1
106 學年度指定科目考試數學甲非選擇題參考答案
數學甲的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠
清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方
可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，
或過程不合理，則無法得到分數。
數學科非選擇題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法
以供各界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請參見本中心將於
8
月
15 日出刊的《選才電子報》。
106 學年度指定科目考試數學甲考科非選擇題各大題的參考答案說明如
下：
第一題
題 目 ：
一
.
在 坐 標 平 面 上 ， 考 慮 二 階 方 陣
4
3
1
3
4
5
A
所 定 義 的 線 性 變 換 。 對 於
平 面 上 異 於 原 點
O
的 點
1
P
， 設
1
P
經 A 變 換 成
2
P
，
2
P
經 A 變 換 成
3
P
。 令
1
a
OP 。
(1) 試 求
1
3
sin(
)
P OP
。（
4 分 ）
(2) 試 以
a
表 示
1 2 3
P P P
的 面 積 。（
4 分 ）
(3) 假 設
1
P
是 圖 形
2
1
10
10
y
x
上 的 動 點 ， 試 求
1 2 3
P P P
面 積 的 最 小 可 能
值 。（
4 分 ）
參 考 答 案 ：
(1)
【法一】
4
3
cos
sin
5
5
3
4
sin
cos
5
5
A
為旋轉矩陣，其中旋轉角
為銳角，
且
4
3
cos
, sin
5
5
。
因此，
1
3
3 4
24
sin
sin 2
2sin cos
2
5 5
25
POP
。
2
【法二】
設
1
( , )
P
，其中
2
2
2
a
。
由
2
1
P
AP
、
3
2
P
AP
可推
得
2
4
3
3
4
(
,
)
5
5
P
，
3
7
24
24
7
(
,
)
25
25
P
。
於是可得
2
2
1
3
1
3
2
2
1
3
7
(
)
7
25
cos
25
OP OP
POP
OP OP
。
因此，
2
1
3
7
24
sin
1 (
)
25
25
POP
。
(2)
【法一】
2
2
2
1 2 3
1 2
2 3
1 3
1
1
1
sin
sin
sin 2
2
2
2
P P P
P P
P P
P P
a
a
a
O
O
O
2
2
2
2
1
3 1
3 1
24
3
2
5 2
5 2
25
25
a
a
a
a
。
【法二】
可設
1
( ,0)
P a
，則
2
3
4
3
7
24
(
,
), (
,
)
5 5
25 25
a
a
a
a
P
P
。再令
2
P 到
1 3
PP
的垂足為 Q 。
因
1 2 3
P P P
為等腰三角形，且
1 2
2 3
10
5
a
P P
P P
、
1 3
6
5
a
P P
，
可得
2
2
2
1 2
1 3
1
(
)
2
5
a
P Q
P P
P P
。
因此，
2
1 2 3
1 3
2
1
1 6
3
2
2 5 5
25
a a
a
P P P
P P P Q
。
【法三】
因
1 2
2 1
1
(180
)
2
OP P
OP P
，得
1 2 3
2 1
2
180
P P P
OP P
。
故
1 2 3
P P P
1 2
2 3
1 2 3
1
1
10
10
sin
sin
2
2
5
5
a
a
P P P P
P P P
2
2
3 3
5 5
25
a
a
。
3
【法四】
可設
1
( , )
P
，其中
2
2
2
a
，則可推
得
1 2
1
(
3 ,3
)
5
P P
，
1 3
1
( 18
24 , 24
18 )
25
P P
。
因此，
2
2
2
1 2 3
1
1
(
3 )
(3
)
1
1 6
3
5
5
|
|
(
)
1
1
2
2 25
25
( 18
24 )
(24
18 )
25
25
a
P P P
。
(3)
【法一】
可設拋物線上的點
2
1
( ,
10)
10
x
P x
，則
2
2
4
2
2
4
2
1
1
10
100
100
10000
10
100
10
x
x
a
OP
x
x
x
x
2
2
1
(
50)
7500
10
x
75
。
(等號於
5 2
x
時成立
)
因此，所求面積
1 2 3
P P P
的最小值為
2
3
3 75
9
25
25
a
。
【法二】
設在點
2
1
( ,
10)
10
t
P t
時，
1 2 3
P P P
面積最小。
由
5
x
y
，得知
2
10
10
1
5
t
t
t
，解得
5 2
t
，
此時
1
(5 2, 5)
P
或
( 5 2, 5)
，
得知
1
50 25
75
a
OP
。
因此，
1 2 3
P P P
面積最小值為
2
3
3 75
9
25
25
a
。
x
P
1
y
4
第二題
二、坐 標 空 間 中，
(0 0 0)
O , ,
為 原 點。平 面
z h
（ 其 中
0
1
h
）上 有 一 以
(0 0 )
, ,h
為 圓 心 的 圓 ， 在 此 圓 上 依 逆 時 鐘 順 序 取
8 點 構 成 正 八 邊 形
0 1 2 3 4 5 6 7
P P P P P P P P
， 使 得 各 線 段
(0
7
)
j
OP
j
的 長 度 都 是
1 。 請 參 見 示 意
圖 。
( 1 ) 試 以 h 表 示 向 量 內 積
O P
0
O P
4
。（
4 分 ）
( 2 ) 若
( )
V h 為 以
O
為 頂 點、正 八 邊 形
0 1 2 3 4 5 6 7
P P P P P P P P
為 底 的 正 八 角 錐 體
積 ， 試 將
( )
V h 表 為
h
的 函 數 （ 註
: 角 錐 體 積 =
1
3
底 面 積
高 ）。（
2
分 ）
(3)
在
O P
0
和
O P
4
夾 角 不 超 過
90
的 條 件 下 ， 試 問 正 八 角 錐 體 積
( )
V h
的 最 大 值 為 何 ？ （
6 分 ）
參 考 答 案 ：
(1)
【法一】
設正八邊形的中心為
(0, 0, )
A
h
且
i
AOP
(
0,1,2, ,7
i
)。由題意可知：
cos
i
OA
h
OP
，而
2
sin
1
i
AP
h
(
0,1,2, ,7
i
)。
因此，
2
2
0
4
0
4
cos 2
2 cos
1 2
1
OP OP
OP OP
h
。
【法二】
可設
2
2
0
4
( 1
,0, ), (
1
,0, )
P
h
h P
h
h
，則
2
2
2
0
4
(1
)
2
1
OP OP
h
h
h
。
O
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
P
7
P
0
z
y
x
z = h
1
5
【法三】
設正八邊形的中心為
A
，得知
0
4
AP =
AP
，故
0
4
0
4
0
4
(
) (
)
OP
OP OA AP OA AP OA
OA AP AP
2
2
2
2
2
0
(1
) 2
1
OA
AP
h
h
h
(2)
正八邊形
0 1 2
7
P P P
P
的面積為
2
0
1
1
360
8
sin
2 2(1
)
2
8
AP AP
h
。
因此，
正八角錐體積
2
3
1
2 2
( )
2 2(1
)
(
)
3
3
V h
h
h
h
h
。
(3)
由
0
4
2
90
P OP
，可推得
45
，故
2
cos
2
h
。又
0
1
h
，因此，
2
1
2
h
。
由
2
2 2
( )
(1 3 ) 0
3
V h
h
，得知
3
3
h
為臨界點
(取正)。
2
3
0
0
2 2
3
( )
(1 3 )
3
3
0
1
3
h
V h
h
h
當
當
。
即函數
( )
V h 在
3
[0,
]
3
上遞增，而在
3
[
,1]
3
上遞減。因此，由一階導數判別法，
可知：
( )
V h 在
3
3
h
時有相對極大值。
因為
3
2
1
3
2
，函數 ( )
V h 在區間
2
[
,1]
2
上也遞減，故
( )
V h 在區間
2
[
,1]
2
上的最
大值為
2
2 2
2
2 2
1
(
)
(
)
2
3
2
8
3
V
。