1
108 學 年 度 指 定 科 目 考 試
數 學 甲 非 選 擇 題 參 考 答 案
數 學 甲 的 題 型 有 選 擇、選 填 與 非 選 擇 題。非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否
能 夠 清 楚 表 達 推 理 論 證 過 程，答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚，且 得
到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有
答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ， 或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數 。
數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一 種，在 此 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的
解 法 以 供 各 界 參 考。關 於 較 詳 細 的 考 生 解 題 錯 誤 概 念 或 解 法，請 參 見 本 中
心 將 於
8 月 15 日 出 刊 的 《 選 才 電 子 報 》。
108 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 各 大 題 的 參 考 答 案 說
明 如 下 ：
第 一 題
第
(1)小題
OA的 長 度 為
1 2 1 2
，
所 以
OA
OP
|
OA||
OP|
2
1
cos 60
2 2
2
。
第
(2)小題
設
P 之 坐 標 為
( , , )
P x y z
，由
(1)得
OA
OP
2
，所 以
(1, 2,1) ( , , ) 2
x y z
，即
P
在
平 面
E：
2
2
x
y z
上 。
第
(3)小題
設
( , , )
Q x y z ，由
OB
OQ
|
OB||
OQ|
2
1
cos 60
2 2
2
，得
(2, 0, 0) ( , , ) 2
x y z
，
即
Q 在 平 面
1
x
上 。 由
(1)可 得 出 直 線
L
為兩平面
2
2
x
y z
、
1
x
的交 線 ，
其 法 向 量 分 別 為
(1, 2,1) 、 (1, 0, 0) ， 故 直 線
L
的 方 向 向 量 為
外 積
(1, 2,1) (1, 0, 0) (0,1,
2)
， 所 以 直 線
L
的 方 向 向 量 為
(0,1,
2)
或 其 非 零
的 常 數 倍 。
第
(4)小題
直 線
L
上任取 一 點，例 如
(1, 0,1)，由 (3)直 線
L
的 方 向 向 量 為
(0,1,
2)
，可 知 直
線
L
的 參 數 式 為
1
1
2
x
y t
z
t
， 可 設 點
(1, ,1
2 )
Q
t
t
。
因
|
OQ|
2
2
2
1
(1
2 )
2
t
t
平 方 後 ， 整 理 得 到
2
3
2 2
2 0
t
t
， 解 得
2
t
或
2
3
，
對 應 的 點
Q 坐 標 為 (1, 2, 1)
或
2 5
(1,
, )
3
3
2
第 二 題
第
(1)(2)(3)小 題
解 法 一
(1)
1
x
代 入 題 設
4
3
2
1
( ) 3
2
( )
x
xf x
x
x
x
f t dt
中 ， 由 於
1
1
( )
0
f t dt
，
得
(1) 3 2 1 0 2
f
。
(2)
利 用 微 積 分 基 本 定 理 ，
1
( )
x
f t dt
的 微 分 為
( )
f x ，
將
4
3
2
1
( ) 3
2
( )
x
xf x
x
x
x
f t dt
兩 邊 微 分 ，
得
3
2
( )
( ) 12
6
2
( )
f x
xf x
x
x
x f x
。
因 此
2
( ) 12
6
2
f x
x
x
。
(3)
由
(2)可 知
3
2
( ) 4
3
2
f x
x
x
x C
， 又 由 (1)知 (1) 2
f
， 代 入 解 得
1
C
；
故
3
2
( ) 4
3
2
1
f x
x
x
x
。
解 法 二
由 題 意 設
( )
f x 為 實 係 數 多 項 式 函 數 ， 如 果 ( )
f x 的 次 數 大 於 3，
4
3
2
1
( ) 3
2
( )
x
xf x
x
x
x
f t dt
等 式 兩 邊 的 最 高 次 項 不 可 能 相 等 。
故 可 設
3
2
( )
f x
ax
bx
cx d
4
3
2
( )
xf x
ax
bx
cx
dx
4
3
2
1
( )
(
)
4
3
2
4 3 2
x
a
b
c
a b c
f t dt
x
x
x
dx
d
由
4
3
2
1
( ) 3
2
( )
x
xf x
x
x
x
f t dt
可 得
4
3
2
4
3
2
4
3
2
3
2
(
)
4
3
2
4 3 2
a
b
c
a b c
ax
bx
cx
dx
x
x
x
x
x
x
dx
d
比 較 係 數 可 得
4 ,
3 ,
2 ,
1
a
b
c
d
故
3
2
( ) 4
3
2
1
f x
x
x
x
(1) 4 3 2 1 2
f
2
( ) 12
6
2
f x
x
x
3
(4)
令
4
3
2
0
( )
( )
x
F x
f t dt x
x
x
x
，
(i)說 明 存 在 性 ： 以 下 提 供 兩 種 解 法 說 明 存 在 性 。
(A)
( )
F x 的 最 高 次 項 係 數 為 正，所 以 函 數 無 上 界；又 (1) 0
F
，再 由 多 項
式 函 數 為 連 續 函 數 ， 故 存 在 實 數
1
a
滿 足
( ) 1
F a
。
(B) 因 為 (1) 0
F
且 存 在 一 個 實 數
1
b
，滿 足
( ) 1
F b
，例 如 (2) 10
F
，再
由 多 項 式 函 數 為 連 續 函 數 ， 故 存 在 實 數
1
a
滿 足
( ) 1
F a
。
(ii)說 明 唯 一 性 ： 以 下 提 供 兩 種 解 法 說 明 唯 一 性 。
(A) 導 函 數
3
2
2
( ) (4
3 ) (2
1)
(4
3) (2
1)
F x
x
x
x
x
x
x
， 在
1
x
時 ，
( ) 0
F x
。 因 此 ， 在
1
x
時 ， ( )
F x 為 嚴 格 遞 增 函 數 ， 故 至 多 存 在 一
個 實 數
1
a
滿 足
( ) 1
F a
。
(B) 由
2
( ) 12
6
2
F x
x
x
恆 為 正 ， 所 以 ( )
F x 的 圖 形 在
1
x
時 為 凹 口 向
上 。 因 為
(1)
(1) 2 0
F
f
， 所 以 當
1
x
時 ，
( )
F x 為 嚴 格 遞 增 函
數 ， 故 至 多 存 在 一 個 實 數
1
a
滿 足
( ) 1
F a
。
由
(i)(ii)得 知 恰 有 一 實 數
1
a
滿 足
0
( )
( )
1
a
F a
f x dx
。