1
1 09 學 年 度 指 定 科 目 考 試
數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 參 考 答 案
數 學 甲 的 題 型 有 選 擇、選 填 與 非 選 擇 題。非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否
能 夠 清 楚 表 達 推 理 論 證 過 程，答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚，且 得
到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有
答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ， 或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數 。
數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一 種，在 此 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的
解 法 以 供 各 界 參 考。關 於 較 詳 細 的 考 生 解 題 錯 誤 概 念 或 解 法，請 參 見 本 中
心 將 於 8 月 15 日 出 刊 的 《 選 才 電 子 報 》。
1 0 9 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 各 大 題 的 參 考 答 案 說
明 如 下 ：
第 一 題
第(1)小題（2 分）
直 線 CD 的 斜 率 為
0 2
2
4 3
m
−
=
= −
−
， 該 直 線 方 程 式 為
0
2(
4)
y
x
− = −
−
，
即
2
8
y
x
= −
+
， 所 以
2
a
= −
，
8
b
=
。
第(2)小題（2 分）
由 除 法 原 理 ， 可 設
2
( )
(
4 ) ( )
f x
x
x Q x
rx
s
=
−
+
+
， 且 因 圖 形 通 過
(0, 0)
A
及
(4, 0)
D
知
(0)
(4)
0
f
f
=
=
， 代 入 得
0
r
=
、
0
s
=
， 所 以
( )
f x
可 被
2
(
4)
4
x x
x
x
−
=
−
整 除 。
第(3)小題（4 分）
由 直 線
AB
斜 率 為
4
， 直 線
CD
斜 率 為
2
−
， 推 得
(0)
4
f ′
=
，
(4)
2
f ′
= − ，
以 下 提 供 兩 個 解 法 算 出
( )
f x
。
解法一
由 第 (2)小 題 ， 設
2
( )
(
)(
4 )
f x
cx
d
x
x
=
+
−
， 得
2
( )
(
4 )
(
)(2
4)
f
x
c x
x
cx
d
x
′
=
−
+
+
−
代入
(0)
4
f ′
=
，
(4)
2
f ′
= −
，解 聯 立 方 程 組 得
1
( )
(
4)(
1)
8
f x
x x
x
=
−
−
。
解法二
設
3
2
( )
f x
ax
bx
cx d
=
+
+ +
，得
2
( )
3
2
f x
ax
bx c
′
=
+
+
，
代入
(0)
0
f
=
，
(4)
0
f
=
，
(0)
4
f ′
=
，
(4)
2
f ′
= − ，
解 聯 立 方 程 組 得
3
2
1
3
( )
4
8
2
f x
x
x
x
=
−
+
。
2
第(4)小題（4 分）
解法一
由 第 (3)小 題 可 得
3
2
8 ( )
(
4)(
8)
12
32
f x
x x
x
x
x
x
=
−
− =
−
+
，
當
2
4
x
≤ ≤
時 ，
8 ( )
0
f x
≥
； 當
4
6
x
≤ ≤
時 ，
8 ( )
0
f x
≤
。
所 以
6
4
6
2
2
4
8 ( )
8 ( )
8 ( )
f x dx
f x dx
f x dx
=
−
∫
∫
∫
。
8 ( )
f x
的 反 導 函 數 為
4
3
2
1
4
16
4
x
x
x
−
+
， 所 以 積 分 為
4
6
4
3
2
4
3
2
2
4
1
1
4
16
4
16
28
28
56
4
4
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
+
=
+
=
解法二
3
2
8 ( )
(
4)(
8)
12
32
f x
x x
x
x
x
x
=
−
− =
−
+
， 因
( )
0
f x
=
的 根 為 x
= 0、 4、 8，
由 對 稱 性 得
(4, 0)
為
( )
y
f x
=
的 反 曲 點 。
又 當
2
4
x
≤ ≤
時 ，
8 ( )
0
f x
≥
， 所 以 由 對 稱 性 得
6
4
2
2
8 ( )
2
8 ( )
f x dx
f x dx
=
∫
∫
，
8 ( )
f x
的 反 導 函 數 為
4
3
2
1
4
16
4
x
x
x
−
+
， 所 以 積 分 為
4
4
3
2
2
1
2
4
16
56
4
x
x
x
−
+
=
第 二 題
第(1)小題（2 分）
P
點 坐 標 為
1
1
1
(0,1, 0)
(0,1,1)
(0,1, )
2
2
2
+
=
。
第(2)小題（2 分）
Q
點 坐 標 為
(1,1, )
t
， 又
AQPR
為 一 平 行 四 邊 形 ，
所 以
A R
=
Q P
1
(0,1, ) (1,1, )
2
t
=
−
1
( 1, 0,
)
2
t
= −
−
第(3)小題（4 分）
解法一
四 角 錐
-
G AQPR
可 視 為 以
G
為 頂 點 ， 平 行 四 邊 形
AQPR
為 底 的 四 角 錐 ，
故 此 四 角 錐 體 積 為
1
3
⋅
|(
A R
×
A Q )
⋅
P G |
因 (
A R
×
A Q )
1
( 1, 0,
) (0,1, )
2
t
t
= −
− ×
1
(
, , 1)
2
t
t
= −
−
，
又
P G
1
(0, 0, )
2
=
得 四 角 錐
-
G AQPR
體 積 為
1
1
1
1
| (
, , 1) (0, 0, ) |
3
2
2
6
t
t
×
−
− ⋅
=
。
也 可 計 算 四 角 錐
-
G AQPR
以其 他 相 鄰 稜 邊 形 成 的 平 行 四 邊 形 為 底 的 四 角 錐 體 積 。
3
解法二
四 角 錐
-
G AQPR
可 視 為 以
G
為 頂 點 ， 平 行 四 邊 形
AQPR
為 底 的 四 角 錐 ，
故 此 四 角 錐 體 積 為 平 行 四 邊 形 面 積 乘 高 的
1
3
由
A R
×
A Q
1
1
( 1, 0,
) (0,1, )
(
, , 1)
2
2
t
t
t
t
= −
− ×
= −
−
得
AQPR
的 面 積 =|
A R
×
A Q |
2
2
1
(
)
1
2
t
t
=
−
+ +
代 點
(1, 0, 0)
A
得
AQPR
所 在 平 面 的 方 程 式 為
1
1
(
)
2
2
t
x ty
z
t
−
+ − = −
故 高 為 點
(0,1,1)
G
到 此 平 面 的 距 離
2
2
1
2
1
(
)
1
2
t
t
−
+ +
，
求 得 四 角 錐
-
G AQPR
的 體 積
2
2
2
2
1
1
1
1
2
(
)
1
3
2
6
1
(
)
1
2
t
t
t
t
×
−
+ + ×
=
−
+ +
。
解法三
四 角 錐
-
G AQPR
可 視 為 以 A 為 頂 點 的 三 稜 邊 所 形 成 向 量
A Q
、
A R
、
A G 張 出 的 平 行
六 面 體 體 積 的
1
3
。
由 題 意
A Q
(0,1, )
t
=
、
A R
1
( 1, 0,
)
2
t
= −
− 、
A G
( 1,1,1)
= −
，
所 以 平 行 六 面 體 體 積 為
1
2
0
1
|
1
0
|
1
1
1
t
t
−
−
−
1
1
| (
)
1|
2
2
t
t
= − − − + =
故 四 角 錐
-
G AQPR
的 體 積 為
1 1
1
3 2
6
× =
。
也 可 計 算 以
-
G AQPR
其 他 稜 邊 形 成 的 平 行 六 面 體 體 積 。
解法四
四 角 錐
-
G AQPR
可 分 割 成 兩 個 三 角 錐
-
A GPQ
、
-
A GPR
。
三 角 形
GPQ
與 三 角 形
GPR
均 可 視 為 底 為
1
2
、 高 為 1 的 三 角 形 ， 故 其 面 積 均 為
1
4
又
A
到 兩 平 面
GPQ
與
GPR
的 距 離 均 為 1
故 兩 三 角 錐 的 體 積 均 為
1
12
， 得 四 角 錐 體 積 為
1
1
1
12
12
6
+
=
4
第(4)小題（4 分）
解法一
當
1
4
t
=
時，
A R
×
A Q
1 1
(
, , 1)
4 4
= −
−
故 平 行 四 邊 形
AQPR
的 面 積 為 |
A R
×
A Q |
2
2
1
1
3 2
(
)
( )
1
4
4
4
=
−
+
+ =
由 第 (3)小 題 知 四 角 錐
-
G AQPR
的 體 積 為
1
6
，
故四 角 錐
-
G AQPR
的 高 即 為 題 意 所 求 距 離
1
6
1
3 2
3
4
×
2
3
=
解法二
當
1
4
t
=
時，
平 行 四 邊 形
AQPR
所 在 平 面 的 法 向 量 為
A R
×
A Q
1 1
(
, , 1)
4 4
= −
−
代
(1, 0, 0)
A
點 可 得 此 平 面 的 方 程 式 為
1
1
1
0
4
4
4
x
y
z
−
+
− + =
故 點
(0,1,1)
G
到 平 行 四 邊 形
AQPR
所 在 平 面 的 距 離 為
2
2
1
2
1
1
( )
( )
1
4
4
+
+
2
3
=
解法三
當
1
4
t
=
時，
R Q 與
A P 、
G P 皆 垂 直 。 令 G 到 直 線 A P 的 垂 足 為 S ，
由 三 垂 線 定 理 ，
G S 也 與
R Q 垂 直 ， 故 G 到 直 線 A P 的 距 離 就 是 G 到 平 面
AQPR
的 距 離 。 由
GPS
APC
∆
∆
≈
( AA 性 質 ) 得
1
2
3
2
2
GS =
， 故 所 求 距 離
GS
=
2
3
。