103 學年度指定科目考試數學甲非選擇題參考答案
數學甲的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清
楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可
得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或
過程不合理，則無法得到分數。
數學科試題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各
界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請詳見本中心將於 8 月 15 日
出刊的《選才電子報》。
103 學年度指定科目考試數學甲非選擇題各大題的參考答案說明如下：
第一題
第(1)題
2
y
x x
的圖形交直線
0
y
的
x
坐標為
0,1
x
；故
之面積為
2
1
0
(
)
x
x dx
2
3
1
0
2
3
x
x
1
1
2
3
1
6
第(2)題
直線
y
cx
交
2
y
x
x
的圖形的
x
坐標為
0,1
x
c
以下提供三個解法列出區域的面積
【解法一】利用區域 I 之面積
直線
y
cx
與
2
y
x
x
所圍面積為
2
1
0
1
(
)
12
c
x
x
cx dx
3
2
1
0
1
(1
)
3
2
12
c
x
x
c
3
3
(1
)
(1
)
1
3
2
12
c
c
化簡得
3
(1
)
1
6
12
c
，故
3
1
1
2
c
II
I
y=cx
【解法二】利用區域 II 之面積
2
1
1
0
1
1
(
)
12
c
c
cxdx
x
x dx
2
3
2
1
1
1
1
(1
)
2
2
3
12
c
x
x
c
c
3
2
2
1
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
2
2
3
2
3
c
c
c
c
1
12
化簡得
3
(1
)
6
c
1
12
，故
3
1
1
2
c
【解法三】利用區域 I 之面積＝區域 II 之面積
2
1
0
(
)
c
x
x
cx dx =
2
2
1
1
1
(1
)
(
)
2
c
c
c
x
x dx
3
2
2
3
2
1
1
1
0
1
(1
)
(1
)
3
2
2
2
3
c
c
x
x
x
x
c
c
c
2
3
2
3
1
1
1
(1
)
1
(1
)
(1
)
(1
)
6
2
6
2
3
c
c
c
c
c
化簡得
3
(1
)
6
c
1
12
，故
3
1
1
2
c
第二題
第(1)題
16
2
1
)
1
(
8
8
2
4
2
4
2
4
i
i
b
a
。
第(2)題
【解法一】
由
1
1
1
(1
)
(1
) (1
)
(
)(1
)
n
n
n
n
n
n
a
ib
i
i
i
a
ib
i
(
)
(
)
n
n
n
n
a
b
i a
b
即
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
b
b
a
b
，推得
1
1
1
1
T
【解法二】
由題意可推得
i
ib
a
1
1
1
，
i
i
ib
a
2
)
1
(
2
2
2
設
a
b
T
c
d
，則
1
0
1
2
a
b
c
d
，
0
2
2
2
a
b
c
d
可列出方程組
0
2
2
2
2
2
a b
c
d
b
d
，解得
1
1
1
1
T
【解法三】
根據題意可推得
1
2(cos 45
sin 45 )
i
i
推得
1
1
cos 45
sin 45
2
2
2
2
sin 45
cos 45
1
1
2
2
T
1
1
1
1
第(3)題
【解法一】
設
P
、
Q
之坐標（以行向量表示）分別為
( , )
a b
、
( , )
c d
則
'
P
、
'
Q
之坐標分別為
(
,
)
a b a b
、
(
,
)
c d c d
得
2
)
(
2
)
(
)
(
'
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
OP
OP
同理
2
2
2
2
2(
)
'
2
(
)
c
d
OQ
OQ
c
d
故
'
2
OP
OP
'
OQ
OQ
以下提供三個方法證明
POQ
P OQ
【解法 A】
(
)(
) (
)(
)
2(
)
2
OP OQ
a b c d
a b c d
ac bd
OP OQ
故
2
2
2
OP OQ
OP OQ
OP OQ
OP OQ
OP
OQ
OP OQ
因此得證
cos
cos
POQ
P OQ
【解法 B】
cos
OP OQ
P OQ
OP OQ
2
2
2
2
(
)(
) (
)(
)
2
2
2
2
a b c d
a b c d
a
b
c
d
2
2
2
2
2(
)
2
2
ac bd
a
b
c
d
2
2
2
2
cos
OP OQ
ac bd
POQ
a
b
c
d
OP OQ
因此得證
cos
cos
POQ
P OQ
【解法 C】
2
2
2
2
2
a b
c
d
a
b
c
d
a
c
b
d
推得
2
2
' '
2
P Q
PQ
2
2
2
cos
2
OP
OQ
PQ
POQ
OP OQ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
4
OP
OQ
P Q
OP
OQ
PQ
P OQ
OP OQ
OP OQ
故 cos
cos
POQ
P OQ ，而餘弦函數在 0
與180
之間為一對一，
所以
cos
cos
POQ
P OQ
【解法二】利用線性變換
正確由
1
1
1
1
T
看出
1
1
cos 45
sin 45
2
2
2
2
1
1
sin 45
cos 45
2
2
T
所以，
T
的作用是將向量旋轉 45
並放大
2
倍