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105年公務人員高等考試三級考試試題 代號：22080 全一張
（正面）
類科： 統計
科目： 統計學
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器，須詳列解答過程。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
本試題可能使用之參考值如下：
1.28Z0.10 =，1.645Z0.05 =，1.96Z0.025 =，4.08)40,1(F0.05 =，2.61)40,4(F0.05 =，2.45)40,5(F0.05 =，
2.34)40,6(F0.05 =，2.84)40,1(F0.10 =，2.09)40,4(F0.10 =，2.00)40,5(F0.10 =，93.1)40,6(F0.10 =。
一、設 n21 x,,x,x L為一組抽自平均數為
μ
，標準差為
σ
的常態分配之隨機樣本，又
∑
=
=n
ii
XX 1
n
1為樣本平均數，令隨機變數 niXXY ii ,,2,1, L=−= ，則：
試求 i
Y的變異數 =)V(Yi？（8分）
試求 1
Y，2
Y的共變異數（Covariance）=)Y,Cov(Y 21 ？（8分）
若使 2
21 )Y(YK +⋅ 為2
σ
之不偏估計量，則常數 K=？（8分）
二、已知隨機變數 X的機率密度函數為 ⎩
⎨
⎧<<+
=其他,0
10, 1)(
)( xx
xf
θ
θ
，其中未知參數 1−>
θ
。
又令 n21 x,,x,x L為抽自 X之一組大小為 n的隨機樣本，則：
試以動差法（method of moments）求
θ
之點估計量。（12 分）
試以最大概似法（method of maximum likelihood）求
θ
之點估計量。（12 分）
三、設 ,x,x 21 …n
x, 為一組抽自平均數為
μ
，變異數為 100
2=
σ
的常態母體之隨機樣本，
μ
為未知參數。
試求（導出）檢定問題 86.80 10 ==
μ
μ
：： HvsH 的最強力檢定（most powerful test）
之最佳拒絕域 R為何？（8分）
對於
之檢定問題，試求滿足 05.0)H k XP()H R),,,P(( 0021 =≥=∈
n
xxx L及
95.0)Hk XP()H R),,,P(( 1121 =≥=∈
n
xxx L要求下之樣本大小 =n？及最佳拒絕域 R之臨
界值 =k？（10 分）
若檢定問題為 0
H：08:. 80 1>=
μ
μ
Hvs ，且樣本大小為 25n =，試求在 0.05=
α
下，
此檢定問題之齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）之最佳拒絕域 R為
何？（8分）
105年公務人員高等考試三級考試試題 代號：22080 全一張
（背面）
類科： 統計
科目： 統計學
四、設因變數 Y與自變數 54321 X,X,X,X,X 做複迴歸，模式為：
L
55443322110 XXXXXY
β
β
β
β
β
β
+++++= (1)
蒐集樣本資料後，經資料分析，得到下列部分變異數分析（ANOVA）表：
變異來源 平方和
SS 自由度
DF 均方和
MS
F
迴歸 ① ② ④ ⑥
殘差 200 ③ ⑤
總變異 250 45
請完成上面的變異數分析表，即在試卷上填答①～⑥之値。（6分）
試求複判定係數（coefficient of multiple determination）2
R=？（6分）
試問在 0.05=
α
下，檢定 0
H：0
54321 =====
β
β
β
β
β
是否顯著？（7分）
若Y對自變數 5432 X,X,X,X 做複迴歸，得殘差平方和為 SSE = 210，試問對模式(1)
中檢定 0
H：0
1=
β
是否顯著？（取 0.05=
α
）（7分）