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新竹市 109 學年度國中數學能力競賽 數學百分王 【試題卷】 P1/P3
備註：1.根據各題題目中所規定的形式寫出正確答案；若題目中沒有特別註明，表示該題的答案是「整數」。
2.請將答案填入【答案卷】正確格子中，每題 4分，滿分 100 分。
3.作答時間：30 分鐘。
1. 在
△
ABC中，已知 ，且 ，則 ________度。
2. 在凸 邊形中最多可以有________個銳角。
3. 如下圖，有一個邊長為 2的正立方體盒子，有一隻螞蟻在 的中點要爬到 的中點。
若途中必須經過平面 （碰到端點也算），則此螞蟻爬行的最短距離為‰‰‰‰。
4. 如下圖，依圖形的規律，當 n = 20 時，圖中有‰‰‰‰個圓點。
5. 化簡(√3＋1)110 －2(√3＋1)109－2(√3＋1)108－2(√3＋1)2 = ‰‰‰‰。
6. 如下圖，矩形
‰
ABCD
‰
中，AB
#
#
#
#
＝13，BC＝5，將
‰
A點沿著BE向上摺疊落在
‰
CD
‰
上的
‰
F點，
則
△
ABE面積=‰‰‰‰平方單位。
7. 請問 2＋22＋222＋…＋222…222$
%
%
&
%
%
'
2020位數
之末四位數字為‰‰‰‰。
8. 請問方程式 (2x
－
1)(2y＋5)=109 共有‰‰‰‰組整數解。
9. 已知 x=109 ，則 *9＋5x
－
4x2*
－
4*x2＋2x＋2*＋3x＋7= ‰‰‰‰
22
AC AB AB BC-=´
60AÐ= °
BÐ=
109
1
AA
1
CC
111 1
ABCD
n=1
1
n=2
n=3
新竹市 109 學年度國中數學能力競賽 數學百分王 【試題卷】 P2/P3
10. 解方程式
2x
x2＋2
－
x2＋2
x
=17
3，得 x = ‰‰‰‰
11. 有一個機器人在數線上行走，早上 8點整從原點出發，以相同速度先向右走 3單位，馬上向左走 1單位(中途不休
息)，接著向右走 3 單位，馬上向左走 1單位，···，機器人於 8 點 34 分第二次經過數線上的 9，
則機器人於幾點幾分第一次經過數線上的 19 ? ‰‰‰‰
12. 如下圖，四邊形 ABCD 為正方形，
△
DEF 為正三角形，AD
#
#
#
#
，
DE
#
#
#
#
+
為田間小路；
AB
#
#
#
#
，
+
BC
#
#
#
#
，
CD
#
#
#
#
，
+
DF
#
#
#
#
，
FE
#
#
#
#
為柏油路。阿智步行走田間小路，由 A經 D到 E需35 分鐘；
若改騎車走柏油路，由 A→B→C→D→F→E需20 分鐘，而騎車的速度是步行速度的 4倍
(不考慮轉彎時須減速，請勿危險騎車)，請問阿智由 A騎車走柏油路到 D，再由 D步行走鄉間小路到 E，
共需要‰‰‰‰分鐘。
13. 已知 23=32－12 ; 33=62
−
32 ; 43=102
−
62 ; 53=152－102 ; 63=212－152 ;
⋅⋅⋅
+
若 1093=x2
－
y2，求兩正整數，請用數對（x
，
y）作答。
14. 桃花國小全校共2021 名學生要票選學生代表，方式是由每個年級派出一名候選人(總共六名)，全校學生一人投一
票，票數前三高的獲選為當年度學生代表(平手的話由師長商議決定)。
假設完全沒有廢票，那麼至少要得到‰‰‰‰票才能確保必定當選。
15. 除以7的餘數為‰‰‰‰。
16. 在圓上逆時針依序取八個點 、 、 、 、 、 、 、 ，使得 ，
，則此八邊形的面積為‰‰‰‰。
17. 將數列1，2，3，4，5，…，108，109 中間的逗號全部去掉，得到一個非常大的數字：
12345678910111213…107108109，則此數除以 的餘數為‰‰‰‰。
18. 方程式 有四個實根，若其中有兩根互為相反數，
則另外兩根為‰‰‰‰。
19. 在 中，已知 、 、 。在 、邊上分別向外作兩正方形 及。
令的中點為 ，則 的面積為‰‰‰‰。
109 2
2109-
A
B
C
D
E
F
G
H
1AB BC CD DE====
2EF FG GH HA== ==
9
43 2
44151290xx x x+- -+=
ABCD
5AC =
6AB =
7BC =
AC
BC
ACFD
BCJE
DE
M
ABMD
新竹市 109 學年度國中數學能力競賽 數學百分王 【試題卷】 P3/P3
20. 如下圖為一個標準的 路棋盤（ 是指縱橫的直線各有 條），其中有 個小方格。
若沿著格線將其裁切，可以裁出 個大小相同（ ）的正方形，
也可以裁出 個 的小方格。
若我們想將它裁切成 個大小不盡相同的小正方形，
且至少有兩種不同的大小，則 的最小值為‰‰‰‰。
21. 如下圖的六角星上面填入 29 到73 之間的質數，
使得這個六角星上的每個數字全部相異，且每條直線邊上的四個數字之和都相等，
則請問每個邊的數字和皆為‰‰‰‰。
22. 有一個好漢坡階梯步道，如果每2階一數，最後剩下1階；
如果每3階一數，最後剩下2階；如果每5階一數，最後剩下4階；
如果每6階一數，最後剩下5階；如果每7階一數，最後剛好數完。
則這條步道至少有‰‰‰‰階。
23. 甲、乙、丙、丁四人拿出同樣多的錢，集資訂購若干件價格相同的物品。物品買來後，甲、乙、丙分別比丁多拿
了 3、8、13 件物品。最後結算時，乙付給丁 260 元，則丙應付給甲‰‰‰‰元。
24. 有一個由 32 個正整數所組成的等差數列，總和為2064，則此等差數列中最大的正整數為‰‰‰‰。
25. 味全龍隊提供給王維中八個球衣背號以供挑選，
背號如下：4、12、16、19、38、43、57、62，若王維中從八個背號中任取 4個號碼，其總和為a，
再從剩下的 4個號碼中任取 3個號碼，其總和為b，已知 a為b的3倍，則最後剩下的號碼為‰‰‰‰號。
19
19
19
324
4
99´
324
11´
n
n