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年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別：三等考試
類 科：統計
科 目：迴歸分析
考試時間：2小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
31470
頁次：
4
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1
注意：若無特別標示，本試卷採用顯著水準為 0.05 及95%信心水準為原則。
附表 A：t分布 α=0.025 與α=0.05 右尾臨界值, df 為自由度
df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
df
,
0.025
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
df
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t
df
,
0.025
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
df
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
t
df
,
0.025
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
df,0.0
5
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
df
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t
df,0.0
5
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
df
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
t
df,0.0
5
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
附表 B：F分布 α=0.05 右尾臨界值, df1 為分子自由度, df2 為分母自由度
Fdf1,df2,0.05
df1
df2
1
2
3
4
5
6
1
161.45
18.51
10.13
7.71
6.61
5.99
2
199.50
19.00
9.55
6.94
5.79
5.14
3
215.71
19.16
9.28
6.59
5.41
4.76
4
224.58
19.25
9.12
6.39
5.19
4.53
5
230.16
19.30
9.01
6.26
5.05
4.39
6
233.99
19.33
8.94
6.16
4.95
4.28
代號：
31470
頁次：
4
－
2
一、考慮一簡單線性迴歸模型 iii XY
ε
β
α
+
+
=
,i=1,…,n, 其中 i
Y為因變數， i
X
為自變數， i
ε
為誤差項且與 i
X獨立。另外，也假設 i
ε
（i=1,…,n）具有獨
立且相同的常態分布 ),0( 2
σ
N，其中 2
σ
表變異數。（每小題 5分，共 20 分）
請 導 出 參 數
β
α
,
的 最 小 平 方 估計 式
βα
ˆ
,
ˆ， 並 證 明 其 不偏 性
（unbiasedness）。
如果其他假設不變，但 22
)( ii XVar
σε
=,i=1,…,n。說明由導出之
β
ˆ
是
否仍具有不偏性？在此情形下，是否可提供較佳的估計式（以式子說
明概念或作法，無需列出詳細結果）？
如果其他假設不變，但 2
1),(
ρσεε
=
+ii
Cov ,i=1,…,n-1。說明由導出之
β
ˆ
是否仍具有不偏性？試舉例說明何種類型的數據會較容易發現
0
≠
ρ
的
情形。如何檢定
0
=
ρ
（以式子說明概念或作法，無需列出詳細結果）？
假設自變數 i
X無法直接被觀察到，而是觀察到一個替代變數
,,...,1, niWi
=
,
iii XW
δ
+
=
i
δ
為白噪音（white noise）與其他變數均獨
立，且 i
δ
（i=1,…,n）具有獨立且相同的常態分布
)
1
,
0
(
N
。此時若將 i
W取
代最小平方估計式
β
ˆ
中的 i
X，並令所得之新估計式為 w
β
ˆ
。說明此 w
β
ˆ
是
否仍具有不偏性？當 n很大時， w
β
ˆ
的漸近偏差為何？在此情形下是否
可提供較佳的估計式（以式子說明概念或作法，無需列出詳細結果）？
二、在一調查薪資結構的研究中，吾人欲了解薪資（Y）與以下兩變數（X1,
X2）的關係，其中 X1 表性別（女性為 F，男性為 M），X2 表區域別（分
為A, B, C 三個區域），收集資料如下表：
Y
6
4
3
4
4
2
X1
F
F
F
M
M
M
X2
A
A
B
B
C
C
一般來說，統計軟體的語法建立 Y與兩變數的迴歸模型分析時，模式部
分可寫為 Y~X1+X2（R軟體）或 Y= X1 X2（SAS 軟體），或是直接點
選X1, X2 為自變數進行迴歸分析。請依據此精神與上述之資料，
定義一個設計矩陣（design matirx），並說明此設計矩陣各個欄
（column）的意義。寫下線性迴歸模型，以矩陣形式列出正規方程式
（normal equation），解正規方程式求出參數估計值，列出三區域之兩
兩比較薪資差異的估計值。（14 分）
完成下面之 ANOVA 表。（8分）
Analysis of Variance Table：Response：Y
變異來源 自由度
（
d.f.
）平方和
（
SS
）均方和
（
MS
）F值
F value
迴歸
殘差
總和
8.833
計算性別薪資差異（男性對女性）的 95%信賴區間，估計一個男性在
區域Ａ的平均薪資及其 95%信賴區間。最後，根據 ANOVA 表格中 F
值說明其代表之意義。（10 分）
代號：
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3
三、在一個關於放射線對
腫瘤及壽命的影響研究中
了一項為期兩年的實驗
射線（劑量範圍為 1
～
表：
X（劑量） 1 1 1 2
Y（壽命）
104 104 104
104
根據資料，
研究人員完成一迴歸分析及配適圖如下
根據分析結果，
求
（ANOVA table）
並說明
命，說明
是否認同此預測值
變異來源
自由度
（
迴歸
殘差
總和
由於實驗時間的限制
著的狀態。
試問若預算足夠而得以完整觀察所有老鼠的壽命時
驗時間 3年），
則迴歸分析的參數估計會如何變動
亦即實驗數據因經費限制而對於真實之
析結果可能產生
怎樣
腫瘤及壽命的影響研究中
，
研究人員利用
了一項為期兩年的實驗
。此實驗設計 30 隻老
鼠每週
～
10），並記錄其壽命（單位：
週
2 2 3 3 … … 8 8
9
104
104 98 104 94 … … 53 56
44
研究人員完成一迴歸分析及配適圖如下
：
求
X與Y之相關係數，
完成下面之
並說明
此模型是否恰當？另，
預測當
是否認同此預測值
？（15 分）
自由度
（
d.f.
）平方和
（
SS
）均方和
（
MS
）
F
F value
-
--
-
--
-
--
由於實驗時間的限制
，事實上有 8
隻老鼠壽命記錄在
試問若預算足夠而得以完整觀察所有老鼠的壽命時
則迴歸分析的參數估計會如何變動
（
亦即實驗數據因經費限制而對於真實之
「
壽命與輻射
怎樣
的影響？（5分）
2
40 60 80 100
Y
研究人員利用
老鼠設計
鼠每週
照射不同劑量的放
週
）。數據形式如下
9
9 9 10 10 10
44
36 56 37 26 46
：
完成下面之
變異數分析表
預測當
X=15 時之壽
F
值
F value
--
--
隻老鼠壽命記錄在
104 週時還是活
試問若預算足夠而得以完整觀察所有老鼠的壽命時
（如實
（
可配合圖形說明），
壽命與輻射
劑量關係」的分
4 6 8 10
X
代號：
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四、一組資料內含 Y及X1～X5等變數，資料有 31 筆觀察值。為了進行變數
選取，考慮 Y對X1～X5之一階（first order）所有可能迴歸模式。經由
分析整理得到下表：
no. of
variables X1 X2 X3 X4 X5 adjr2 Cp no. of
variables X1 X2 X3 X4 X5 adjr2 Cp
10 0 0 0 1 0.142 14.5 3 1 0 1 0 1 0.371 5.4
10 0 1 0 0 0.142 14.5 3 1 0 0 1 1 0.361 5.8
10 0 0 1 0 0.14 14.6 3 0 1 1 0 1 0.294 8.8
11 0 0 0 0 0.014 20.8 3 0 0 1 1 1 0.277 9.6
10 1 0 0 0 0.008 21 3 0 1 0 1 1 0.263 10.2
20 0 1 0 1 0.288 8.3 3 1 1 0 0 1 0.21 12.6
20 0 0 1 1 0.286 8.4 3 1 1 1 0 0 0.178 14
21 0 0 0 1 0.189 12.9 3 1 0 1 1 0 0.169 14.5
21 0 1 0 0 0.185 13.1 3 1 1 0 1 0 0.156 15.1
21 0 0 1 0 0.176 13.5 3 0 1 1 1 0 0.128 16.3
20 1 0 0 1 0.163 14.1 4 1 1 1 0 1 0.377 6.1
20 1 1 0 0 0.137 15.3 4 1 0 1 1 1 0.361 6.7
20 0 1 1 0 0.126 15.8 4 1 1 0 1 1 0.343 7.5
20 1 0 1 0 0.115 16.4 4 0 1 1 1 1 0.322 8.4
21 1 0 0 0 0.021 20.7 4 1 1 1 1 0 0.164 15.3
31 0 1 0 1 0.371 5.4 5 1 1 1 1 1 0.401 6
以adjusted R2為準則，排序選取最佳三個模式。（6分）
以Mallow’s Cp 為準則，排序選取最佳三個模式。（6分）
採用 F檢定法，說明向後消去法（Backward elimination, stay level=0.05）
準則的選模過程，並列出所選取之模式。（10 分）
除變數選擇外，針對模型 Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+β5X5+ε分析得
到另ㄧ表。請以第一列的值解釋 dfb.X2(－0.154)及dffit(－0.371)的用途
及其大概的原理。（6分）
Obs.
dfb.X1
dfb.X2
dfb.X3
dfb.X4
dfb.X5
dffit
cov.r
cook.d
hat
1
-
0.101
-
0.154
-
0.23
0.201
-
0.132
-
0.371
2.008
0.024
0.396
2
0.1
0.083
0.072
-
0.081
-
0.044
0.177
1.608
0.005
0.226
3
-
1.145
2.676
2.773
-
2.481
1.735
4.332
0.001
0.902
0.23
…
30
0.019
0.053
0.049
-
0.046
-
0.016
-
0.079
1.636
0.001
0.223
31
0.063
0.07
0.037
-
0.048
-
0.048
-
0.184
1.498
0.006
0.179