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107年公務人員高等考試三級考試試題 代號：31680 全一頁
類科： 統計
科目： 統計學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器，須詳列解答過程。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
（請接背面）
一、
令Z1, Z2,…,Z n 為標準常態分配的隨機樣本，說明隨機變數 W的機率分配（不需
證明）。（9分）
1.W=
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1ZZZZZ ++++
2.W=5//
5XZ ，其中
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1ZZZZZX ++++=
3.W= 5/
2/
X
Y，其中 ，
2
9
2
8ZZY += 2
5
2
4
2
3
2
2
2
1ZZZZZX ++++=
令Z=Y+X，Y為卡方分配自由度 ν1分配、Z為卡方分配自由度 ν3分配，且 Y與X相
互獨立，以動差生成函數（moment generating function）推論 X的機率分配。（9分）
二、 某製造公司設計一項試驗，以決定生產所需原料是以人工或自動方式裝填是否存在
差異，以及兩台機器所生產之瑕疵品數目是否會影響瑕疵品數量。下表為生產的瑕疵
品數量，已計算得知總平方和 SST=151.5。在顯著水準α＝5%下（右尾：
Ｆ
0.05(1,4)=7.71、
Ｆ
0.05(1,5)=6.61、
Ｆ
0.05(1,6)=5.99）：
裝填方式
人工 自動
機器 1 30 30
34 26
機器 2 20 24
22 28
檢定機器、裝填方式及他們的交互作用是否存在顯著效果？（15 分）
設若在此試驗設計中，兩台機器是設定為集區變數（Block），則裝填方式是否仍存
在顯著效果？（10 分）
三、一隨機變數
Ｙ
=-2logX，其中隨機變數 X具有混合型的機率密度函數如下：
f (x)=0.8 0<x<1，f (x)=0.2 x=1
求隨機變數
Ｙ
的機率密度函數，並計算
Ｙ
的中位數。（10 分）
求隨機變數
Ｙ
的動差生成函數，並計算
Ｙ
的平均數。（15 分）
四、設 為一組隨機樣本服從母體 X具機率密度函數
n
XXX ,,, 21 Kx
θeθxf
θ
−
=);( ，x >0。
證明 是參數
θ
的一個充分統計量。（10 分）
∑
=
=
n
i
i
XT
1
試求參數
θ
的最大概似估計量 MLE（Maximum Likelihood Estimator）。（10 分）
若要檢定Ｈ0：
θ
=1 對應Ｈ1：
θ
=2，依據 Neyman-Pearson Lemma，試求檢定統計
量及其顯著水準α。（12 分）