一個物件導向的數學概念學習與診斷工具
摘要
我們應用物件導向的觀念和技術，設計一套網路程式，提供數學概念工具箱、文字題與題目中的關鍵量詞物件，請學習者依據這些材料來解題。這套程式將解題過程中的程序性計算步驟全部隱藏在物件之內，促使學習者專注在數學概念的組合、和關鍵量詞的相對關係上。所有的操作都以滑鼠的點選和拖放完成，而且這套程式不預設一定的解題步驟或方法。解題過程中的所有動作，都依序儲存在伺服機內，以便做後續的分析、診斷或重播。
關鍵詞：數學概念，問題解決歷程，物件導向，網路程式
次主題：課程軟體設計，學生模式及學習歷程評量，網上學習
單維彰(Shann, Wei-Chang) 陳鵬昌(Chen, Peng-Chang)
中央大學數學系 中央大學數學系
中壢，臺灣320 中壢，臺灣320
(03)4273025 (03)4227151-5142
[email protected][email protected]
An Object-Oriented Math Concepts Learning and Diagnosis System
Abstract
With the application of concepts and techniques of object-orientedprogramming, we design a network program that provides toolboxof mathematical concepts, word problems and the associatedkey quantity objects.The program invites people (problem solvers) to solve the word problemsby the provided materials.By doing so, all arithmetic procedures are encapsulated inside the objects,and the problem solvers are lead to concentrate on the relationsamong mathematical concepts and key quantities,they are temporarily released from the burden of calculations.All operations are done with click-and-choose and drag-and-dropby a pointing device.The program does not presume any procedure for the solution of a problem.All actions are sequentially recorded on a remote server as raw data.Later on, one can analyze the raw data for further studies,or they can be used to replay the actions of a solver.
Keywords：Mathematical Concept, Problem Solving, Object-Oriented, Network Programming
Sub-themes：Courseware Design, Student Modeling & Portfolio Assessment, Web-Based Learning
一個物件導向的數學概念學習與診斷工具
摘要
我們應用物件導向的觀念和技術，設計一套網路程式，提供數學概念工具箱、文字題與題目中的關鍵量詞物件，請學習者依據這些材料來解題。這套程式將解題過程中的程序性計算步驟全部隱藏在物件之內，促使學習者專注在數學概念的組合、和關鍵量詞的相對關係上。所有的操作都以滑鼠的點選和拖放完成，而且這套程式不預設一定的解題步驟或方法。解題過程中的所有動作，都依序儲存在伺服機內，以便做後續的分析、診斷或重播。
關鍵詞：數學概念，問題解決歷程，物件導向，網路程式
一、緒論
數學能力如同閱讀及寫作能力一樣，都是我們文化生活中基本必要的技能。社會中的各行各業，有些需要基本演算的知識、有些需要統計的知識、諸此不等。一般而言，我們本身有關數量及空間的知識 (即數學知識)，普遍影響我們在社會中運作的功能是否良好，以及我們可以得到的機會是否豐富等等﹝Gange, C. W. Yekovich,F. R. Yekovich, 1993﹞。而數學能力、數學知識的培養與獲得，須從基礎的數學概念來建構：能正確理解數學概念，才能掌握數學知識。
教與學過程中有訊息的傳遞。但此過程不是簡單的信息傳遞過程，學習者並不是簡單地把輸入的信息記錄下來。依認知心理學的訊息處理模式及 Piaget (1896—1980) 學派理論：學習者理解和形成數學概念時，是一種主動的認知歷程。他們對新內容、新訊息的解讀，將以當時的知識及瞭解去建構概念，而他們也會有一種利用舊經驗的觀點來看待新訊息的傾向。所以，當新訊息的出現，學習者會將它納入已有的經驗系統，或按自己的方式理解新的東西－－同化 (assimilation)，或者改造自己原有經驗而形成新經驗－－順化 (accommodation)，經由這些過程使個體的認知結構獲得適應 (adaptation) 的平衡(equilibrium)。
在學習者剛開始學習一個新數學課題時，教師不容易分辨：學習者是真正瞭解數學概念，或只是學會數值或符號的處理？而且教師由紙筆測驗中所能看到的學習者反應，一般以數值的計算步驟為主，無法看到學習者的心智理性活動，有時也很難判斷由學習者自己所建構的概念是否正確？是不是真的理解數學概念？可用的判斷方法是監看學習者解題歷程及使用的策略，如果學習者表現出的能力只是機械式的模仿，不可能產生適應力，教師即可從中診斷迷思概念的來源，並可具此修正教學方法或安排更適當的學習環境。
問題解決 (problem solving) 是數學教育的另一個重要課題。尤其對此時代的人們而言，為應付未來生活及職業的需求，往往需要更多面對問題與解決問題的能力。美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics) 自從 1980 年即倡導數學問題解決為數學教育的重心。以廣義的角度思考，數學與真實世界的聯結與溝通，乃是透過「問題解決」之歷程﹝楊錦潭，民85﹞。意即從學習者問題解決之歷程中，可觀察學習者運用數學觀念與真實世界溝通之情形，並促使學習者瞭解數學與生活及其他學科是息息相關的，也可獲知學習者是否掌握正確的概念，並學得必備的基本技能，而非一大堆對學習者而言毫無意義的符號操作，及一大堆學習者需要反覆記憶的公式規則。
數學概念的建構及問題解決的歷程，皆可利用電腦科技來達成。例如1980 年代頗具影響力的 Papert，主張利用 LOGO 程式語言實施幾何教學。他建議的做法是，利用電腦呈現一個模擬的情境，使學習者操弄情境中的某些變因，並觀察運作結果，做為修正的依據，進而從這些探索的過程中，發展出有關如何依程序解決問題的能力並建構知識。意即可透過電腦科技、電腦軟體的功能，利用文字、圖形來呈現數學知識，由學習者操弄，化抽象知識為具體經驗，協助學習者建構數學概念。所以，可把電腦當作學習數學的工具，讓學習者利用此工具從探索中理解數學觀念。電腦科技之功能，在於提供知識表達的另一個媒體，激發學習者回憶既有知識或輔助學習者內化知識，將新知識建立於既有知識之上。此外，電腦學習環境中，學習者參與發現知識的過程，與以往學習環境大不相同，若在適當的設計下，將有不可預期之發展。
電腦科技的日新月異，影響了教育的變革，逐漸成為教學媒體的主流。電腦使用的普及，除了硬體設備價格下降外，軟體設計皆朝向人性化的圖形操作介面及物件導向設計。圖形操作介面是結合了認知心理學的研究成果－－人類對於感官所能接觸、看見、聽到的具體事物(如圖形)，比抽象的文字、符號之認知能力高過許多。它的發展關鍵除了圖形的使用外，還包括了物件導向觀念的突破：使電腦模擬或對應真實世界的事物，如桌面、視窗、按鈕等。為了使軟體與使用者交談、互動，需要新的軟體發展方式，使程式能處理這些物件，因而引發了物件導向程式設計的研究。物件導向既是一種程式設計的方法，同時也是一種程式設計的概念：將資料與相對應動作的程序結合成物件，物件間有適當的關係，彼此以訊息溝通。物件導向與圖形操作介面的結合，產生了更方便、更好用的物件導向式環境〔賀元，賴明宗，劉燈，民84〕。
二、目的
數學知識是學習科學知能所必備的，若能培養基本數學概念的嚴密基礎，學習者才能在這基礎上建立將來所需的知識。日常生活即一連串問題解決的過程，問題解決能力的培養也是現今數學教育的重點之一。觀察學習者解題歷程及其使用的策略，可診斷出迷思概念及瞭解先備知識的組織品質。近來電腦科技的進步，網際網路的發展，我們想利用這些科技，以物件導向的觀念設計一個能幫助數學概念學習且能記錄解題歷程的輔助工具。它將能夠使得學生專注在數量與數量之間的關係、專注在概念與概念之間的銜接，而可以暫時避免數值數字的干擾、暫時避免計算程序的負擔。教師也能從這些記錄的分析中，了解學生學習狀況與所遭遇的困難，並可做為修改教學策略、課程設計的參考。
基於以上的理念描述，這一套軟體系統的設計，有以下幾項主要的目標：
概念工具：將每個數學概念，以工具選單的表徵呈現，讓學習者將數學概念當做解決問題的工具。而引發概念工具的動作，會在螢幕上顯示此概念的符號運算形式(模板)，幫助學習者熟悉概念與符號的聯結。此外，相關概念工具以群組方式出現，使學習者能將相關的概念做適當的聯結並整合運用。
題目物件：在問題解決歷程中，將可能運用到的已知數、未知數等數量，以圖示物件呈現，做為解題的提示。可用滑鼠拖放這些圖示物件，若將圖示物件放置於錯誤位置，可以拖拉至垃圾桶丟棄。
介面簡單：整個軟體的操作只需滑鼠按鈕、選單或拖放圖示物件。
自動計算：概念學習為主要目的，只要圖示物件配合正確的概念工具，計算過程將自動呈現。
歷程記錄：在解題過程中，將使用者曾選用的概念工具及圖示物件擺放位置，依照時間順序記錄成電子檔案。此記錄檔案，可透過 WWW 瀏覽器觀看，並做簡單的排序、篩選及過濾工作。將來並可依此記錄，製作學習者行為模式的統計資料，也可以作為診斷的輔助資料。此外，還可以按照這些記錄重播學習者的解題歷程，作為教師觀察、或其他學習者仿效之用。
網頁呈現：使用 WWW 瀏覽器即可執行，不需額外安裝其他軟體。
三、系統設計的原則與方法
3.1 數學概念方面
這套軟體系統以國中數學為標的，將國中數學教材中行之多年的基本概念題型，設法設計成適合本系統執行，或設計適合本系統理念的新題型。我們參考已有的數學概念分類研究成果，在概念脈絡中，決定何處應當作必備的預備概念或知識，以利後續的設計。一般而言，解題的方法眾多，而我們的系統，在理想上應該完全不能設限(但可以拒絕學習者選取實在太不相關的概念)，且必須預先考慮所有可能的方法，讓學習者可以嘗試用不同的方式來解決問題。
關於概念模板的設計，我們相信，國中數學老師本來就有一套在黑板上演示的概念模板。我們盡量比照這些模板，將它們從黑板移植到電腦軟體。這樣作還有一個必然的好處，就是如果學習者在課後使用本系統輔助學習，則他們看到的概念模板，就和課堂上老師在黑板上寫的一樣，所以更熟悉。
3.2 電腦技術方面
WWW 瀏覽器操作簡易及功能強大的特性，是促使 WWW 快速成長的原因之一，使得上網已是每位電腦使用者的基本能力。所以學習者經由瀏覽器的操作經驗，對 Web-Title (WWW 環境課程軟體的泛稱) 的操作應是簡單、容易上手的。本著美國教育學者 Dewey 所提的「做中學」概念，再提供適當的互動架構，讓學習者能夠參與學習環境的操作，以獲得具體的概念，達到學習的目標。於是我們採用主從架構(Client-Server)，利用網路傳輸的功能， Client 端可將 Web-Title 的內容(HTML、CSS、JavaScript、Java Applet等)下載於 Client 端執行，如此可減輕 Server 端的負擔，提昇網路的效能。透過 CGI 將 Client 端的回傳資料(學習者執行過的步驟、日期、時間等)儲存於 Server 端，教師可將這些資料分析處理，做有效的利用，不像以往每次都必須仔細閱讀幾十份的紙筆測驗卷，減輕教師的負擔。
四、系統設計的概念與實作
這個系統的目的，就是要提供數學教師與學生，一套融合圖形操作介面、物件導向設計、網路通訊功能的軟體系統，使它成為學習數學概念的輔助工具。以下，分成五節來介紹這套軟體系統的設計。在每一節中，我們首先列舉一些相關的背景知識，再以以下這個基本的範例，來描述我們的原型軟體之設計。
【例】系統乃是以國中一年級的「比與比例式」單元為標的。網址是
http://www.math.ncu.edu.tw/~chenpc/MyProject
請以微軟IE 為瀏覽器，而且版本需是5.0 以上。目前Netscape 第6 版可能已經可以支援程式中用到的某些Java Script，但是我們還沒做完整的測試。當您看到「請輸入學號」的時候，隨便輸入一個號碼即可。這個原型系統中有若干個實驗題目。以下，我們以第二題為例：
創創和守守打捧球，創創在１５次打擊中，擊出６支安打；而守守在２４次打擊中，擊出９支安打，請問創創的安打數與打擊數的比值是多少？而守守的又為何？（打擊率即為安打數與打擊數的比值）請問誰的打擊率較高？
4.1 數學概念與數量思維的物件化
數學概念對數學能力的發展具有決定性的影響。概念的建構，是基於學習者原有的知識、概念，與接收到的訊息統整運作達到個體認知結構的適應平衡。在此整合過程中，學習者所建立的概念有無偏差？認知結果能否取得大眾的共識？這些是數學教育工作者所重視、而且想要探討的課題之一。
數學概念的來源，一般認為有兩個方面。其一直接從客觀事物的數量關係和空間形式反映而得，另一是在抽象的數學理論基礎上經過多級抽象而得。所以數學概念既有抽象性，也有它的具體內容﹝楊弢亮，民74﹞。意即數學概念是感官對外在經驗的活動或運思，經由抽象之後所得到的數、量、形的性質，或者是歷代數學家把前代的概念結果更加抽象化、一般化而得來的。所以，形成數學概念的過程需要運用分析、綜合、抽象、概括等各種基本的邏輯思維方法，來認識事物的最根本、最重要的屬性。從此過程中，可發現數學概念的重要特性「階級」－－由肌肉、感官對外在世界經驗後而得的概念，稱為初級概念 (primary concept)，由數個概念再抽象之後得到概念，稱為二級概念 (secondary concept) ﹝Skemp，1987﹞。這表示學習者在學習新概念之前，必先學習這概念所用到的先前概念。如果在連續抽象過程中某一步驟錯失了，將導致以後學習的困難。例如：了解算術運算的基本原則是學習代數運算的必備要件。
P. Thompson〔1993〕強調數量(quantity) 與數值(numerical value) 之不同，提倡數學教育應該盡量引導學生進行數量思維(quantitative reasoning)，而不是數值思維，這樣才能夠比較有效地直指數學概念的學習，而不是數字的操弄。但是Thompson 也知道，實際情況下，無論課堂講解，或是練習材料，都難以在語言或符號上明確地、或說強制性地，分割數量與數值。尤其是對於尚未充分掌握代數形式之抽象思維方法的初級學生，要在教學時分割數量與數值，雖然不是不能辦到，卻總是較為煩瑣，而且有賴於較高的教學技巧。
我們的目的，就是要設計一套軟體系統，使得教師和學生，都可以在一個很自然的環境中，區分數量與數值，而且很自然地被引導以數量來思考。Thompson 所謂的數量，在我們的軟體系統中，就是物件(object)，而物件都是以圖標(icon) 來呈現。學生藉由滑鼠拖拉這些圖標，來安排物件與物件之間的關係，這也就是數量思維了。這種思維模式，強調數量與數量之間的關係；而這種關係，就是數學概念的本質。因此我們相信，因操作數量物件而進行的數量思維，有助於數學概念的成形。
【例】在例題中，有幾個關鍵數量，它們都被包裝成物件，並且以圖標顯示。包括：創創打擊數、創創安打數、守守打擊數、守守安打數。學生被引導去處理這些數量，而不是它們的數值。
4.2 問題解決歷程、概念組合與計算程序
數學家 Polya (1887-1985) 是最早提出「問題解決」概念的人。他認為數學非只是重視結果，問題解決的過程中所運用的思考及創意才是數學教育的精髓。他在「如何解題」〔Polya, 1945〕一書中，提出解決問題的四步驟：
１、了解問題 (Understanding the problem)：解題者必須了解句子的意義並看出什麼是已知的、什麼是未知的、和了解它們之間的關係及哪些先前概念可供使用。
２、想出計畫 (Devising a plan)：解題者必須認清題目各條件的關係，利用已有的知識，獲得解決問題的想法，並擬定計劃。
３、執行計畫 (Carrying out the plan)：解題者由計畫的思路，執行各種計算和其他必須的操作。
４、回頭檢驗 (Looking back)：解題者檢視答案，並重新仔細看過自己所經歷的過程，試著看出這個經驗如何能夠有助於其他問題的解決，或進一步思考是否有另一解題路徑。
這四步驟並非階段分明的。若發現計畫無法執行或檢驗發現錯誤，需檢討是否了解題意的每項提示，再重擬計畫、執行計畫。此乃強調學習者學習解決問題時，要集中注意於歷程，而不是成果。除此之外， Polya 認為：學生應被要求去解決問題，和去觀察別人解決問題﹝Mayer，1987﹞，透過仿效其他學習者之策略，或思考彼此間想法之差異，增進自己對概念的認識及解題技能。
【例】本系統並不能直接探究學生是否「了解問題」，也不能直接看到他們「想出計畫」的過程。但是因為學生在本系統中「執行計畫」的方式，乃是以概念模組和數量物件來操作，所以比較容易從其解題歷程中觀察他們是否了解問題，還有他們的計畫是什麼。
在本系統的畫面左邊，有一個數學概念箱。在原型系統中，目前有四大類的概念：比例、比較大小、周長、四則運算。每一類當中又有若干概念選項，例如[比例] 欄內，有比、比值、比例式、連比、連比例式。學生必須從概念箱之中挑選適合題意的概念出來解題。對於某些問題，可能有超過一組的合適概念可以用來解題。我們的系統會盡量給予學生這種自由度。例如在本題中要比較大小的時候，學生可以選擇通分，也可以選擇化成小數。以後的例題，還有更複雜的多樣概念組合之可能性，就不在此多說了。
每選擇一個概念，就會呈現這個概念的模板。在上述例題中，學生應該會選擇[比值] 概念。那麼，在模板上就看到兩個空格要填。系統不接受學生直接填入任何數據，而是必須拖拉數量物件進入空格。由此，可以觀察學生是否瞭解概念與數量之間的關係。
至於「回頭檢驗」則很自然，因為解題中的每個步驟都保留在螢幕上，而且還增加了計算步驟，可以讓學生審視。在解題過程中，學生可以取消概念模板，也可以將放置錯誤的物件拖拉到垃圾桶，表示丟棄。而「仿效其他學生的策略」也是很重要的一環。由於我們記錄了每個學生的解題歷程，將來可以重播整個歷程。
從以往的數學教學及數學成就測驗的內容，可發現其十分重視程序性知識：即要求學習者反覆練習運算程序。但程序性知識只是整個解題的一個成份步驟，未必成為數學思維的核心活動。況且如今資訊工具普及，小型計算機、電腦處處可見、人人可及，可將繁瑣的計算步驟交由資訊工具處理，所以應該強調數學不是只在學習得到正確答案而已，而應重視解題的歷程、概念的發展、深層的理解〔Thompson, Philipp, Thompson 1994〕。
這個系統，就是本質性地利用了電腦的數值計算能力。我們讓電腦作它該作的事：計算，讓人作人該作的事：組合概念。學生只要專注在概念的選擇和組合，以及物件的正確關係；他們可以暫時避免數值計算程序的干擾，也可以免於計算錯誤的憂慮。
在此必須強調，我們並非不重視運算程序，而是在此系統中暫時免除學習者的計算負擔，使其能夠完全專注於概念的學習。運算的程序性知識與技能，仍需動手實際演練，才能達到得心應手的程度。但這方面的學習，並非本系統之所長，應由其他學習工具或學習方法來輔助。
【例】在例題中，學生利用[比值] 概念模板，正確地拖拉數量物件之後，就能產生新的數量物件：創創的打擊率、守守的打擊率。然後就要比較大小。系統提供兩種模板：通分、化成小數。兩者皆可，任由學生選擇。而選擇之後，只要將剛才新產生的兩個數量物件拖進去，電腦就執行計算了。看到答案之後，學生就要回答誰比較大的問題，而這應該是最最基本的數的概念了。
4.3電子資訊媒體應容許更高的互動自由
電腦科技不斷創新、進步，硬體快速更迭、軟體人性化的設計，再加上電腦網路與多媒體技術的成熟，呈現出多樣的風貌，不僅改變了人們以往的生活，縮短了時空距離，更帶動了教育的變革。美國數學教師協會﹝NCTM,1998﹞在「學校數學的原則與標準」中，將科技列入其六項原則之一，強調善用科技安排在課程中來幫助學生瞭解及使用數學。國內教育改革的重點之一即是「資訊融入各科教學」，以培養學生運用科技的能力、主動探索與研究的精神，並讓學生獨立思考與解決問題。而教學理論的創新，促使教師的教學方式需做多元化的變革。而且，情境認知、建構主義等認知學習理論者，咸認為電腦科技融入教學對學生的學習與能力培養是有幫助的，所以電腦科技結合教學已是時勢所驅。電腦科技將漸漸取代傳統的教學媒體，成為新一代教學媒體的主流。
電腦科技之所以成為眾所青睞的教學媒體，乃因其不但具有其他媒體展示的功能，還能配合軟體的人機互動介面設計(human-computer iteration interface design)，以表現出電腦獨特的交談式或互動式功能。所謂「互動」是指因使用者不同的動作而產生不同的反應，具有接受使用者指揮的反應能力，可以根據使用者的要求執行不同的工作。如此，可以滿足人非常基本的操弄需求，顯示出使用者為電腦主人之感覺。這與認知派的學者強調學習控制(learner control)相吻合。現在，除了計算能力和互動功能之外，我們想要開發電腦的另一項輔助學習的功能：概念之組合。相對於計算的程序性：必須按照一定的順序與步驟，概念是組合性的：可以根據計畫來實施各分項，再將各分項兜在一起。
早期的教育軟體是以程序性(procedural)概念的程式語言所撰寫，以呈現資訊給學習者，引導學習者照既定的程序做出反應，整個流程在事先已做了安排。物件導向概念的引入，使程式設計技術完全改觀，將之應用於教學軟體的設計，可發現與認知心理學的學習理論相符合－－在學習者與學習環境的互動上，只有在學習者動作產生時，環境才有對應的反應發生，可讓學習者觀察他所採取的行動後，學習環境的回應，並了解彼此之間的關係。Winn〔1999〕亦說明了這個觀點：經過設計的物件，具有動作的方式，在開放的系統中，在任何時候，會根據使用者的意願採取行動後，做出適當的回應。
【例】在例題中，當然要先有創創和守守的打擊率，才能比大小。但是，兩人的打擊率，哪個先算，哪個後算，卻無差別。凡是有這種情況發生的時候，本系統都容許學生作選擇的自由度。將來，我們希望更提高這種自由度。
4.4 圖形操作介面與物件導向設計，原本是為了教育
自從 1984 年 Apple 公司推出 Macintosh 個人電腦，並且獲致市場的成功以來，配合滑鼠操作的圖形人機介面受到廣泛的接受。如今，除了少數系統軟體仍沿用文字操作介面之外，電腦軟體皆已進入圖形操作介面(Graphics User Interface, GUI)的時代。廣大的電腦軟體使用者，在直觀的圖形介面下，透過指掌之間的滑鼠，避免難以記憶的文字指令，容易地操控電腦，加速了電腦使用的普及。
事實上，GUI 的創造，乃至於滑鼠的發明，全部源自於1970 年代初期在Xerox PARC 實驗室中，由Alan Kay 所領導的研究團體。而Kay 之所以要創造這些工具，在他的心裡有一個更崇高的理想：教育。Kay 在1967 年首度接觸到當時在實驗當中的「個人電腦」。雖然當時那台FLEX 有一百多公斤重，需要一輛小貨卡來載運，但是Kay 根據Moore 定律估計，在1990 年初期就應該會出現筆記型電腦。充滿理想的Kay，首先想到的是，這樣的小型資訊工具，最適合學童用來當作學習的伴侶。但是當時的電腦操作介面，就連一般的工程師都需要認真學習才能掌握，更何況兒童呢？為此，Kay 研讀Piaget 的認知心理學理論，並且親自到日內瓦拜訪了這位大師〔Shasha and Lazere, 1995〕。在創造了GUI 的操作雛形之後，Kay 著手開發適合兒童自己動手設計的程式語言。他們創造了一種新的程式語言，叫做Smalltalk，同時他為此新語言的設計理念命名，就是Object-Oriented：物件導向。所以，早在1970 年代初期，Kay 創造出物件導向和圖形操作介面的整個背景目的，就是為了教育。這個崇高而理想的目的，竟然在三十年的時光裡，被商業的價值所淹沒。Kay 領導設計的商品，從來未曾在市場上成功過。他在1980年被迫離開Xerox 公司加入Atari，後來Atari 也倒閉了，他又去Apple，現在則在華德狄斯奈公司擔任電腦動畫卡通影片事業的顧問。
數學的思維本來就是物件導向的。如今，一般的計算機科學家都同意，程序導向的程式語言，比較靠近電腦的「思考」模式；而物件導向的程式語言，比較靠近人類的思考模式。而它之所以靠近人類的思考模式，正是因為它更貼切地反應了人們的數學與邏輯思維。因此我們認為，要提高電腦輔助教材的人性，必須按照物件導向的概念來設計。
【例】在原型系統中，已經可以看到整個圖形操作介面的設計。而經過前面的解釋，也已經可以看到我們在物件導向設計上所花的心思和作法。
4.5 記錄查詢
除了以上對此系統的描述介紹外，學習者操作此軟體時，於概念模版上選按[確定] 鈕後，不論答案正確與否，軟體皆會馬上提供回饋。若回答錯誤，學習者可根據回饋的訊息，思考錯誤的原因，進而修正答案。這些操作動作的資訊皆會由Client 端傳回Server 端，並儲存成電子檔案。我們亦實作了一個簡單的瀏覽介面，用來觀看此記錄檔案，網址是
http://www.math.ncu.edu.tw/~chenpc/MyProject/record.htm
此網頁中呈現七項欄位的表格(藍色字體) ：日期、時間、學號、單元、題目、工具、訊息。可在日期或時間的字體上以滑鼠點按，表格即會依日期或時間由小至大排序。表格上方有四項提供篩選、過濾功能的項目：日期、學號、單元、題目。在想要篩選的項目方框中勾選或在字體上點按，下拉式選單即可作用，可從中選擇所要察看的特定選項。篩選項目可多重選擇，例如：勾選了學號與題目兩個項目，選擇了某位學習者與某道題目，在表格上將呈現此一學習者在解決所選問題的所有操作資訊。
表格開始所顯示的是記錄檔案的所有資訊，經由上述的排序、篩選及過濾後，教師可針對某位學習者的解題歷程做分析判斷，瞭解其發生困難之處，診斷其錯誤的概念、想法，進而實行補救措施；或可針對某問題的記錄，瞭解學習者在遭遇此類問題時，運用數學概念的情形，從中分析統整，若發現大部分學習者對某些概念的運用有混淆不清的情況，此時教師即可改變教學策略或提供另一學習環境，協助學習者建構清楚、正確的概念。此外，這些記錄將來可用於製作學習者行為模式的統計資料，也可用於重播學習者的解題歷程，讓其他學習者觀摩，瞭解他人的解法與自己的異同，或指出其錯誤之處，這也是一種學習方式。
五、結論與未來工作
運用電腦科技的優點來協助數學概念的學習與問題解決能力的培養，是此研究的主要理念。讓電腦處理它的專長項目：計算，讓人們處理他們該作的事：組合概念來解決問題。我們期望這套軟體系統可以在課堂上幫助教師對學習者先備知識做評估且能以數量思維的方式講解，進而比較有效地引導學習者建構其概念。也可以幫助學習者專注在數量與數量之間的關係、專注在概念與概念之間的銜接，而暫時不受數值計算程序的干擾，減少挫折感，增強其信心。經過統計的學習者解題歷程，可作為學習者行為模式的分類、診斷研究的輔助資料。解題歷程的重播，有助教師觀察及學習者間的觀摩和仿效。
綜合以上的介紹，這套軟體系統具備以下幾項特點：
架構在網際網路之上的網路程式。透過瀏覽器即可執行。
應用物件導向的觀念與技術，將解題過程中的程序性計算步驟全部隱藏在物件之後。
採用一般人已經習慣的圖形操作介面，全部以滑鼠、選單和圖標來操作。學生閱讀文字題之後，要從工具箱內，以選單的方式挑選適合的數學概念。每個數學概念提供一個模板。學生將題目內的代表數量的關鍵詞，以物件的方式拖拉到模板的適當位置上。解題的歷程，就是挑選恰當的模板、並將關鍵量拖入恰當位置的過程。
學生的所有動作，都依序被傳送回伺服機，當作原始資料保存。這些資料在後續有許多分析與應用的可能，例如用以劃分學生行為模組，或作為診斷迷思概念之輔助資料，或經整理作為其他學生觀摩與傚仿之用。
此軟體系統可使用的時機，除了在課堂上實施形成性評量來對於個別數學概念的學習診斷之外，在單元教學後的總結性評量中亦可使用；或於新單元教學前，做為先備知識的評估。除此之外，教學展示、學生自我練習均可利用。
在未來工作上，如何評斷這套系統對於學習有效？我們打算用以下方法進行研究。挑選適齡的學生，先進行系統中文字題的紙筆測驗，亦即學生必須自己從事所有的計算步驟。然後給予電腦，讓他們利用本系統解題。以此對照結果，評斷「暫時避免計算的干擾」設計理念，是否有助於解題的成功？或是差別不顯著？此後，再以類似但不相同的文字題，測試於實驗組以及另一組對照組(做過系統中文字題的紙筆測驗，但是沒有經驗過本系統的學生)，看看經過物件導向概念學習的學生，是否真的因為概念比較清楚，而有比較好的表現？
實際經驗也很重要。我們相信一個有經驗的教師，以其本身的長期接觸學生與教材的個人經驗，就能給我們寶貴的意見。我們希望能邀請較為資深的國中數學教師，嘗試將此系統帶入教室，並且訪談其看法。而物件導向的概念學習系統，還是一個新的實驗。未來是否能夠有更為創新的做法，尚未可知。我們也期望這套實驗系統，可以先作一些嘗試，提供其他研究者一些設計上以及技術上的經驗。
在診斷功能方面，保守的做法，最起碼可以對學習者解題歷程的原始資料，作統計分析以及模組分類。而且我們相信，這些分析出來的資料，在將來應該有助於診斷研究，不論是否採用本系統來輔助教學，都可以受惠於這些統計資料。問題是，要找到足夠多的學習者來實際操作，這樣的統計結果才有意義。這也是我們要努力的地方。
致謝：感謝師範大學數學系林福來教授指點了 Pat Thompson 教授的相關著作。感謝中央大學教育學程中心陳斐卿教授，詳細閱讀了這篇論文的初稿。並且在內容與方法上，給予多項建議，大量提升了這篇論文的品質。
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