102 學年度指定科目考試數學甲非選擇題參考答案
數學甲的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達
推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如
果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法
得到分數。
數學科試題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考
。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請詳見本中心將於
8 月 15 日出刊的《選才
電子報》
。
102 學年度指定科目考試數學甲各大題的參考答案說明如下：
第一題
(1)
設
1
( )
n
n
0
p x
a x
a x
a
， 由 題 設
， 故 當
0
i
a
1
x
時 ，
成 立 ， 而
， 故
( ) 0
p x
2
1
0
x
( )
1
2
p x
x
1
t
必 成 立 。
(2)
當
時 ，
3
2
1
1
( 1
)
3
t
x t
x
x
x dx
x
3
4
3
3
t
t
。
(3)
由 題 設 及
(1)可 知 ， 所 圍 成 有 界 區 域 的 面 積 為
2
4
3
2
1
( ) 1
d
t
p x
x
x
t
t
t
t
C ， 令
1
t
得 0 4 C
， 故
。
4
C
(4)
【 解 法 一 】
因 為
t
1
1
0
0
0
1
1
( )
(
) (
)
1
1
t
n
n
n
n
n
a
a
p x dx
a x
a x
a
dx
t
a t
a
n
n
，
由 題 設 及
(1)與 (2)得 知
3
1
4
0
0
4
(
) (
)=
3
2
1
1
3
3
n
n
n
a
a
t
t
a t
a
t
t
t
t
t
n
n
4
3
n
，故
；也 就 是
4
3
2
4
3
2
3
3
2
1
2
1
0
0
1
4
(
1)
(
)
4
t
4
3
2
4
3
2
3
a
a
a
a
a
a
t
t
t
a
t
a
t
t
t
。 比 較 係 數
得
、
、
、
3
4
a
2
2
a
1
2
a
0
0
a
， 所 以
3
2
( ) 4
2
2
p x
x
x
x
。
【 解 法 二 】
將 所 圍 成 區 域 的 面 積
2
4
3
2
1
( ) 1
d
t
p x
x
x
t
t
t
t
C
2
3
2
( ) 1
4
3
2
1
對 變 數 取 微 分 ， 由
微 積 分 基 本 定 理 知
t
p t
t
t
t
t
( )
， 故
3
2
2
4
2
p x
x
x
x
。
第二題
(1)
設
， 由 題 設 得 知
a
b
M
c
d
1
1
0
2
M
， 因 此 解 得
1
2
a
c
； 同 理 ，
1
0
1
2
M
， 因 此 解 得
1
2
b
d
； 故
1
1
2
2
M
。
一 般 高 中 課 本 採 用 如 上 所 述 的 行 向 量 運 算 。 如 果 採 用 列 向 量 運 算 ， 對 應
的 解 法 如 下 ：
設
， 由 題 設 得 知
a
b
M
c
d
1 0
1
2
M
， 因 此 解 得
1
2
a
b
； 同 理 ，
0 1
1
2
M
， 因 此 解得
1
2
c
d
； 故
1
2
1
2
M
。
(2)
【 解 法 一 】
設
之 坐 標 為
， 此 處
C
( , )
a b
1
a
b
， 則 由
1
1
2
2
M
得 知
之 坐 標 為
C
(
,
a b
2a
2 )
b 。
ABC
的 重 心 G 之 坐 標 為 三 頂 點 坐 標 的 平 均 ， 也 就 是
1
1
(
,
3
3
a
b
) ； 同 理 ， A B C
的 重 心 G' 之 坐 標 為 三 頂 點 坐 標 的 平 均 ， 也 就
是
2 2
2
(
,
3
3
a
b
2
)
a
b
。
又 由 矩 陣 乘 法 得
1
1
1
1
1
3
3
3
1
1
1
2
2
2 2
2
2
2
2
3
3
3
a
a
b
b
a
b
a
b
3
3
a
b
，
所 以 M 將 ABC
的 重 心
映 射 至
G
A B C
的 重 心
。
G'
【 解 法 二 】
設
為 原 點 ，
O
ABC
的 重 心 為
，
G
A B C
的 重 心 為
， 因 為
G'
M 是 個 線 性 變
換 ， 所 以
M (
O G )
M
1
(
3
O A
O B
O C )
1
3
M (
O A )
M (
O B )
M (
O C )
1
(
3
O A '
O B '
O C ' )
O G '。
(3)
【 解 法 一 】
設 滿 足 條 件 的
點 坐 標 為
，依 題 意
到 直 線
（ 由
及
坐 標 知 道 為
）的 距 離 為
C
x
y
( , )
a b
( , )
a b
AB
(1,0)
A
(0,1)
B
1 0
2
3 2
3
2
2
ABC
AB
面積
，由 點 到 直 線 的
距 離 公 式 得 知
1
2
a
b
3 2 ， 也 就 是
1
a
b
6
。
經
C
M 映 射 後 為
(
, 2
2
C a b
a
b
) ， 故 C 到 直 線 A B
（ 由
(1, 2)
A
及
( 1, 2)
B
坐 標 知 道 為
2 0
y
） 的 距 離 為
2
2
2
2
1
1
a
b
a
b
6 2 。
【 解 法 二 】
因 為
ΔABC 的 面 積 為 ， 所 以
3
A B C
的 面 積 為
det
3 6 2
M
， 而
2
A' B'
，
所 以 C 與 直 線
的 距 離 為
A B
2
6 2 2
6 2
2
A B C
A B
面積
。