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109 學年度國中數學能力競賽 數學達人賽 【試題卷】 P1/P2
備註：
1.第一部分為填充題，每題 7 分，只須填答案，請將答案填入答案卷正確格子內。
2.根據各題題目中所規定的形式寫出正確答案；若題目中沒有特別註明，表示該題的答案是「整數」。
3.第二部分為計算證明題，每題 15 分，須在答案卷上寫出作答歷程與註明答案。
4.「第一部分」和「第二部分」作答時間合計 60 分鐘。
【第一部分】
1. 如下圖，若
面積為
20，
面積為
4，
面積為
20，則四邊形
的面積為
________。
2. 方程組
的解
________。
3.
的最小值為
________。
4. 如下圖，
為圓 的直徑，已知
，
，
，小圓與圓 、
、
相切。
令小圓與
相切於 點則
________。
5. 相較於「4」這個數字對某些人而言是不吉利的數字，西方國家中的不吉利數字為「13」，特別的是若 13 號當天是
星期五，又被稱為黑色星期五。請問不是閏年的情況下，最多有
個黑色星期五，最少有 個黑色星期五，
則數對
__________
6. 某天澎澎一行人到某個百貨公司逛逛，看到有一個等速率往下的電扶梯，澎澎起先從上往下走，一步走一階，走
了
20 步就走到樓下。但是他到樓下以後突然玩性大發，轉過頭來用剛剛 5 倍的速率往上跑，也是一步一階，
但是跑了
50 步才回到樓上。請問如果停電時，這電扶梯從外觀上可以算出有__________層階梯。
7. 若
，則
之值為
____________。
ADF
D
CEF
D
ACF
D
BDEF
2
2
2
(
) 39 2
(
) 52 2
(
) 78 2
x y z x
x
y z x y
y
z x y z
z
ì
+ -
=
-
ï
+ -
=
-
í
ï
+ - =
-
î
( , , )
x y z
=
2
2
2
6
5
2
12
20
x
x
x
x
- + +
-
+
AB
O
CD AB
^
9
AD
=
4
BD
=
O
AB
CD
AB
E
AE
=
m
n
( , )
m n
=
x
y
x
y
x
y
y
x
2
3
2
3
7
3
4
+
=
-
=
2
2
2
2
3
4
3
2
y
xy
x
y
xy
x
+
+
-
+
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109 學年度國中數學能力競賽 數學達人賽 【試題卷】 P2/P2
8. 天才班學生備戰 HCMC 數學競賽，以每天
給
甲、乙、丙三題的方式進行練習，
其中甲、乙兩題滿分各
30 分，丙題滿分 40 分，每題得分不是滿分就是零分。
已知某次練習結果顯示，三題全答對的有
2 人，答對其中兩題的有 12 人，三題全錯的有 4 人，
答對甲題的人數與答對乙題的人數和爲
29 人，答對乙題的人數與答對丙題的人數和爲 20 人，
答對丙題的人數與答對甲題的人數之和爲
25 人，則天才班此次練習的平均成績是____________分。
9. 如下圖，矩形 ABCD 中，
AB
""""=6、BC
"""" =4，E、F 兩點分別為AB
""""、BC
"""" 之中點，AF
""""分別交 ED
""""、EC
"""" 於 G、H 兩點，
則
∆EGH之面積為____________平方單位。
10. 正方形上有 8 個圓圈，道山要將數字 1、2、3、4、5、6、7、8 放入圓圈內，使得正方形每邊三個數字的總和均相
同。請問，每邊數字和之最小值為
____________。
【第二部分】
【題組一】
有一隻螞蟻在數線上自原點開始移動，每次只能向左或向右
1 單位，
只要有下列三種情況其中一種，螞蟻就會停止移動。
情況
1：走到 2 情況 2：走到－2 情況 3：總共移動了 5 次
請問螞蟻從開始移動至停止的移動方法一共有
____________種。
【題組二】
如右圖，梯形
ABCD 中，AB
"""" ⁄⁄ CD
""""，AD
"""" = BC
""""，且 AB
""""=1008、CD
""""=1012、
AD
"""" = BC
""""=2020，若秀智想要在 AD
""""上找到 P 點，使得∠BPC=90°，
則這樣的
P 點有幾個？請以文字或數學式說明 P 點為何符合題目要求。