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102年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：31470
等 別： 三等考試
類 科： 統計
科 目： 迴歸分析
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
全一張
（
正面
）
一、對以下之簡單線性迴歸模式
(
)
niNXY dii
iiii ,,1,,0~,1 2
...
1K=++=
σεεβ
,
i
X為已知自變數（independent variable）且不全為 0。令 1
ˆ
β
是參數 1
β
之最小平方估
計量（least squares estimator）及 1
β
α
e
=
。（每小題 10 分，共 20 分）
請找出參數
α
之最大概式估計量（maximum likelihood estimator）。
請求出 1
ˆ
β
之期望值
(
)
1
ˆ
β
E及變異數
(
)
1
ˆ
β
Var （請詳列推導過程）。
二、
()
,10,,1,, K=iyx ii 為對應以下簡單線性迴歸模式
(
)
10,,1,,0~, 2
...
10 K=++= iNXY dii
iiii
σεεββ
,
之觀察值。對以下 i
x值時， i
y有重覆觀察值：
i
x值 重覆觀察 i
y值
90 81, 83
66 68, 60, 62
51 60, 64
35 51, 53
令0
ˆ
β
、1
ˆ
β
為0
β
及1
β
之最小平方估計量之值。給定以下結果：
()
ii
iii
iixyyyy 10
10
1
2
10
1
2ˆˆ
ˆ
,44.118
ˆ
,44249
ββ
+==−= ∑∑ == 。
試完成以下對應虛無假設（null hypothesis）
0: 100 ==
β
β
H之變異數分析表（ANOVA table）：(1)～(8)
來源 自由度
（degree of freedom）平方和
（sum of squares） 均方和
（mean square） F
迴歸
（Regression） 2 (3) (6) (8)
殘差
（Error） (1) (4) (7)
總和 (2) (5)
並寫出F統計量之虛無分布（null distribution），即 F統計量在虛無假設成立時
之機率分布。（15 分）
請算出缺適（lack of fit or goodness of fit）檢定統計量之值。並明確寫出檢定統計
量之虛無分布。（10 分）
102年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：31470
等 別： 三等考試
類 科： 統計
科 目： 迴歸分析
全一張
（
背面
）
三、
()
,4,1,,, 21 K=iyxx iii 為對應以下多重線性迴歸模式
()
4,,1,,0~, 2
...
22110 K=+++= iNXXY dii
iiiii
σεεβββ
,
之觀察值。令 0
ˆ
β
、1
ˆ
β
及2
ˆ
β
為0
β
、1
β
及2
β
之最小平方估計量或其值。X為自變數矩陣，
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4241
3231
2221
1211
1
1
1
1
xx
xx
xx
xx
X。
給定以下之結果：
()
。
22110
4
1
4
1
2
2
1
0
ˆˆˆ
ˆ
,10
,5.0
ˆ
,
5.1
0
5.2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
200
040
004
iii
ii
iii
t
xxyy
yyXX
βββ
β
β
β
β
++==
=−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∑
∑
=
=
算出
β
ˆ之共變異數矩陣（covariance matrix），即
(
)
ββ
ˆ
,
ˆ
Cov 。（5分）
算出 2
R
。（5分）
給定 05.0=
α
，利用 t統計量檢定
01: 20 ≥+
β
H versus 01: 20
<
+
β
H。（10 分）
（ 706.12,314.6,303.4,92.2 025.0,105.0,1025.0,205.0,2 =
=
=
=tttt ）
給定 05.0=
α
，利用 F統計量檢定
0: 2100 ===
β
β
β
H versus 0or 0or 0: 2101 ≠
≠
≠
β
β
β
H。（10 分）
（ 19,200,2.19,216 05.0,2,205.0,1,205.0,2,305.0,1,3 =
=
=
=FFFF ）
算出 1
β
之95％之信賴區間。（5分）
四、考慮以下多重線性迴歸模式
()
niNXXXY dii
iiippiii ,,1,,0~, 2
...
2211 KL =++++=
σεεβββ
。
令
[]
[
]
pjXXXXYYYY t
njjjj
t
n,,1,, 2121 KKL === 。
假設 ,,1, niXij K=不全為 0且kjXX k
t
j≠= ,0 。
試以Y及j
X來表示 p
β
β
,,
1K之最小平方估計量以及殘差平方和（residual sum of
squares）。（12 分）
考慮另一線性迴歸模式 niXXXY iippiii ,,1,
2211 KL
=
+
+
+
+
=
ζ
α
α
α
,
(
)
22
,0~
σζ
aN
i為彼此獨立之隨機誤差且a為正常數。試求以Y及j
X來表示
p
α
α
,,
1K之加權最小平方估計量（weighted least squares estimator），且找出此加
權最小平方估計量與在
之p
β
β
,,
1K最小平方估計量之關係式。（8分）