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106年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：31170 全一張
（正面）
等別： 三等考試
類科： 統計
科目： 迴歸分析
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
（請接背面）
一、考慮一多元線性迴歸模型，其反應變數為 Y，解釋變數為 X1 , X2 , … , Xk，有 n個觀測
值，線性迴歸模型為 niXXXY iikkiii ,...,1,...
22110 =+++++=
ε
β
β
β
β
，其中誤差項 i
ε
之期望值為 0，變異數為 2
σ
，且兩兩獨立，此模型以向量及矩陣方式表示為
(*)
ε
β
+= X
Y
，其中
,
1
2
1
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
Y
Y
Y
Y#
1
2
1
1)1(
1
0
)1(
2
1
1
21
11
,,
1
1
1
××++×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
k
k
kn
nk
k
k
nX
X
X
X
X
X
X
ε
ε
ε
ε
β
β
β
β
###
"
"
"
"
#
請回答下列問題：（每小題 5分，共 30 分）
以向量及矩陣方式，試求出參數向量
β
之最小平方估計量向量 b。
承題，令 A為一個 2 × (k+1) 的矩陣，求 Ab 之變異數-共變異數矩陣。
配適值向量表為 H
Y
Y
=
ˆ，寫出矩陣 H。
求出殘差向量 e =
Y
Y
ˆ
−之變異數-共變異數矩陣。
令A為對稱矩陣，則
AY
Y
'稱為
Y
之二次式，將此模型之 SSE（error sum of square）
= e'e 表成二次式，其中 '
Y
和'e 分別是
Y
和e之轉置矩陣。
求出
β
之最大概似估計量，對誤差項向量需要什麼假設。
二、某無人車研發公司欲預測它的行車時間Y，考慮了三個高度相關的解釋變數分別是行
駛里數 X1，車種 X2，車齡 X3，收集過去 20 個月資料得到
SSR(X1, X2, X3) = 4000,
SSR(X1) = 1000,
SSR(X1|X2) = 600,
SSE(X1, X2, X3) = 800,
請回答下列問題：（每小題 5分，共 15 分）
求偏判定係數 2XX.YX 213
r。
檢定偏相關係數
213
XX.YX
ρ
是否為 0，請求出 F檢定統計量的值。
求偏判定係數 2X.XYX 321
r（以最簡分數表示）。
106年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：31170 全一張
（背面）
等別： 三等考試
類科： 統計
科目： 迴歸分析
三、一國內規模最大的律師事務所專門辦理職災案件，總經理想了解他們在捷運上的廣告有
沒有增加他們的業務量，根據過去隨機抽取 11 月的資料，利用兩個解釋變數：一為單
月廣告費用 X1（單位為百萬元，平均值為 1單位，標準差為 2單位），另一個為主要競
爭對手單月廣告費用 X2
（單位為百萬元，平均值為 1單位，標準差為 2單位）來預測職
災案件的每月增加件數 Y（單位為件，平均值為 3件，標準差為 2件），下表是以不同
解釋變數配適每月增加件數 Y之迴歸模型的參數最小平方估計量和誤差平方和 SSE。
迴歸模型代號 迴歸模型中的解釋變數 參數最小平方估計量 SSE
LM1 X1 b
1 = 0.3 5
LM2 X2 b
2 = －0.1 8
LM3 X1, X2 b
1 = 0.2, b2 = －0.2 4
下面所有小題的計算若除不盡，一律四捨五入到小數第二位，否則不給分。
分別求出三個迴歸模型 LM1~LM3 之判定係數。（6分）
分別求出三個迴歸模型 LM1~LM3 之修正判定係數。（6分）
使用題
的結果求出 Y和X1之相關係數以及 Y和X2之相關係數。（4分）
針對迴歸模型 LM3 於試卷上依序填入下列 ANOVA 表中(1)~(8)之8個空格內容。（8分）
Analysis of Variance
Source DF Sum of Squares Mean Square F Value
Model (1) (3) (6) (8)
Erro
r
(2) (4) (7)
Corrected Total 10 (5)
針對迴歸模型 LM3 欲檢定 X2的係數是否為 0，求出偏 F檢定的計算值。（6分）
針對迴歸模型 LM3，當迴歸係數在什麼條件下，MSR 的期望值為 2
σ
？（5分）
若三個變數之變異數-共變異數矩陣為：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1610
141
011
V
為了求其相關係數矩陣，需在 V前後乘一個對角矩陣，寫出此對角矩陣。（5分）
四、某大數據資料分析公司以 Y對三個變數 X1, X2, X3所做的複迴歸分析中，樣本大小
n = 14，得到複判定係數 R2 = 90%，又將 Y改對變數 X2做迴歸分析時，得到判定係
數R2 = 70%，請回答下列問題：（每小題 5分，共 15 分）
此公司欲檢定 X1, X3的迴歸係數是否為 0，請求出 F檢定統計量的值。
設速食店營收為 Y（單位為百萬元），廣告費為 X1，有得來速（drive-through）服務
時X2 = 1，沒有則 X2 = 0，做迴歸分析得到迴歸平面為 Y = 1+1.5 X1+2 X2，因有得
來速服務多出來的平均營收為多少元？
承題
，令 2
j
R代表解釋變數 Xj對另一個解釋變數做迴歸分析得到的判定係數，
j = 1,2, 且2
1
R= 0.65, 2
2
R= 0.95,求出 X2之變異數膨脹因子（VIF），若 VIF 大於 10 代
表模式有何問題？