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108年公務人員高等考試三級考試試題
類科： 統計
科目： 統計學
考試時間： 2小時 座號：
※注意：可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：21680
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1
一、假設 X和Z為獨立的隨機變數，其 X的機率密度函數（probability
density function (pdf)）為 x
exf 2
x2)( −
=，0≥
x
，Z的pdf 為
z
ezf 3
z3)( −
=，0≥
z
。
設Y=minimum(X, Z)（即 X和Z的最小值）， V(Y)2E(Y)U += 且
V(Y)2E(Y)L −= ，其中 E(Y)為Y的期望值，V(Y)為Y的變異數。
請推導出 Y的pdf。（7分）
若L<Y<U 則判為正常；否則為異常。試計算正常的機率（即
P(L<Y<U)）。（5分）
承
子題，若自 Y的分配隨機抽取樣本大小為 5的一個樣本組。試
問有 3個正常和 2個異常的機率。（8分）
二、假設(X, Y)的聯合機率密度函數（joint probability density function
(joint pdf)）為 ,
d
5.0),(
x
yy
x
f
= .1,1,0 ≤+≤≤
y
x
y
x
計算 d值。（5分）
推導求得 X的邊際機率密度函數（Marginal pdf of X）和計算機率
)25.0X(P ≤。(10 分)
計算 3X 的期望值（E(3X)）。（5分）
計算 5+2XY 的期望值（E(5+2XY)）。（5分）
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三、下列數值為用簡單隨機抽樣法抽取的 A 公司 32 位銷售人員在 2010
年的汽車銷售數量：
15 20 25 25 30 35 35 35 40 40
40 45 45 45 45 50 50 50 50 55
55 55 55 60 60 60 60 65 65 65
70 70
請檢定A公司所有銷售人員在2010 年的銷售數量是否為常態分配？
顯著水準為 0.1。（檢定時請將常態分配下的銷售數量分成 4個區間，
使得每個區間的次數為 8，寫出⑴虛無假設（H0）和對立假設（H1），
⑵檢定統計量在H0為真下的分配和自由度，及⑶分別以p值（p value）
和拒絕區的臨界值說明檢定結果）（25 分）
四、牙醫師想知道假牙材質供應商提供的 3種不同品牌材質（A、B、C）
是否影響假牙的使用壽命，經由統計實驗設計方法收集的各品牌下病
人假牙的使用壽命數據如下：
品牌 壽命（單位：年）
A 8 8 8 9 9
B 10 12 11 12 10
C 7 8 7 6 7
假設參與實驗的 15 位病人是隨機抽取自每個人的體質、習慣和牙齒
完全無差異的母體（即假設實驗單位是一致的）。
請說明這些壽命數據（觀測值）是使用何種統計實驗設計方法收集
的，並說明實驗如何執行？（6分）
欲檢定品牌材質是否影響假牙的使用壽命，請寫出子題
觀測值的
效應模式（effects model）及假設條件。（6分）
請依據子題
，寫出檢定的虛無假設（H0）和對立假設（H1），寫
出檢定統計量在 H0為真下的分配和自由度，並列出變異數分析表
以說明檢定結果。顯著水準為 0.05。（10 分）
請依據子題
的檢定結果，以 Fisher’s Least Significant Difference
（LSD）方法兩兩檢定品牌下的平均壽命是否相等，並決定出那種
品牌材質的使用壽命最長。顯著水準為 0.05。（寫出檢定的虛無假
設（H0）和對立假設（H1），檢定統計量在 H0為真下的分配和自
由度，並說明檢定結果）（8分）
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表一
附表：Z值表
N
(0, 1)
Φ(z)
Z
α
Z
α
/2
N
(0, 1)
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表二
附表：t值表
The table gives the values of t
α
; v where
Pr(Tv> t
α
; v) =α, with v degrees of freedom t
α
; v
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表三
附表：卡方分配臨界值表
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6
表四
附表：F
0.05
(v1, v2)值表