大學入學考試中心
九十三學年度指定科目考試試題
敏督利颱風受災地區考生補救考試
數學甲
作答注意事項
考試時間：
80 分鐘
作答方式：第壹部分請用
2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。
修正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選
擇題答案卷」
，請在規定之欄位作答，並於題號欄標明題號。
作答示例：請仔細閱讀下面的例子。
（一）
選擇題：只用
1，2，3，4 等四個格子，而不需要用到
−，±，以及 5，6，7，8，9，
0 等格子。
例：若第
1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9，而正確的答案為 7，亦即選項(3)
時，考生要在答案卡第
1 列的 劃記（注意不是 7），如：
例：若第
10 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列
的
與 劃記，如：
（二）選填題的題號是
A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題
的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第
C 題的答案格式是 ，而答案是
50
7
−
時，則考生必須分別在答案
卡的第
20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
祝考試順利
3
1 3
10
1 2
3 4 5 6
7
8
9
0
−
±
20
1 2
3 4 5 6
7
8
9
0
−
±
21
1 2
3 4 5 6
7
8
9
0
−
±
7
−
20 21
50
1
1 2
3 4 5 6
7
8
9
0
−
±
解
答 欄
第
1 頁
93 年指考 (敏督利)
共
6 頁
數 學 甲
-1-
第 壹 部 分 （ 佔 7 6 分 ）
一 、 單 選 題 （
1 2 % ）
說明：第
1至2題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題答對
得
6分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣2分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。
未作答者，不給分亦不扣分。
1 . 坐 標 平 面 上
1
2
2
=
+
+
y
xy
x
的 圖 形 和
1
4
=
xy
的 圖 形 的 關 係 是
（ 1 ） 相 離
（ 2 ） 交 於 一 點
（ 3 ） 交 於 兩 點
（ 4 ） 交 於 四 點
2 . 一 莫 耳 的 粒 子 數 是
23
10
6
×
個 ， 地 球 半 徑 為
6 4 0 0 公 里 。 假 設 一 立 方 公 分 的 容 積
可 以 裝
1 0 0 粒 米，若 將 1 0 莫 耳 的 米 均 勻 灑 在 地 球 上（ 把 地 球 表 面 想 像 成 球 面 ）
，
其 高 度 最 接 近 下 列 哪 個 選 項 ？
(半 徑 為
R
的 球 之 表 面 積 公 式 為
2
4
R
π
)
（
1 ） 一 本 書 的 厚 度
（
2 ） 一 個 人 的 高 度
（
3 ） 總 統 府 的 高 度
（
4 ） 玉 山 的 高 度
93 年指考 (敏督利)
第
2 頁
數 學 甲
共
6 頁
-2-
二 、 多 選 題 （
5 6 % ）
說明：第
3至9題，每題各有4個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，標示在答
案卡之「解答欄」。每題
8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2分；每答錯
一個選項，倒扣
2分，完全答對得8分。整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答選
項以外之區域劃記，一律倒扣
2分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。
3 . 設
b
a,
為 整 數 ， 滿 足
13
11
143
1
b
a +
=
。 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ？
（
1 ）
b
a,
除
±
1 外 無 公 因 數
（
2 ） 若
11
|
|
<
a
， 則
13
|
|
<
b
（
3 ） 若
11
|
|
>
a
， 則
13
|
|
>
b
（
4 ）
|
|
|
|
b
a
<
4 . 若
β
α
,
是 不 等 於
2
π
的 正 實 數 ， 且
π
β
α
<
+
， 下 列 哪 些 選 項 恆 正 ？
（
1 ）
β
α
sin
sin
+
（
2 ）
β
α
cos
cos
+
（
3 ）
β
α
tan
tan
+
（
4 ）
β
α
cot
cot
+
第
3 頁
93 年指考 (敏督利)
共
6 頁
數 學 甲
-3-
5 . 坐 標 平 面 上 有 兩 圓 ， 方 程 式 分 別 為
1
2
2
=
+ y
x
與
9
)
4
(
2
2
=
+
−
y
x
。
下 列 哪 些 直 線 是 這 兩 圓 的 公 切 線 ？
（
1 ）
1
2
2
2
2
=
+
−
y
x
（
2 ）
1
2
1
2
3
=
+
−
y
x
（
3 ）
1
2
3
2
1
=
−
−
y
x
（
4 ）
1
=
x
6 . 甲 投 擲 一 公 正 銅 板 8 次 ， 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ？
（
1 ） 會 正 好 得 到 正 面 4 次 及 反 面 4 次 。
（
2 ） 若 前 4 次 得 到 正 面 4 次 ， 則 後 4 次 得 到 正 面 4 次 的 機 率
小 於 得 到 反 面
4 次 的 機 率 。
（
3） 恰 好 得 到 4 次 正 面 及 4 次 反 面 的 機 率 大 於
4
1
。
（
4） 若 已 知 擲 完 銅 板 共 出 現 正 面 4 次 與 反 面 4 次 ，
則 投 擲 過 程 是 正 反 面 交 錯 出 現 的 機 率 大 於
投 擲 過 程 是 正 面 集 中 在 前
4 次 或 後 4 次 的 機 率 。
93 年指考 (敏督利)
第
4 頁
數 學 甲
共
6 頁
-4-
7 . 英 國 某 實 驗 室 研 究 一 金 屬 圓 柱 （ 原 高 7 0 . 5 英 寸 ）
在 不 同 負 重 下 對 柱 高 的 影 響 ， 其 實 驗 結 果 如 下 ：
( 0 , 7 0 . 5 )
( 2 , 6 9 . 4 )
( 4 , 6 8 . 4 )
( 6 , 6 7 . 2 )
( 8 , 6 6 . 3 )
( 1 0 , 6 5 . 5 ) ( 1 2 , 6 4 . 4 )
其 中 測 量 單 位 分 別 為 英 噸 和 英 寸 。
將 此 筆 資 料 的 相 關 係 數 記 為
r
， 以 最 小 平 方 法 決 定 的 直 線 斜 率 記 為
m
。
現 為 提 供 台 灣 廠 商 資 料 ， 將 單 位 轉 換 為 公 噸 （ 1 英 噸 等 於 1 . 0 1 6 公 噸 ）
及 公 分 （ 1 英 寸 等 於 2 . 5 4 公 分 ） ， 若 單 位 換 算 後 該 資 料 的 相 關 係 數 記 為
R
，
以 最 小 平 方 法 決 定 的 直 線 斜 率 記 為
M
。 下 列 關 係 有 哪 些 是 正 確 的 ？
（ 1 ）
>
⋅ m
r
0
（ 2 ）
>
r
0
（ 3 ）
R
r
=
（ 4 ）
M
m
=
8 . 考 慮 如 下 三 元 一 次 方 程 組 ， 其 中
k
是 一 正 實 數 。
6
2
2
9
4
))
(log(
2
)
(log
2
=
+
+
−
−
=
−
+
−
=
−
z
y
x
z
y
x
k
z
y
k
下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ？
（
1 ） 若
1
=
k
時 ， 則 方 程 組 恰 有 一 解
（
2 ） 若
10
=
k
時 ， 則 方 程 組 有 解
（
3 ） 若
10
=
k
時 ， 則 方 程 組 有 解
（
4 ） 若
100
=
k
時 ， 則 方 程 組 無 解
第
5 頁
93 年指考 (敏督利)
共
6 頁
數 學 甲
-5-
9. 假設
a b
A
c d
=
是一個轉移矩陣
(即每行之和皆為 1)，且
2
5
4
9
9
4
5
9
9
A
=
。
請選出正確的選項。
(1) 如果
1
3
a
= ，則
1
3
d
=
(2) 如果
2
3
a
= ，則
1
2
d
=
(3)
0
ad bc
−
>
(4) b c
=
三 、 選 填 題
( 8 % )
說明：
A為選填題，請在答案卡的「解答欄」之列號（10-11）中標示答案，每一格完全答對
得
4分。答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.
n 是正整數，坐標平面上一點 (
5,
1)
n
n
+
− 到直線
0
y x
− = 的距離是
n
d ，
此點和
(0,0) 及 (
1,
5)
n
n
−
+
所構成的三角形面積為
n
a ，
則
n
lim
n
d
→∞
=
○
10 ，
n
lim
n
a
→∞
=
○
11 。
―
― ― ― ― ―― ―以下部分作答於答案卷― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―
93 年指考 (敏督利)
第
6 頁
數 學 甲
共
6 頁
-6-
第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔 2 4 分 ）
說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、二），
同時必須寫出演算過程或理由，否則將酌予扣分。每題配分標於題末。
一、 銳 角 三 角 形
ABC
，
D
為
BC
上 一 點 ， 令
b
AC
=
、
c
AB
=
、
d
BD
=
、
e
CD
=
。
假 設
2
2
2
2
e
b
d
c
−
=
−
， 求 證
AD
與
BC
垂 直 。（
12 分 ）
二、 若 一 圓 與 一 拋 物 線 在 一 點 有 共 同 之 切 線 ， 則 稱 此 圓 與 此 拋 物 線 相 切 。
現 假 設 拋 物 線
1
2
+
= x
y
與 一 圓 在 兩 點 相 切 ， 已 知 其 中 一 切 點 為
(1, 2)。
(1) 求 過 切 點 (1, 2)的 切 線 方 程 式 。 (4 分 )
(2) 由拋物線圖形與圓之對稱性，知 此 圓 之 圓 心 在 拋 物 線 的 對 稱 軸 上 。
求 此 圓 之 圓 心 坐 標 。（ 8 分 ）