談談
數學競賽試題
的組合學
主講：葉永南
中央研究院數學研究所
2014,0614
這個問題是以
弗拉維奧∙約瑟夫斯
命名的，它是
1
世紀
的 一名猶太歷史學家。他在自己的日記中寫
道，他和他的40個戰友被羅馬軍隊包圍在洞中。
他們討論是自殺還是被俘，最終決定自殺，並以
抽籤的方式決定誰殺掉 誰。約瑟夫斯和另外一個
人是最後兩個留下的人。約瑟夫斯說服了那個
人，他們將向羅馬軍隊投降，不再自殺。約瑟夫
斯把他的存活歸因於運氣或天意，他不知道是 哪
一個。
約瑟夫
問題
「2009 年青少年數學國際城市邀請賽」選拔初賽 個人計算證明 2
桌子上有一堆小石子共1001粒，第一個步驟先從這堆小石
子中拿走一粒小石子，並將剩下的小石子任意分成兩堆，
以後的每一個步驟，都從數目多於3粒的某堆小石子中拿走
一粒，再把該堆小石子任意分成兩堆。試問，能否在經過
有限次步驟之後使得桌上的每一堆小石子中都恰好有3粒小
石子？並請證明你的結論。
「2007 年青少年數學國際城市邀請賽」選拔複賽 個人計算證明 2
能否在下列的□內填入加號或減
號，使下式成立？為什麼？
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10
能否在下列的□內填入加號或減
號，使下式成立？有幾種不同的
方法？為什麼？
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 ＝10
8+5
8+3+2
7+6
7+4+2
6+5+2
6+4+3
已知一正立方體有八個頂點、六個面及
十二條邊。
如果將八個頂點分別用數
1 或-1 來表示；而
且每一條邊以它的兩個端點的數之乘積表示，
每一面以它的四個頂點的數之乘積表示；例如
正方形
ABCD 為它的一面，且設頂點A, B, C,
D 分別以數1, -1, -1, 1 表之，則邊AB和正方
形
ABCD 分別以數-1 及1 表示。試問是否有
可能使十二條邊和六個面所代表的
18 個數之
和為
0？如果你認為可能，請標示出各個頂點
所代表的數；如果不可能，則證明之。
B
D
C
A
棋盤中，最多可以分別放進
T的四方塊多少片？為什麼？
棋盤中，最多可以分別放進
T的四方塊多少片？為什麼？
如何確定鴿與籠
有些問題明知道需要運用鴿籠
原理去解決，又不知從何下手
，這時就需深入分析問題，以
洞察問題本質，適當地做些轉
化工作，簡潔地選擇
‘鴿子’與‘
籠子
’。
例
1：圍棋高手
甲棋士一連比賽了
11星期，它
的戰績輝煌，優勝記錄是：每日
至少勝一次；每星期最多勝
12
次。由此記錄可推得在一段連續
的日子裏，甲棋士不多不少勝了
21次。
11星期 = 77
天
21次
設
s
1,
s
2,…,
s
77 等為第 1 天，第 2 天，
……最後第77天沈高手勝棋的累積數。由
於每天至少勝一次及每星期最多勝
12次，
得
…(1)
132
11
12
1
77
2
1
s
s
s
132
11
12
1
77
2
1
s
s
s
21
i
i
s
t
77
3
,
2
,
1
i
153
21
132
22
77
2
1
t
t
t
•
1994.(芬蘭)證明存在一個由整
數組成的集合 A 滿足以下條
件﹕對於任何由無限個素數組
成的集合S，存在兩個正整數
m 在 A 中和 n 不在A中，且每
一個都是某 k (k≧2)個 S中互
不相同的整數之積。
Problem 6 (proposed by Finland)
Show that there exists a set A of
positive integers with the following
property: For any infinite set S of
primes there exist two positive
integers m in A and n not in A each
of which is a product of k distinct
elements of S for some k >= 2.
1995.6. 設p是一個奇素數，考
慮集合{1，2，.....，2p}的滿足
以下兩條件的子集A：
A恰有p個元素；
A中所有元素之和可被p整除。
試求所有這樣的子集A的個數。
1998.2.在某一次競賽中，共有a
個參賽者及b個裁判，其中b≧3
且為奇數。設每個裁判對每一位
參賽者的判決方式只有通過或不
通過。已知任意兩個裁判至多可
對k個參賽者有相同的判決。證
明 k/a ≧(b‐1)/2b。
1998.2.解：對於任一個參賽者，假設有x個
評判評他為合格，其他(b-x)個評判評他為
不個格。則認同他的評判共有
x(x-1)/2+(b-x)(b-x-1)/2=x
2
-bx+(b
2
-b)/2對。
由於b是奇數，及0≦x≦b，所以最小值是當
x=(b-1)/2或者(b+1)/2。經代入後，所以至少
有(b
2
-2b+1)/4對評判認同每位參賽者。
現在總共有b(b-1)/2對評判，及每對評判
最多認同k個參賽者，所以 k x b(b-1)/2≧
對一對評判來說認同一個參賽者的次數
≧a(b
2
-2b+1)/4=(b-1)
2
/4；除去b(b-1)/2a，
得k/a≧(b-1)/(2b)。