102學年度高級中學自然學科競賽第10區複賽
物理科筆試試題參考解
1.質量為m的子彈以初速v
0
，沿水平方向入射一質量為 2 m，長度為L的木塊。若
起始時木塊靜置於一光滑水平面上，當子彈射穿木塊時，其速率減為初速的一半，
則子彈在木塊內所受的平均阻力為何? (5%) ；又當子彈剛穿出時，木塊總共滑
行了多少距離? (5%) 。
參考解:
設木塊被子彈射穿後速度為 v，由動量守恆定律可得
𝑚𝑣
0
= 𝑚 ×
𝑣
0
2 +
(2𝑚) × 𝑣
⇒ 𝑣 =
1
4 𝑣
0
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1)
設子彈剛射出木塊時，木塊自靜止開始滑行的距離為 x，子彈在木塊內所受的平
均阻力為 f，則阻力對子彈所作的負功，等於子彈動能的減少量。
參考下圖，可知子彈在受力期間所行經的總位移為
𝑥 + 𝐿。就子彈而言，由功能
定理可得
1
2 𝑚 �
𝑣
0
2 �
2
−
1
2 𝑚𝑣
0
2
= −𝑓 × (𝑥 + 𝐿) ⋯ ⋯ ⋯ (2)
根據牛頓第三運動定律，子彈受有木塊給予的阻力，因此木塊受有一同大的反作
用力，但與阻力的方向相反。此反作用力作正功，使木塊自靜止加速，就木塊而
言，木塊受力所經的位移為 x，同樣由功能定理可得
1
2
(2𝑚)𝑣
2
− 0 = 𝑓 × 𝑥 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (3)
將(1)和(3)兩式代入(2)式可解得
𝑓
=
5𝑚𝑣
0
2
16𝐿 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (4)
將(1)和(4)兩式代入(3)式可解得
𝑥 =
𝐿
5
L
x
2.如圖所示，車上載有一裝滿水的圓柱形水箱，水箱被妥善固定於車上，水箱高
度為 h，內半徑為 r，外半徑為 R。當車子在水平地面上以加速度 a 前進時，水
箱內最多可容納多少體積的水? (10%) 。
參考解:
當水箱車以加速度 a 前進時，箱內水面和水平面之間的夾角為θ。假想水面上有
一質量為 m 的小質點，則其受力情形如下右圖所示。mg 為該質點所受的重力，
N 為水面作用於該質點的正向力，此兩力的合力 F 使該質點得以加速度 a 前進。
由圖上的幾何關係可得
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐹
𝑚𝑔 =
𝑚𝑎
𝑚𝑔 =
𝑎
𝑔
水箱內所能容納的水體積為
𝑉 = 𝜋𝑟
2
ℎ −
1
2 𝜋𝑟
2
(2𝑟𝑡𝑎𝑛𝜃) = 𝜋𝑟
2
(ℎ − 𝑟 𝑎 𝑔
⁄ )
2r
h
a
θ
θ
mg
F=ma
N
h
a
3.如圖所示，x-y為水平地面，一質點從原點O處沿y-z面以初速v
0
角度
θ斜向拋出。
設重力在負z方向（即鉛直向下）
。此質點自拋出後，受一沿正x方向之定力F。設
此質點之質量為m，重力加速度為g，則此質點落地時，其位置座標( x , y , z )為
何? (5%) ；落地時的動能較拋出時增加多少?(5%) 。
參考解:
全程飛行時間
𝑡 =
2𝑣
0
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑔
∴ 𝑥 =
1
2 �
𝐹
𝑚� 𝑡
2
=
(2𝐹𝑣
0
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝜃)
𝑚𝑔
2
𝑦 = (𝑣
0
𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡 =
𝑣
0
2
𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝑔
𝑍 = 0
落地時所增加的動能為 F 力所作的功，所以
𝛥(𝐾. 𝐸. ) = 𝐹𝑥 =
2𝐹
2
𝑣
0
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝜃
𝑚𝑔
2
或由下式算出:
𝛥(𝐾. 𝐸. ) =
1
2 𝑚𝑣
𝑥
2
=
1
2 𝑚
(𝑎𝑡)
2
=
1
2 𝑚 �
𝐹
𝑚�
2
�
2𝑣
0
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑔
�
2
=
2𝐹
2
𝑣
0
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝜃
𝑚𝑔
2
�
2𝐹𝑣
0
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝜃
𝑚𝑔
2
,
𝑣
0
2
𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝑔
, 0�
#
2𝐹
2
𝑣
0
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝜃
𝑚𝑔
2
#
【第四題】
有一鞦韆上端懸於離地 3.0 公尺之高處，鞦韆長 2.5 公尺。若有一小朋友盪
鞦韆之高度可達 2.0 公尺，請問若他從鞦韆上躍下後，水平位移 x 之最大值為何?
參考解:
假設一小朋友從 A 點處盪下來，經過最底點 B 點，然後在 C 點躍下，最後在 D
點著地。虛線為其躍下軌跡，此軌跡之座標可寫成：
(1)
2
1
1
2
1
)
sin
(
)
cos
1
(
)
(
)
cos
(
sin
)
(
gt
t
v
R
h
t
y
t
v
R
t
x
−
⋅
+
−
+
=
⋅
+
=
β
β
β
β
假設小朋友自 C 點躍下至著地點 D 所需時間為 T，則
0
)
(
,
)
(
=
=
T
y
L
T
x
因此，
(2)
2
1
1
2
1
)
sin
(
)
cos
1
(
0
)
cos
(
sin
gT
T
v
R
h
T
v
R
L
−
⋅
+
−
+
=
⋅
+
=
β
β
β
β
2.5公尺
3.0公尺
x
y
x
H
h
β
α
R
A
B
C
D
L
v
1
v
0
v=0
將(2)式中之 T 消去，可將 L 表示為：
(3)
g
R
h
v
g
v
g
v
R
L
)]
cos
1
(
[
cos
2
)
cos
sin
(
cos
sin
sin
2
2
1
2
2
1
2
1
β
β
β
β
β
β
β
−
+
+
+
+
=
其中
1
v 為
β
之函數，可利用能量守恆寫出其關係式：
(4)
2
1
2
1
)]
cos
1
(
[
)]
cos
1
(
[
mv
r
h
mg
R
h
mg
mgH
+
−
+
=
−
+
=
β
α
上式可簡化成
(5)
)
cos
(cos
2
2
1
α
β
−
= R
g
v
由式(5)代入式(3)中，可得
(6)
−
+
+
−
−
+
−
+
=
)]
cos
1
(
sin
)
cos
)[(cos
cos
(cos
cos
2
2
sin
)
cos
(cos
sin
2
β
β
α
β
α
β
β
β
α
β
β
R
h
R
L
其中
5
.
2
1
cos
,
5
.
0
,
5
.
2
=
=
=
α
m
h
m
R
。將 L 對
β
角作圖，可得出 L 最大值出現在
0
32
≅
β
，
m
L
4
.
4
)
32
(
≅
=
β
，如下圖所示。
L(公尺)
0
1
2
3
4
5
0
20
40
60
Θ(degree)
【第五題】
有一彈性懸桿(長度 L)左端固定於牆壁。一彈性係數為 K 之彈簧懸掛於懸桿
之右端點，一質量為 M 之物體繫於彈簧之下端。若物體 M 之上下振動週期為 T，
試估計懸桿之彈性係數(忽略懸桿與彈簧之質量)。
參考解:
假設細懸桿之質量很小可忽略不計, 其彈性係數為k
sd
.
此系統可等效為串聯彈簧系統, 則其等效彈性係數k
eff
可寫成
(1)
k
k
k
sd
eff
1
1
1
+
=
此時物體 M 以週期 T 上下震盪, 因此
(2)
eff
k
M
T
π
2
=
將式(1)代入(2)可得
(3)
M
kT
kM
k
sd
2
2
2
4
4
π
π
−
=
M
K
M
K