1
100 學年度高雄市高級中學自然學科競賽複賽
物理科筆試試題參考解
【第一題】
一個車輪，半徑為 r
，
在距軸心 a 處(a (A)如圖一(a)所示，現在車輪以角速率 ω 沿著 +x 方向純滾動不滑動前進，令 時其位 置如圖所示，試求時間 時，燈泡的位置。 (即其 x，y 座標) 0 = t 0 t t = θ 角，如圖 1(b)其餘條件不變，求時間 ，燈泡的位 置。 (即其 x，y 座標) 0 t t = a y x 圖 1b θ r (A) 利用向量觀念及相對運動 ) cos( ) 2 3 sin( ) sin( ) 2 3 cos( 0 0 0 0 0 0 t a r t a r y t a t r t a t r x ω ω π ω ω ω π ω − = − + = − = − + = (B) 座標轉移 θ θ θ θ cos sin sin cos y x y y x x ′ + ′ − = ′ + ′ = 其中 如 (A) ⎩ ⎨ ⎧ − = ′ − = ′ ) cos( ) sin( 0 0 0 t a r y t a t r x ω ω ω
(B)同(A)，但移動平面傾斜一個
【第一題答案】
2
]
]
[
]
[
[
]
[
θ
ω
θ
ω
ω
θ
ω
θ
ω
ω
cos
)
cos(
sin
)
sin(
sin
)
cos(
cos
)
sin(
0
0
0
0
0
0
t
a
r
t
a
t
r
y
t
a
r
t
a
t
r
x
−
+
−
−
=
−
+
−
=
⇒
3
【第一題答案】
【第二題】
質量為 m 之木塊靜止於質量為 M 之楔上，楔又靜止於桌面上，如圖 2 所示。假設
所有表面均無摩擦。若開始時木塊之 P 點位於桌面高 h 距離，且為靜止。求木塊之 P 點
接觸桌面時此楔之速度大小及它向左或向右移動的距離。
【第二題答案】
解一：力的模型
設楔的加速度為
i
A
A
ˆ
−
=
r
木塊相對於楔的加速度為
j
a
i
a
a
ˆ
sin
ˆ
cos
θ
θ
′
−
′
=
′
r
木塊相對於地的加速度為
j
a
i
A
a
A
a
a
)
r
r
r
θ
θ
sin
ˆ
)
cos
(
′
−
−
′
=
+
′
=
ar′
對楔的牛頓第二定律
∑
=
⇒
−
=
−
=
)
1
(
sin
)
(
sin
L
MA
N
A
M
N
F
x
θ
θ
θ
θ
y
M:
x
N
對木塊的牛頓第二定律
∑
−
′
=
=
)
2
(
)
cos
(
sin
L
A
a
m
N
F
x
θ
θ
Mg
m:
y
∑
′
−
=
−
=
)
sin
(
cos
θ
θ
a
m
mg
N
F
y
)
3
(
sin
cos
L
θ
θ
a
m
N
mg
′
=
−
⇒
N
θ
x
mg
由
(1)
得
)
5
(
sin
L
θ
MA
N
=
(5)
代入
(2)
得
)
6
(
)
cos
(
L
A
a
m
MA
−
′
=
θ
(5)
代入
(3)
得
)
7
(
sin
sin
cos
L
θ
θ
θ
a
m
MA
mg
′
=
−
4
由
(6
)、(7)得
#
#
sin
sin
)
(
,
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
)
(
sin
sin
cos
cos
)
(
2
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
g
m
M
m
M
a
m
M
mg
A
mg
mA
MA
MA
mg
A
m
M
m
MA
mg
m
A
m
M
a
+
+
=
′
+
=
∴
=
+
⇒
−
=
+
⇒
−
=
+
=
′
假設楔靜止，則木塊
P
點從高
h
滑至底部
2
2
1
sin
t
a
h
d
′
=
=
θ
θ
θ
2
2
sin
)
(
)
sin
(
2
g
m
M
m
M
h
t
+
+
=
∴
)
sin
)(
(
cos
2
sin
)
(
)
sin
(
2
sin
sin
cos
2
2
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
m
M
m
M
gh
m
g
m
M
m
M
h
m
M
mg
At
V
+
+
−
=
+
+
+
−
=
−
=
∴
楔之速度大小為
)
sin
)(
(
cos
2
2
2
2
θ
θ
m
M
m
M
gh
m
+
+
方向向左
##
#
#
sin
)
(
cos
sin
)
(
)
sin
(
2
sin
sin
cos
2
1
2
1
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
m
M
mh
g
m
M
m
M
h
m
M
mg
At
S
+
=
+
+
+
=
=
【第二題答案另解】
(a)
木塊，楔為一系統則此系統在
x
方向動量守恆再應用力學能量守恆，求楔的速度
V
木塊相對於地的速度
j
v
i
V
v
v
ˆ
)
sin
(
ˆ
)
cos
(
θ
θ
′
−
−
′
=
r
x：動量守恆
0
)
cos
(
=
−
−
′
MV
V
v
m
θ
)
1
(
cos
L
V
m
M
m
v
θ
+
=
′
∴
力學能量守恆
gh
V
m
M
m
m
M
m
m
M
m
MV
V
m
M
m
m
V
V
m
M
m
m
mgh
MV
mv
mv
mgh
y
x
2
)
)
(
2
cos
)
(
(
2
1
)
sin
cos
(
2
1
)
cos
cos
(
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
=
+
+
+
=
θ
θ
θ
θ
θ
)
2
(
)
sin
)(
(
cos
2
2
2
2
L
θ
θ
m
M
M
m
gh
m
V
+
+
=
∴
(b)淨力的 x 分量為零且開始系統為靜止，所以質心的 x 分量不變，假設楔向左移動 S 距
5
離
#
#
#
tan
)
(
)
tan
2
(
)
tan
(
)
tan
2
(
θ
θ
θ
θ
M
m
mh
S
S
h
M
S
h
m
h
M
+
=
−
+
−
=
6
【第三題】
L
L
d
旋轉的軸
圖3
如圖 3，一質量 m＝2 ㎏的球由兩條不計質量，
長度為 L＝50 ㎝的繩索連結於一轉動的垂直軸。繩索
綁在軸上相距 d=60 ㎝且繃緊的，下面繩索的張力
。(假設重力加速度
N
T
30
=
L
2
s
10m
g
=
)
求
(a)上面繩索的張力
?
=
u
T
v
(b)兩繩的合力
?
=
T
(c)球的速率為何
?
【第三題答案】
(a)
63.3N)
(
3
190
5
3
50
30
sin
0
sin
sin
或
N
T
mg
T
T
u
L
u
=
=
=
=
−
−
θ
θ
θ
u
T
L
T
(b)
上的單位向量
為平行於旋轉軸，指向
的單位向量
軸指向
為垂直於旋轉軸，由轉
其中
z
r
z
r
z
L
u
r
L
u
L
u
eˆ
m
eˆ
(N)
eˆ
20
eˆ
3
224
-
eˆ
)
sin
T
-
sin
(T
eˆ
)
cos
T
cos
-(T
T
T
T
+
=
+
+
=
+
=
θ
θ
θ
θ
v
v
v
(c)
)
s
m
.86
3
(
s
m
15
224
v
0.4m
40cm
r
r
mv
3
224
2
或
，
=
∴
=
=
=
7
【第三題答案】
8
【第四題】
一半徑為
R
，質量為
M
之球，以
v
0
之速度(質心速度)及ω
0
之角速度開始在平面上
滑動。如圖 4 所示。球與平面的動摩擦係數為μ
k
。球對中心軸的轉動慣量為
2
5
2
MR
。當
球只滾不滑(球與平面的接觸點暫時靜止)時，
(a) 寫出此時球的質心速度的大小和角速度的大小之關係。
(b) 畫出此時球的質心速度的方向和角速度的方向。
(c) 證明此時球的質心速度為
)
5
2
(
7
5
0
0
ω
R
v
v
−
=
。
(d) 假設球只滾不滑後，球的速度不變。當
R
=15 cm、
M
=4kg、
v
0
=8 m/s、
ω
0
=250 rad/s 及μ
k
=0.1，則球從出發再回到出發點需時多久？(
g
=10 m/s
2
)
(可能有用的公式 繞固定軸或通過質心的軸的轉動，力矩與角加速度之關係為
α
τ
I
=
。τ為力矩。
I
為轉動慣量。α為角加速度。)
【第四題答案】
(a)
ω
R
v
=
或
ω
R
v
−
=
(b)
(c)
M
f
a
Ma
f
=
=
,
下頁續
9
10
【第四題答案】
(C)
MR
f
MR
Rf
Rf
I
5
2
5
2
,
2
=
=
=
=
α
α
τ
)
3
(
7
2
5
2
0
)
5
2
(
0
)
2
(
)
1
(
0
0
0
0
0
0
0
0
L
L
L
M
f
R
v
M
f
M
f
R
v
t
t
MR
f
R
at
v
R
v
at
v
v
t
ω
ω
ω
ω
α
ω
ω
+
=
+
+
=
=
−
+
−
=
+
−
=
−
=
只滾不滑：
#
)#
5
2
(
7
5
7
2
7
5
)
7
2
(
)
2
(
)
3
(
0
0
0
0
0
0
0
ω
ω
ω
R
v
R
v
M
f
R
v
M
f
v
v
−
=
−
=
+
−
=
代入
(d)
#
#
1
1
.
0
,
250
,
15
.
0
15
,
8
2
0
0
s
m
M
Mg
M
f
a
s
rad
m
cm
R
s
m
v
k
k
=
=
=
=
=
=
=
=
μ
μ
ω
d S
e
3
S
2
1
c S
計算 路徑
c的時間和位移
#
#
32
2
0
#
#
8
8
0
0
1
1
2
0
0
1
1
0
m
S
aS
v
s
t
t
at
v
=
∴
−
=
=
∴
−
=
⇒
−
=
計算 路徑
d的時間和位移
( )
#
#
5
.
12
2
0
5
#
#
5
5
5
)
250
15
.
0
5
2
8
(
7
5
)
5
2
(
7
5
2
2
2
2
2
0
0
m
S
aS
s
t
at
s
m
R
v
v
−
=
∴
−
=
−
=
∴
−
=
−
−
=
×
×
−
=
−
=
ω
計算 路徑
e的時間和位移
#
9
.
16
9
.
3
5
8
9
.
3
5
5
.
19
5
.
19
5
.
12
32
3
2
1
3
3
3
s
t
t
t
t
s
v
S
t
S
=
+
+
=
+
+
=
=
=
=
=
−
=