資料：台灣每個人每天的垃圾量為1.14公斤、日本1.09公斤、新加坡1.10公斤、德國1.09公斤、美國2.00公斤、南韓1.07公斤、英國1.34公斤、法國1.53公斤、荷蘭1.58公斤。並將資料以長條圖表現。
問：從下圖中可以看出什麼？你有什麼想法？

●例：台灣地區主要宗教的信徒人數統計（內政部，民88）。
小馨想要了解台灣哪些宗教有較多的信徒，於是從網路上收集有關的資料，將收集到的資料分類整理後如下表，並從資料中挑出擁有最多信徒的6種宗教，將之以長條圖表現。

圖2

● 若以百分率表示資料的量，也可以看出資料顯現的資訊。如引用【台灣學童近視罹患率（康健雜誌，88.2）】，來製作如下的長條圖，如圖3。

圖3

5-d-02

能報讀生活中有序資料的統計圖。

D-2-04

說明：

● 有序資料係指因為數量、時間、位置等的有序變化而產生對應資料。

圖4

●圖4是以睡眠時間的長短為序來製作橫軸，而4-d-02圖7是顯示【92年五月全國各縣市人口數】，其橫軸即具有各縣市地理位置的規則性。

5-d-03

能整理有序資料，並繪製成折線圖。

D-2-04

說明：

●本階段，不宜引進變數或函數的概念，僅須以時間、數量的變化來說明有序資料。
● 可使用在一種有序變化下，如時間改變、數量變化等，同時對應幾個變化的資料製作折線圖，來了解對應變化間的關係。
● 教學上，資料不宜過於複雜，且折線以不多於兩條為宜。

6-d-01

能整理生活中的資料，並製成圓形圖。

D-3-01

說明：

●本細目應納入6-s-04扇形面積的教學活動，不須另立教學單元。
● 若無先後、大小、位置關係的資料也可以圓形圖來表現。教學時，可以各組次數除以所有資料次數總和所得的百分率或比值，轉換成圓心角的角度後來製作圓形圖。
● 例：對50位國中男生最喜歡的休閒活動作調查後，將各項活動的人數加以整理後如表1，來製作圓形圖，如圖1。

表1

● 圖1以百分率來取代人數，可以從圓形圖中看出喜好各項活動人數的比例。若將各組資料以人數表示，也可由圓形圖中看出各組資料間的相對關係。

圖2

9-d-01

能將原始資料整理成次數分配表，並製作統計圖形，來顯示資料蘊含的意義。

D-4-01

說明：

●將資料發生的「次數」或「人數」視需要加以排序或分組整理而成的表格統稱為次數分配表。
●累積次數」則為經排序或分組整理後，依序累加至各筆或各組資料的次數；「相對次數」是將各筆或各組資料的次數除以總次數所得的比值；「累積相對次數」則為依序累加至各筆或各組的相對次數。通常以小數、真分數或百分率來表示「相對次數」、「累積相對次數」。
●例： 中山國中三年一班的數學科第一次段考成績總表，如下表：

表1、三年一班數學成績表

這一班的數學教師，林老師，想了解成績分佈情形，她會把成績整理成如下的頻率表，又稱次數表或人數表。

表2、三年一班各組成績次數表

如果想了解各組成績的相對次數，林老師可以製作如下的相對次數表：

表3、三年一班各組成績相對次數表

這樣，林老師知道有將近一半的學生成績不及格。其實，她也可以再整理成下列的累積次數表及累積相對次數表：

表4、三年一班各組成績累計次數表

表5、三年一班各組成績累計相對次數表

林老師有更多的資訊來了解班上成績的分佈情形，例如：全班有13位，或43%的同學數學需要再加強。

●統計學中，條形圖分為長條圖、直方圖兩大類。長條圖適合用於表現離散的資料，因此各長條以適當的距離間隔來表現資料的離散性；直方圖則適合用於表現連續的資料，因此各長條間並無間隔，且資料應依序排列。
●國中階段統計的教學宜以有序且具連續性的資料為主，統計圖形則以直方圖、或折線圖為主，如圖1的次數圖即以直方圖的樣式來呈現。
●相對次數圖」是將次數圖（如圖1）之次數改為相對次數，而「累積相對次數圖」則是將相對次數改為相對累積次數。
●述諸圖之製作皆依各組之順序在橫軸上標示其位置，再依各組的次數、相對次數或累積相對次數，來製作直方圖。各圖形亦可以折線圖表示，僅需在各組標出中點，又稱組中距，再將各點順序相連即可。

圖1、三年一班各組成績次數圖

圖2、三年一班各組成績累計次數圖

圖3、三年一班各組成績相對次數圖

圖4、三年一班各組成績累計相對次數圖

●製作以上各圖時，組距被強迫設定20；一般而言，組距的大小是以(最大值－最小值)÷(組數)來訂定，因而次數表與次數圖變成表6與圖5。這種不同的表現方示是被允許的，因為重點只在於表達分布的情況，不可能有「最佳」表達法。

表6、三年一班各組成績次數表

圖5、三年一班各組成績次數圖

9 -d-02

能理解百分位數的概念，認識第10、25、50、75、90百分位數，並製作盒狀圖。

D-4-01

說明：

●百分位數是各組的相對位置，表示有百分之多少比此數要小。因此百分位數即是這個或這組數累積相對次數對應的分數。
●百分位數中較重要的是第10、25、50、75及90 百分位數。由於資料個數的因素，不一定能在資料中非常明確的找到這幾個百分位數的對應資料點。從統計學的觀點，可以其百分位數前後最接近的相鄰兩組資料平均值來代表該百分位數。如例1，第10、25、50、75及90 百分位數分別為35、44.5、64.5、80及84，其中第25、50及75百分位數皆以上述方法取平均值後而得出的。教學上，應讓學生在進行資料整理過程中了解此特質。
●可利用較重要的百分位數來製作盒狀圖。如例1，我們若取第25、50及75 百分位數，和最大數89、最小數5，可以作成如圖6的盒狀圖。

圖6、三年一班成績盒狀圖

9-d-03

能利用較理想化的資料說明常見的百分位數，來認識一筆或一組資料在所有資料中的位置。

D-4-01

說明：

●我們可利用資料的累計百分率，或累計相對次數，以折線圖的樣式來製作累計百分率圖，如圖7。
●想了解某個百分位數所對應的資料位置，我們可由累計百分率圖縱軸上百分位數的位置作一條水平線使其與累計百分率曲線相交，再由此交點作一條鉛直線與橫軸相交，這個交點即為其所對應的資料位置。

圖7、三年一班成績累計百分率圖

9-d-04

能認識平均數、中位數與眾數均可以某種程度地表示整筆資料集中的位置。

D-4-02

說明：

●平均數是指所有數的總和除以總次數；中位數是指第50百分位數，這組數通常表示比它大和比它小的資料各佔一半；眾數是次數最高的一個或一組數。以三年一班數學成績為例，平均數為61.8，中位數為64，眾數為80。

9-d-05

能認識平均數、中位數與眾數在不同狀況下，被使用的需求度有些微的差異。

D-4-02

說明：

●平均數、中位數會使落在兩邊的資料呈現出某種「平衡」狀態。平均數是量的平衡，中位數則是個數的平衡，而眾數是落在出現次數最高的位置，與平均數、中位數有差別。平均數對於資料中有特別大或特別小的數特別敏感，中位數則不受影響。以 { 1, 2, 3, 4, 5 } 和 { 1, 2, 3, 4, 500 } 兩組資料為例，第一組的平均數、中位數均相同，但第二組的中位數不變，平均數則為102，而以三年一班數學成績為例，平均數和中位數很接近。

9-d-06

能認識全距，並理解全距大小的意義。

D-4-03

說明：

●全距是最大數與最小數的差，全距大通常表示資料較疏散，全距小則是指資料較集中。以三年一班數學成績為例，最大數與最小數分別為89、5，而全距為84。

9-d-07

能認識第1、2、3四分位數，及四分位距。

D-4-03

說明：

●第25、50、75百分位數也分別被稱為第1、第2、第3四分位數，可記為Q1、Q2、Q3，而且第2四分位數又常被稱為中位數；四分位距則為第3四分位數與第1四分位數的差，即Q3－Q1。以三年一班數學成績為例，Q1、Q2、Q3分別為44.5、64、80，則四分位距為35.5，且由圖6我們很容易指出Q1、Q2、Q3的位置。

9-a-07

能理解拋物線的線對稱性質。

A-4-07

說明：

●介紹拋物線的對稱軸與頂點。
●說明拋物線對稱軸的線對稱性質。

9-d-08

能理解當存在少數特別大或特別小的資料時，四分位距比全距適合來描述整組資料的分散程度。

D-4-03

說明：

●我們可由四分位距和全距間的差異性來描述整組資料的分散程度。以三年一班數學成績為例，由圖6的盒狀圖我們很容易看出資料集中在Q1 到 Q3 附近。我們也可以盒狀圖，如圖10，來分析幾組資料間的關係。
●能引導學生使用電腦軟體，如具電子試算表或基本計算功能的程式語言，處理較大筆資料的計算，也可以附加的繪圖功能來製作統計圖形；也可引導學生使用電算器，處理數量不太多的資料（如例1）的統計量。
●在處理量大且人工不易完成計算，或具重複性的資料時，可嘗試使用電腦軟體來計算相關的統計量，如：平均數、中位數、眾數、百分位數、四分位數及四分位距等，藉以了解這些統計量在統計實驗中顯示的意義。

圖8

9-d-09

能以具體情境介紹機率的概念。

D-4-05

說明：

●可使用實物，如骰子、抽球、撲克牌等，來做實驗，或以樹狀圖分析所有可能發生的情形，來理解某些情形發生的機會，以認識機率的概念。
●例： 請10位同學輪流丟一顆骰子，每人丟6次，並記錄每次出現的號碼。實驗完成後統計每個號碼出現的次數，看看每個號碼出現的相對次數是否接近1/6，且所有相對次數的總和為1。如果不夠接近，多找幾位同學加入，再觀察實驗結果。
●例： 教師請一位同學同時丟二顆骰子，問這位同學所丟骰子的號碼相同的機會是多少？
●例： 教師將裝有10顆球的袋子(其中有2顆紅球8顆黃球)，展示於學生面前，學生已經知道共有10顆球且分成2種顏色，但不知道各有幾顆，讓每位同學抽1顆球，並統計全班抽到紅球、黃球的次數各有幾次，做成分類表或長條圖，觀察結果，看看之間的比例，用此比例來猜猜袋中紅球與黃球的比例，再以此比例猜猜袋中的10顆球中有幾顆紅球、幾顆黃球？

9-d-10

能進行簡單的實驗以了解抽樣的不確定性、隨機性質等初步概念。

D-4-05

說明：

●初步資料的收集(丟骰子、抽球等實驗)可以利用課餘進行。在生活中進行簡單的實驗，以了解機率的初步概念。
●例： 本活動的目的在於，讓學生在抽樣實驗中，經驗樣本被抽到的機會一樣多的可能。實驗活動為：10個已編號的乒乓球，每人抽3個，抽完後統計每個乒乓球被抽到的次數，將結果繪製成長條圖，看看每個乒乓球被抽到的機會是不是一樣多？
●例： 理想中每一個樣本出現的機會一樣多，本活動的目的在於，讓學生在抽樣實驗中，經驗樣本出現的機會一樣多的可能。實驗活動為：每個人丟骰子5次，統計各種點數出現的次數，將結果繪製成長條圖，讓學生觀察長條圖，看看各點出現的次數是不是一樣多？