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花蓮縣立宜昌國民中學 109 學年度第一學期 第三次段考 8年級數學科 試題卷
命題教師：楊家齊老師 考試範圍：康軒版 3-2~4-3 8年____班____號 姓名：___________
一、選擇題：(每題 4分，共 20 分，請作答在答案卷上)
1. 下列選項何者為一元二次方程式？
(A) (x－2)(x－3)＝5 (B) 3x2＋5x－8＝x(3x－1) (C) x2＋8x＋7 (D) x－32＝0
2. 在一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0中，已知有一根為 4，且 a、b、c皆為整數，則下列何者正確？
(A) c＝16a＋4b (B)方程式另一根為－4 (C) (x－4)是ax2＋bx＋c的因式 (D) a、b、c其中一個是 4
3. 若考慮用不同方法解一元二次方程式 x2－8x＝6，則下列選項何者正確？
(A) 若用提公因式來解，可得 x(x－8)＝6，因為
632 ＝
，所以 x＝2或11
(B) 若用公式解，則可得 x＝
224648 －
(C) 若用配方法，則要在等號兩邊同加 64
(D) 若用配方法，則過程中會得出(x－4)2＝22
4. 有四人在討論(x＋1)(3x＋1)＝(x＋1)(8x－5)的解法，請問何者說的是對的？
(A) 小依：在等號兩邊同除以(x＋1)後，可得(3x＋1)＝(8x－5)，所以原方程式的解為
5
6
＝x
(B) 小山：小依是錯的，因為(x＋1)有可能是 0
(C) 小武：但(x＋1)可能是 0也可能不是 0，所以應該可以同除以(x＋1)
(D) 小七：反正小依是錯的，所以用
5
6
＝x
代入原方程式，等號左右兩側也不會相等啦
5.
014@5
2＝＋ xx
是一個一元二次方程式，@的位置是一個運算符號，已知這個方程式有兩個整數解，則下
列敘述何者正確？
(A) @只可能為＋ (B) @只可能為－ (C) @有＋或－兩種可能
(D) 不論@為＋或－都不可能有兩個整數解
＊數學段考說明和注意事項：
(1) 題目共 4 頁，雙面列印，選擇題都只有一個正確或最佳的答案，測驗時間 60 分鐘。
(2) 請將選擇題、填充題、計算題的答案用黑筆寫在答案卷上
(3) 填充題、計算題答案若為分數，請以
最簡分數
型態表達。
(4) 卷末有公式表可利用
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二、填充題：（每格 3分，共 60 分。請將答案填寫在答案卷上）
1. 請用十字交乘法將下列各式因式分解 (不是解出 x，別寫錯)
(1) x2－7x＋10＝________ (2) －x2－5x＋6＝________ (3) x2－2x－8＝________
(4) 6x2＋13x＋6＝________
2. 求出下列各方程式的答案
(1) x(x＋3)＝0，x＝____ (2) (x－1)(x＋7)＝0，x＝____ (3) x2－25＝0，x＝_____
(4) (x＋5)(2x＋1)＝(x＋5)(3－x)，x＝____ (5) 25x2－30x＋9＝0，x＝____
(6) (2x＋9)(x＋1)＝15，x＝＿＿ (7) (x－4)２＝3，x＝＿＿
(8) x2－4x－9996＝0，x＝____ (9) 2x2＋x－5＝0，x＝____
3. 請判斷下列方程式的解的狀況，並填入「兩相異根」、「 重根」、「無解」
(1) 3x2－2x＋5＝0，答：_____ (2) x2＋4x－4＝0，答：_____ (3) x2－6x＋9＝0，答：____
4. 有一式為
xx 4
1
2＋
＋△，則當△＝____時，該式可成為完全平方式
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5. 已知 x的一元二次方程式 x2＋mx＋n＝0的兩根為－1或3，則 m＋n＝_____
6. 已知 x2－4x－5＝(x＋1)(x－5)，請利用這個結果計算
599949992－－
＝______
7. 小明用邊長為 x的大正方形 5塊、長寬分別為 x和1的小長方形 12 塊、邊長為 1的小正方形 4塊，拼
成一個大長方形，若中間並沒有重疊的部分，請問最後的大長方形周長為_______
三、計算題：（每題 5分，共 20 分。請將計算過程及答案填寫在答案卷上）
1. x 的一元二次方程式 ax2＋bx＋1＝0兩根為 x＝
273－
，請分別求出 a和b的值
2. 已知 x的一元二次方程式(3m－4)x2＋x－(m＋1)＝0有一根為 1，試求
(1) m 值為何？(三分) (2) 方程式的另一根為何？(兩分)
3. 亮均在計算某正數的平方時，不小心將該正數的平方看成該正數的 2倍，結果求出來的答案比正確答
案少 399，請問該正數是多少？
4. 「疏果」是在水果種植上常見的技術，藉由在早期剪除一些果實，便能夠使剩下的水果吸收更多養分，
增加重量提高甜度，因此能夠提高單價，增加果農的收入。有一欉芒果樹原本可結出 60 顆芒果，每顆單
價為 30 元，若果農提早進行疏果，則每剪除 1顆芒果，剩下的芒果每顆單價可提高 3元，已知果農在這
欉芒果樹上剪除了 x顆芒果，將剩下的芒果全數賣出後共得到 3600 元，請回答下列問題：
(第一小題兩分，第二小題三分)
(1) 請依題意列出 x的一元二次方程式 (2) 果農剪除了幾顆芒果 (提示：答案不只一種)
和的平方公式：(a＋b)2＝a2 ＋2ab＋b2 差的平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 公式解：若 ax2＋bx＋c＝0，則 x＝
aacbb 24
2－－
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花蓮縣立宜昌國民中學 109 學年度第一學期 第三次段考 8年級數學科 答案卷
命題教師：楊家齊老師 考試範圍：康軒版 3-2~4-3 8年____班____號 姓名：___________
一、選擇題：(每題 4分，共 20 分，請作答在答案卷上)
1
2
3
4
5
二、填充題：（每格 3分，共 60 分。請將答案填寫在答案卷上）
1(1)
1(2)
1(3)
1(4)
2(1)
2(2)
2(3)
2(4)
2(5)
2(6)
2(7)
2(8)
2(9)
3(1)
3(2)
3(3)
4
5
6
7
三、計算題：（每題 5分，共 20 分。請將計算過程及答案填寫在答案卷上）
1. x 的一元二次方程式 ax2＋bx＋1＝0
兩根為 x＝
273－
，請分別求出 a和b
的值。
2. 已知 x的一元二次方程式(3m－4)x2
＋x－(m＋1)＝0有一根為 1，試求
(1) m 值為何？(三分)
(2) 方程式的另一根為何？(兩分)
3. 亮均在計算某正數的平方時，不小心
將該正數的平方看成該正數的 2倍，結
果求出來的答案比正確答案少 399，請
問該正數是多少？
4. 「疏果」是在水果種植上常見的技術，藉由在早期剪除一些果實，便能夠使剩下的水果吸收更多養分，增加重量提高
甜度，因此能夠提高單價，增加果農的收入。有一欉芒果樹原本可結出 60 顆芒果，每顆單價為 30 元，若果農提早進行疏
果，則每剪除 1顆芒果，剩下的芒果每顆單價可提高 3元，已知果農在這欉芒果樹上剪除了 x顆芒果，將剩下的芒果全數
賣出後共得到 3600 元，請回答下列問題(第一小題兩分，第二小題三分)：
(1) 請依題意列出 x的一元二次方程式 (2) 果農剪除了幾顆芒果 (提示：答案不只一種)
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花蓮縣立宜昌國民中學 109 學年度第一學期 第三次段考 8年級數學科 標準答案
命題教師：楊家齊老師 考試範圍：康軒版 3-2~4-3 8年____班____號 姓名：___________
一、選擇題：(每題 4分，共 20 分，請作答在答案卷上)
1
A
2
C
3
D
4
B
5
B
二、填充題：（每格 3分，共 60 分。請將答案填寫在答案卷上）
1(1)
1(2)
1(3)
1(4)
2(1)
(x－2)(x－5)
－(x＋6)(x－1)
(x－4)(x＋2)
(3x＋2)(2x＋3)
0或－3
2(2)
2(3)
2(4)
2(5)
2(6)
1或－7
5
－5或
3
2
5
3
重根
－6或
2
1
2(7)
2(8)
2(9)
3(1)
3(2)
34
102 或－98
4411－
無解
兩相異根
3(3)
4
5
6
7
重根
64
1
－5
994000
12x＋8
三、計算題：（每題 5分，共 20 分。請將計算過程及答案填寫在答案卷上）
1. x 的一元二次方程式 ax2＋bx＋1＝0
兩根為 x＝
273－
，請分別求出 a和b
的值。
答：a＝2、b＝6
[給分標準]
求出(2x＋3)2＝7 得3分(可部份給分)
展開 4x2＋12x＋2＝0 得1分
正確求出 a和b得1分
2. 已知 x的一元二次方程式(3m－4)x2
＋x－(m＋1)＝0有一根為 1，試求
(1) m 值為何？(三分)
(2) 方程式的另一根為何？(兩分)
[可視作答完成度部份給分]
答：m＝2，另一根為
2
3
－
3. 亮均在計算某正數的平方時，不小心
將該正數的平方看成該正數的 2倍，結
果求出來的答案比正確答案少 399，請
問該正數是多少？
答：21
[給分標準]
列出 2x－x2＝－399 得2分
解出 x＝21 或－19 得2分
正確寫出正數為 x＝21 得1分
4. 「疏果」是在水果種植上常見的技術，藉由在早期剪除一些果實，便能夠使剩下的水果吸收更多養分，增加重量提高
甜度，因此能夠提高單價，增加果農的收入。有一欉芒果樹原本可結出 60 顆芒果，每顆單價為 30 元，若果農提早進行疏
果，則每剪除 1顆芒果，剩下的芒果每顆單價可提高 3元，已知果農在這欉芒果樹上剪除了 x顆芒果，將剩下的芒果全數
賣出後共得到 3600 元，請回答下列問題(第一小題兩分，第二小題三分)：
(1) 請依題意列出 x的一元二次方程式 (2) 果農剪除了幾顆芒果 (提示：答案不只一種)
[可視作答完成度部份給分]
答：(1) (60－x)(30＋3x)＝3600 (2) 剪除 20 顆或 30 顆