1
認識多項式之項、係數、次數等觀念
多項式之加減乘除四則運算
要點 1：多項式觀念說明(項、係數、次數)
1.
多項式是一種包含「_________」和「_________」的式子
並且只運用到_______法、減法和_______法
例如：
但是當文字符號 x 出現在__________和____________時，就不屬於多
項式，如：__________________和________________
2.
項與係數: 多項式是由很多「______」構成
3.
次數與項數
多項式及其四則運算
係數
二次項 一次項 常數項
多項式
中，多項式的三個項是「______」
、
「_____」
、
「______」
，以下是各項的名稱
(1)
這一項中，因為
x
的次數是 _ 次，所以稱為 ___
項，而二次項的係數或
2
x 項的係數是______
(2) –
x
2
這一項中，因為
x
的次數是 次，所以稱為
___ 項，而一次項的係數或 項的係數是_________
☆性質符號要記得寫唷!
(3) 1 這一項不含文字符號，因為
x
的次數是 _ 次，所以稱
為__ _ 項，又稱為______________項，而常數項是_________
x 的次數與多項式的次數
(1)
x 的次數是 3
x 的次數是______
x x 的次數是______
1 x 的次數是_____
(2)在一個多項式中，文字符號的最高次數，
稱為此多項式的次數。
多項式
，有_________項，
最高次數是 __ ，
因此
稱為
x
的 多項式
項數:_________
最高次數:________
______多項式
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2
要點 2：單項式與零多項式
要點 3：項、係數、次數
例題
1
判斷下面是子是不是多項式，並且在□內打勾
式子
是否為多項式
式子
是否為多項式
□是 □否
□是 □否
3
□是 □否
□是 □否
□是 □否
0
□是 □否
要點 4：多項式的次數
例題
2
下面選項(A)到(F)都是 x 的多項式，依據下面的問題，填入適當的代碼
(A)
(B) 0 (C)
(D)
(E)
(F)
(1)哪些是二次多項式?_______________ (4)哪些是單項式?_______________
(2)哪些是一次多項式?_______________ (5)哪些是零次多項式?_______________
(3)哪些是常數多項式?_______________ (6)哪些是零多項式?_______________
1.單項式:一個多項式只有單獨____項
(1)零次多項式
，是 x 的______次方，
所以是_____次項，因此稱為_______多項式
又因為只有一個常數，且常數不是_，
所以稱為_______多項式
(2)零多項式
想一想 : 0 是否是多項式?
因為只有一個常數，且常數是 0，
所以稱為______多項式
0
3
要點 5：多項式的係數
例題
3
依據下列各多項式完成下列表格
多項式
次數
二次項係數
一次項係數
常數項
3
2
2
5
1
x
x
x
3
5
x
2
3
要點 6：多項式的升降冪排列
1.升冪與降冪：冪指的就是「________」
2.升冪 : 按照每項的次方由_____到______；
降冪 : 按照每項的次方由_____到______
3.例如：
3
2
4
2
5
3
1
x
x
x
x
升冪:____________________________ 降冪:___________________________
要點 7：多項式的升降冪排列
例題
4
請將多項式
分別依升冪及降冪排列
升冪:____________________________
降冪:____________________________
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4
要點 8：多項式的相等
兩同樣未知數的多項式相等，則有其下兩意義：
1. 相同，且 的係數相等
例：(1)
2
4
3
6
x
x
及
2
6
3
4
x
x
(2)
3
8
2
1
x
x
及
3
8
2
1
x
x
(3)
3
4
1
x
及
2
4
2
5
x
x
2. 兩多項式帶入相同的數後所得的值相等，例：
2
2
4
3
6
6
3
4
x
x
x
x
例題 1：設兩多項式
2
( )
3
p x
x
ax
,
2
( )
3
q x
x
x
b
，且 ( )
( )
p x
q x
，求
a
b
＝？
例題 2：若兩多項式
2
8
3
x
及
3
2
ax
bx
cx
d
相等，求
a
b
c
d
＝？
要點 9：多項式的相等
例題
5
已知多項式
求 a、b、c 的值＝？
要點 10：係數為未知數的多項式
例題
6
已知
為一次多項式，
求 a、b 的值與原多項式?
兩個多項式相等
表示同次項的係數會相等
一次多項式
最高次方為_____次方
，係數=0
5
要點 11：多項式的加法-合併同類項化簡
同類項:次方與文字都相同的項 練習: 請將左、右兩邊的同類項連起來
例如 :多項式
中
和
都是
項
多項式的加減就是將___________合併
也就是將兩個多項式的同類項係數相加、減。
例題
1
化簡多項式
要點 12：用橫式做多項式的加法
例題
2
計算(
要點 13：多項式的減法-多項式的橫式減法
例題
3
計算(
5x
˙
˙
˙
－4 ˙
˙ 5
˙
˙
˙ －4x
最高三次項：只有
二次項：
一次項：
常數項：
同類項合併
1.去括弧 2 同類項合併
☆小叮嚀
1.降冪排列
2. 同次項對齊
3.缺項補 0
1.去括弧 2 同類項合併
要記得變號唷!
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6
要點 14：多項式加減混合運算
例題
1
計算
(1)
(2)
要點 15：有未知係數的多項式的加減
例題
2
(
，則 a、b、c 的值
要點 16：看錯題目
例題
3
曉華做一道數學題如下:
A、B 為兩多項式，A=
，B= ，求 A+B
結果他將 A+B 看錯成 A–B，並算出答案
，若題目的 B 已經汙損，
請你試著用他算出來的結果，找出原來的 B，並幫他算出正確答案。
1.去[ ]內括弧
2.再去括號
3.同類項合併
1.去括弧
2.同類項合併
1 去括號
2.同次項合併
3.對照等號左右兩邊
同次項係數相等
☆
相減時
要記得括弧
3–□=2 □= 3 -
A – B =
B = A–
7
要點 17：多項式的乘法
1.多項式的乘法是___________律的應用，最基本的指數律為
=
例如：
，□=________
2.單項式×單項式: 將係數相乘寫在前面，文字符號相乘寫在後面
例如：
__
__________
)
2
(
)
6
(
4
x
x
例題
1
計算並化簡
例題
2
計算並化簡
想一想
1.任一多項式乘以 1，還是原來多項式嗎?
2.任一多項式乘以 0，會等於 0 嗎?
3.( 一個二次多項式 )
( 一個三次多項式 )，結果會是_____次多項式
4. (1)
是否和)
一樣? (2)
是否和)
一樣?
要點 18：多項式的除法-乘法反求單項式
例題
1
估計商的練習
完成下列空格，讓等式成立
A
□= B
，再將數字與數字，文字與文字分別約分來計算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
=______
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要點 19：多項式的除法-除式為單項式
例題
2
將估計商與除式乘開的練習
(1)
(2)
(3)
(4)
要點 20：多項式的除法-兩多項式的相減
例題
3
被除式減去估計商與除式乘開結果的練習
(1) (2)
例題
4
被除式減去估計商與除式乘開結果的練習
(1) (2)
9
要點 21：多項式的除法-二次式除以一次式
例題
5
計算
①
x × ＝ x
2
商式
x
除式
x＋2 ) x
2
3x＋1
③
)
②
x ×（x＋2）＝x
2
＋2x
＋1
③
3x 2x＝ ，將 +1 拉下來
再重複①②③完成此題
例題
6
計算
①
2
x × ＝6 x
2
2x-1 ) 6x
2
x＋5
③
)
②
3x ×（2x 1）＝6x
2
3x
＋5
③
，將 + 5 拉下來
再重複①②③完成此題
想一想
1.上述的除法運算中， 稱為被除式， 稱為除式，
___ 稱為商式， __ 稱為餘式。
2.做多項式直式除法計算時，要先將多項式按(______)冪排列，缺項補上(____)，再進行除法運算，直到
得出餘式為止，此時於是有何限制呢?
提示: (_______)式的次數比(________)式的次數(________) 或 (______)式為0
步驟①:____________
步驟②:____________
步驟③:____________
(要算到什麼時候
才停止呢？餘式
被除式
缺項
補項，補 上0
餘式
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要點 22：多項式的除法-除式為二次式
例題
7
三次式除以二次式
計算
的商式和餘式
例題
8
三次式除以二次式
計算
的商式和餘式
想一想
1.請問上述的商都是____次多項式?如何得知呢?
例如: (一個五次多項式) (一個三次多項式 ) 會是_____次多項式
2.我們知道無法整除情況下，餘式的次數要比除式的次數_______
那麼，下列何者是多項式A除以
的餘式
□ 0 □
□
□
3.請問商式可以是負數嗎?可以是分數、小數嗎?
11
要點 23：多項式的應用-多項式的四則運算
例題
1
計算並化簡
要點 24：多項式的應用-比較係數
例題
2
反求原式
已知
，求a、b的值
要點 25：多項式的應用-比較係數
例題
4
已知
☆小叮嚀
減法時，減式要
記得括弧唷!
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要點 26：多項式的應用-以多項式表示梯形面積
例題
3
梯形ABCD上底為
，下底為
，高為
，求梯形ABCD面積，
並以降冪方式排列
想一想
為何不是化簡成
?
☆小叮嚀
梯形公式