一、多重選擇題
( 每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，其餘不得分；不作答不得
分。共 20 分)
1. 在空間坐標系中，下列敘述何者正確？
(A)
xy
平面之方程式為
0
xy
=
(B) yz
平面之一個方向向量為
(0,1,1)
(C)
z
軸之直線方程式為
0
0
x
y
=
=
(D)
1
1
2
2
5
4
x
y
z
−
−
−
=
=
的圖形與
3
2
3
x
y z
−
+ =
的圖形為平行關係
(E)
1
2
3
1
2
3
x
y
z
−
−
+
=
=
−
的圖形與
1
2
3
x
y
z
= =
−
的圖形為平行關係。
2. 在空間坐標系中，下列哪些方程組的圖形為一直線？
(A)
2
3
1
2
4
6
3
x
y
z
x
y
z
+
−
=
+
−
=
(B)
1
2
3
x t
y
t
z
= +
= −
=
，
0
t
≥
(C)
1
2
3
2
5
x
y
−
−
=
，
1
z
=
(
D)
2
1
x
y
+
=
(
E)
2
0
2
0
2
0
x y
z
x
y z
x y z
+ −
=
−
+ =
− − =
3. 已知兩點
A (1, 2,3)
，
B (4,5,6)
，平面
E
:
1
x y z
− + =
，若直線
AB
交平面
E
於
P
點，則下列
何者正確？
(
A)A
，
B
在平面
E
的同側
(
B) PA
PB
:
1: 2
=
(
C)P
點坐標為
(0,1, 2)
(
D) AB
平行平面
E
(
E) AB
在平面
E
上的投影長為
2 6
。
4. 若
a
，
b
為實數，下列有關線性方程組
2
3
( ) : 2
3
6
11
x y
z
L
x y z a
x
y bz
+ +
=
− + =
+ + =
的敘述何者正確？
(
A)
若此線性方程組
( )
L
有解，則
9
b
≠
(
B)
若此線性方程組
( )
L
恰有一組解，則
4
a
=
(
C)
若此線性方程組
( )
L
有無限多組解，則
4
a
=
(
D)
若
9
b
= 且
4
a
≠ ，則此線性方程組
( )
L
無解
(
E)
若
9
b
≠ ，則空間中三向量
p
(1,1, 2)
=
，
q
(2, 1,1)
=
−
與
r
(3,6, )
b
=
線性獨立。
高師大附中 100 學年度第二學期二年級第二次期中考數學科試題
二、填充題
( 答對前 10 格每格 6 分，其餘 4 格每格 5 分。共 80 分。全對才得分 )
1. 設
A
(1,1, 2)
，
B
(3,1,0)
，則滿足
PA
PB
=
的所有點
( , , )
P x y z
所成圖形的方程式為 。
2. 已知兩點
A ( 1,6, 1)
−
−
，
B ( 3,3, 4)
−
與平面
E
:
3
2
4 0
x
y
z
−
+
+ = ，則過
Α，Β
兩點且與平面
E
垂直的平面方程式為
________ 。
3. 包含兩平面
2
3
0
x
y
z
+
−
=
及
1
x y z
− + =
之交線且通過點
A (1, 2,1)
的平面方程式為 。
4. 若
P ( , , )
x y z
是平面
2
3
2
x
y
z
−
+
=
上任一點，則
2
2
2
(
3)
(
2)
(
3)
x
y
z
−
+ +
+ −
的最小值 。
5. 二平行平面
1
: 2
2
3 0
E
x y
z
− +
+ =
，
2
: 4
2
4
E
x
y
z k
−
+
=
，已知
1
E
與
2
E
的距離為
5
2
，則
k
=
________ 。
6. 設平面
E
過
A (0, 1,0)
−
，
B (0,0,1)
兩點，而與平面
:
2 0
F y z
− − =
的一個夾角為
60
° ，則平面
E
的方程式為
________ 。
7. 設平面
: 2
7 0
E
x y z
− + + =
為一鏡面，光線自
A (3, 2,1)
射向鏡面
E
上之一點
P
後，反射至
B ( 2,0,3)
−
，則光線路徑長
AP
+
PB
為
________ 。
8. 若直線
1
:
4
2
x k
L
y z k
− = − = −
與
2
3
:
2
2
z
L x
y k
−
− = + =
共平面，則
k
=
________ 。
9. 甲乙兩隻螞蟻分別沿著空間中不共平面的兩直線
1
2
:
1
2
1
x
y
z
L
−
−
=
=
−
−
和
y
軸移動，則兩螞蟻之
最短距離為
________ 。
10. 空間中，平面
E
過點
P (1, 2, 4)
且分別交
x
軸，
y
軸，
z
軸之正向於
A
，
B
，
C
三點，若
O
為
原點，則
2
OA
OB OC
+
+
最小值為
________ 。
11. 設
A (1,1,1)
，
B
(2,3, 4)
，
C
(3, 2,1)
，若
P
在
AB
上，
PC
⋅
AP
之最大值
M
，最小值
m
，則數對
( , )
M m
=
________ 。
12. 若方程組
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+
+
=
+
+
=
+
+
=
恰有一組解
( , , ) (2, 4,3)
x y z
=
，則方程組
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
2
2
2
d x b y c z
a
d x b y c z
a
d x b y c z
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
的解
( , , )
x y z
=
__________ 。
13. 若存在實數
x
，
y
，
z
使得
7
y z
z
x
x y
k
x
y
z
+
+
−
=
=
=
，則實數
k
之值為
________ 。
14. 若方程組
2
1
2
1
2
1
ax y
z
x ay
z
x
y az
+ +
=
+
+
=
+ + =
，其圖形為三平面兩兩交於一線且三交線互相平行，則
a
=
________ 。