數學領域/數學科目教學單元案例設計表
領域/科目
數學領域/數學科目
設計者
許育誠、王世甫
指導老師
臺北市立永春高中王世甫教師
臺北市立永春高中曾慶良教師
實施年級
普通型高級中學一年級
總節數
共 4 節，200 分鐘
單元名稱
第二章多項式函數 2-1 簡單多項式函數及圖形
設計依據
學習
重點
學習表現
n-V-4、n-V-6、g-V-1、g-V-2、g-V-3、
g-V-4、g-V-5、a-V-1、f-V-1、f-V-2
核
心
素
養
數-A1、數 S-U-A2、數-A3、數 S-
U-B1、數 S-U-B2、數-C2
學習內容 G-10-1、G-10-2、F-10-1、F-10-2
議題
融入
學習主題 無
實質內涵 無
與其他領域/科目
的連結
科技領域/資訊科技
教材來源
一、 普通高級中學-數學 1 乙版(一上用書) (翰林出版社)
二、 普通高級中學-數學習作簿 1 乙版(一上用書) (翰林出版社)
教學設備/資源
黑板、粉筆、白板貼、白板筆、筆記型電腦、投影機、Geogebra、Plickers、
智慧型手持裝置、Google 雲端硬碟
學習目標
一、能繪畫出一次函數圖形，並標示出其斜率與
𝑥、𝑦軸截距
二、能繪畫出二次函數圖形，並利用配方法解求極值、標示出最大值或最小值、頂點坐標與對
稱軸位置
三、能了解二次函數判別式應用時機及其幾何意義
四、能透過觀察連結常數、一次、二次、單項三次、單項四次函數及圖形平移觀念
五、能繪畫出單項三次及四次函數圖形
六、能辦別奇函數與偶函數
教學活動設計
教學活動內容及實施方式
時間
備註
第一階段：課前測驗
由於此章節大部分內容為回顧舊經驗，根據國中課綱學
生應已具備關於函數定義、二次以下函數繪圖、二次函數使用
配方法求極值等能力。故在此章節上課前一堂課，額外撥出 20
分鐘進行課前測驗(附錄一)，以了解學生對於這些概念的理
解程度，也作為課後評估學習成效比較之依據。
20
分鐘
非教學時間
第二階段：教學活動(設計動機、設計概念)
一、 設計動機
1. 傳統簡單多項式函數及圖形這一章節著重於抽象概
念陳述及解題技巧，學生困惑所學何用？忽略此一章
節於應用方面重要性。
2. 部分學生對於課程內容無聆聽求知慾望，導致班級學
生學習程度兩極化。
二、 設計概念
為了解決上述兩項動機，並強調核心素養以人為本
的『終生學習者』與『自發、互動、共好』基本理念，本
教案設計概念提出透過生活化案例融入教學，讓學生系
統思考與解決問題；採用資訊科技提升學習成效；藉由
小組討論增進團隊合作。圖一將上述想法在細分成五大
教學方針，並與核心素養三面九項彼此呼應。其五大教
學方針分別為利用實際案例融入教學，讓學生知所學何
用；使用錄製影片進行補救教學、採用數學週記差別化
教學；透過 GeoGebra、Google 雲端硬碟、智慧型行動裝
0
分鐘
非教學時間
置增進資訊科技技能；透過良性競賽及分組活動以了解
相互依存和相互聯繫的社會關係。
學生
利用實際案例融入教學，讓學生知所學何
用
自發
互動
共好
系統思考
與
解決問題
使用錄製影片進行補救教學、採用數學週
記差別化教學
身心素質
與
自我精進
資訊科技
與
媒體素養
透過GeoGebra、Google雲端硬碟、智慧
型行動裝置增進資訊科技技能
人際關係
與
團隊合作
透過良性競賽及分組活動以了解相互依存
和相互聯繫的社會關係
圖一 設計概念
第二階段：教學活動(第一節課：函數定義與常數、一次函數
及圖形)
一、收心與專注
為了吸引學生關注，在課程初期向學生說明本次章
節上課方式跟以往有所不同採競賽形式，利用豐富獎勵
誘惑讓其注意轉注於老師身上(配合圖二簡報內容)。
圖二 評分項目與規則說明
5
分鐘
講述內容於試教成果中試
教歷程詳述。
二、主題一：函數定義
1. 回顧舊經驗
利用班級隨處可以看到的裝置『電燈與電燈開
關』案例，來進行函數定義說明。其對話內容如下：
老師說：函數是一個很奇妙東西，函數它都有特定的
功能，只要你(妳)下對的指令，它就會幫它就會幫你
(妳)達成某個目標。
此時，老師前往電燈開關處將電燈關上，班級突
然暗下，不管趴下或認真學生即刻四處張望，並適時
打開電燈。並在黑板上畫下如圖三所示『電燈與電燈
開關』函式表示圖。
老師說：
『電燈與電燈開關』不就是函數，你(妳)給它
一個指令(按下電燈開關)，它就把電燈關閉或打開。
按下電燈開關
x
讓每盞燈
亮或暗
電燈亮或暗
f(x)
幫你(妳)做事
指令
結果
圖三 『電燈與電燈開關』函式示意圖
5
分鐘
2. 關係洞察
老師說：如黑板上『電燈與電燈開關』函式表示圖，
所有可以按下電燈開關我們稱為『定義域』
，會讓那些
5
分鐘
講解過程中，會看整體學
生理解狀況進行微調。學
習不佳的話，適時加入背
電燈亮與暗我們則稱為『值域』
。
誦口訣。
3. 迷思/盲點
透過『電燈與電燈開關』案例進一步詢問函數自
變數與應變數的關係，讓學生歸納函數可以一對一、
多對一，但不可以一對多的觀念。
老師說：一個開關可以控制一個電燈或是部分某個區
域的電燈，這稱為一對一。大家有看過兩個電燈開關
可以控制一盞電燈的嗎？
老師說：兩個電燈開關可以控制一盞電燈稱為多對
一。那你(妳)們有看過一個電燈開關一下子決定這一
盞燈亮，一下子決定另一盞燈亮嗎？(引導學生發覺
函數是不可以一對多的)
此時，也可以進一步請學生根據上述邏輯，提出
符合函數的例子，並讓全班一起討論。
5
分鐘
4. 正誤區辦
課前有先針對學生於國中時期所學的先備知識
進行課前測驗，從測驗結果可以發現學生不了解地
方，透過前面講述內容回顧學生舊經驗。此時，將針
對函數定義的內容再一次向學生提問，如圖四所示。
目前也因 AR 技術成熟掀起即時性回饋評量風潮，這
一次教學將採用 Plickers 來即時得知學生學習狀況，
即刻進行補救教學，進行方式如圖五所示。
圖四 函數定義測試題目
圖五 Plickers 使用情況
10
分鐘
Plickers 為一套即時回
饋評量系統，老師可以透
過列印一人一張 A4 大小
的 QR Code 紙張給學生，
學生可使用 QR Code 直接
作答。QR Code 四邊各有
對應 A、B、C、D 四個選項，
學生可以根據欲回答選項
將選項朝上，老師開起智
慧手持裝置端 APP，將鏡
頭對準學生手上 QR Code
進行掃描，可立即統計回
答 狀 況 。 詳 情 可 參 照
Plickers 網站(參考文獻
六)。
三、主題二：常數、一次函數及圖形
1. 回顧舊經驗
利用詰問法直接向學生詢問何謂常數及一次函
數？其函數分別如何表達？並將回覆結果寫於黑板
上，在一次確認班級同學是否了解。
5
分鐘
透過觀察學生反應，以理
解 學 生 先 備 知 識 學 習 狀
況。
2. 關係洞察
使用 GeoGebra 將一次函數繪製出來，如圖六所
示。並詢問何時會是常數函數？讓學生發覺常數函數
為一次函數的特例。
10
分鐘
圖六 GeoGebra(一次函數)
3. 實務探索
在課程結束後，為了下一段課程內容斜率作鋪
成，此時提出現實生活中容易碰觸到的問題『險升
坡』
、
『險降坡』
。讓學生回家思考與搜尋相關資訊進行
自學，並於下一次上課時發表自學成果。
0
分鐘
僅以口頭講述回家作業內
容。
四、學習單練習
於下課前 5 分鐘發下學習單進行練習
(附錄二)。
學
習單上有今日講述重點整理，讓學生課後立即嘗試撰寫
題目，有助於加深學習印象。下課鐘響回收，批改過後於
下一次課前發回給學生。
5
分鐘
五、自主學習(未於此次試教使用)
上課過程會予以錄影及學習單求解說明影片
(如圖
七右圖)
皆放置
Google 雲端硬碟(如圖七左圖)中，並與
全班同學共享，學生可以利用課餘複習，若有不懂之處也
可以透過班級 Line 群組向老師尋求幫助，可以下一次上
課作為複習與盲點破除內容。
圖七 Google 雲端硬碟與學習單求解錄影
0
分鐘
學生於課餘時間操作。
第二階段：教學活動(第二節課：斜率與截距、二次函數及圖
形)
一、收心與專注
為了吸引學生關注，在課程初期向學生提及感興趣
的議題，一起討論，並將學生目光轉移至老師身上。在學
生提起專注力後，將談話慢慢轉移至課程上。
5
分鐘
講述內容於試教成果中試
教歷程詳述。
二、上一堂課內容複習與盲點破除
從學習單批改可以發現，學生大部分錯誤題型及計算
錯誤部分，可以於這一段時間進行補救教學給予學生解
惑，同時間也進行觀念上的複習。
5
分鐘
三、主題三：斜率與截距
1. 回顧舊經驗
透過前一堂課最後提出『險升坡』
、
『險降坡』的
問題，讓學生搶答回覆，並說明其公式，並將結果寫
於黑板上。
5
分鐘
會以逗趣口吻進行，並指
定預計會回家查詢同學上
台發表。
2. 關係洞察
為了呼應回顧舊經驗結果，利用拼疊磚塊的概念
(圖八左圖)來衍生出斜率的定義是由『垂直間距與水
平間距的比值』或是『水平間距與垂直間距的比值』
。
接著詢問斜率越大代表斜率愈陡，透過圖八右圖詢問
學生哪一條線比較陡，藉由歸納推理讓學生說出斜率
是『垂直間距與水平間距的比值』
。
10
分鐘
全程以詰問法進行。
圖八 講述斜率概念例題
3. 正誤區辦
利用圖五 GeoGebra 讓學生體會
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏，
(𝑎 ≠ 0)時，係數𝑎值決定直線的傾斜程度，來闡述事
實上斜率便是一次函式領導係數的值。可是當斜率為
負值時，則斜率愈陡則數值愈小。另一方面，透過
GeoGebra 調整
𝑏值，讓學生清楚明瞭此係數決定直線
與
𝑦軸交點位置。
10
分鐘
4. 行動實踐
作為回家作業，請學生於下一次上課前這一段時
間觀察生活周遭人事物，寫下現實生活中什麼時候會
使用到斜率？不限則數，但課堂上提及案例不可再
提。
0
分鐘
僅以口頭講述回家作業內
容。
四、主題四：二次函數及圖形
1. 回顧舊經驗
利用詰問法直接向學生詢問何謂二次函數？其
函數如何表達？並將回覆結果寫於黑板上，在一次確
認班級同學是否了解。
5
分鐘
2. 關係洞察
用 GeoGebra 將二次函數繪製出來，如圖十所示。
讓學生體會
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐，(𝑎 ≠ 0)時，當𝑎 >
0時，𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐的圖形開口都向上，頂點是圖形的
最低點，
𝑎值愈大，開口愈小；當𝑎 < 0時，𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 +
𝑐的圖形開口都向下，頂點是圖形的最高點，𝑎值愈大，
開口愈大。
𝑐值則決定頂點高度。並詢問何時會是一次
函數？讓學生發覺一次函數為二次函數的特例。
圖十 GeoGebra(二次函數)
5
分鐘
上台同學僅有一位，老師
除了協助這一位同學操作
外，也會盡量與班級同學
對話，以增加學生參與度。
五、學習單練習
如同第一節課的學習單練習(附錄三)。
5
分鐘
六、自主學習
如同第一節課所提及的自主學習。
0
分鐘
第二階段：教學活動(第三節課：二次函數極值計算與涵義及
恆正恆負條件)
一、收心與專注
如同第二節課的收心與專注。
5
分鐘
講述內容於試教成果中試
教歷程詳述。
二、上一堂課內容複習與盲點破除
如同第二節課，進行內容複習與盲點破除。
5
分鐘
三、主題五：二次函數極值計算與涵義
1. 回顧舊經驗
5
分鐘
會採用數種學生配方法易
犯 錯 題 型 讓 學 生 上 台 求
學生於國中時期皆有學習過二次函數判別開口
大小、方向和利用配方法求極值、判斷極大或極小值
與對稱軸位置。此時，將採用圖十一的題目讓學生嘗
試上台求解，老師在旁協助解說。
圖十一 判別二次函數圖形性質和配方法例題
解，可順勢讓全班學生發
覺計算上會遭遇到瓶頸。
2. 關係洞察
透過回顧舊經驗，確認大部分學生對於配方法有
一定熟悉度，便加入範圍限制下求二次函數極值，如
圖十二左圖所示。另一方面，也使用 GeoGebra 讓學
生將測試題目函數繪製出來，如圖十二右圖所示。老
師在旁引導，而讓全班學生歸納總結，限制範圍下求
極值繪製圖形是解題過程中不可缺少的一環。
圖十二 限制範圍下求極值和 GeoGebra(二次函數-配方後)
10
分鐘
讓 學 生 上 台 嘗 試 求 解 題
目，以發覺沒有圖形輔助
求解容易誤判極值位置。
四、主題六：二次函數恆正恆負條件
1. 關係洞察
在此重點有二，其一利用先前帶領學生複習的配
方法，試著在黑板將
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐式子進行配
方，整理出極值座標為
(−
𝑏
2𝑎
,
𝑏
2
−4𝑎𝑐
4𝑎
)。其二緊接著再
詢問學生方程式
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0會有幾種類
型 ( 兩 實 根 、 重 根 、 無 解 ) 解 答 ？ 配 合 公 式 解
𝑥 =
−𝑏±√𝑏
2
−4𝑎𝑐
4𝑎
與圖十 GeoGebra 圖形一起講解，進而歸納
出圖十三左圖重點整理。
圖十三 二次函數恆正恆負條件和相關題型
10
分鐘
一方面讓學生以代數形式
進行配方。另一方面，也
讓也嘗試讓學生將
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 可 能 圖
形繪製於黑板上。
2. 概念再製
對於為什麼要整理出前述兩項重點還一頭霧水
的學生，立即推出圖十三右圖題目，讓學生有感剛剛
所學主要訴求，便為解決此類題型。
10
分鐘
五、學習單練習
如同第一節課的學習單練習(附錄四)。
5
分鐘
六、自主學習
0
如同第一節課所提及的自主學習。
分鐘
第二階段：教學活動(第四節課：單項三、四次函數及圖形與
奇偶函數)
一、收心與專注
如同第二節課的收心與專注。
5
分鐘
講述內容於試教成果中試
教歷程詳述。
二、上一堂課內容複習與盲點破除
如同第二節課，進行內容複習與盲點破除。
5
分鐘
三、主題七：單項三、四次函數及圖形
1. 回顧舊經驗
(未於此次試教使用)
利用做中學教學方法，事先將製作好的三次與四
次函數 GeoGebra 檔案發佈於網路上，透過分組方式
一組約 5 至 6 人進行活動。每一組在這一段活動時間
可以拿出兩支手機(僅可拿出兩支手機用意在防止其
他學生拿手機作其它事)，試調整圖十四右圖三次函
數係數，以符合圖十四左圖簡報中右邊函數圖形，讓
學生從中發掘各係數代表涵義，並以搶答方式讓學生
上台進行發表。活動過程中，學生須與組員合作學習，
也需練習上台表達能力。另一方面，也讓學生歸納三
次及四次函數各自有幾種解的可能性，以小論文方式
敘述，可作為學生本學期學習歷程檔案之一。
圖十四 活動簡報內容和 Geogebra(三次函數)
15
分鐘
透過小組討論可以讓學生
得知三次與四次函數圖形
各種樣貌。
2. 概念再製
在學生清楚明瞭單項三次與四次函數時，利用
四塊白板貼繪製單項四次函數圖形，詢問同學四次
函數的對稱軸(線對稱或軸對稱)為何？進而回顧國
中所提及的線對稱觀念(圖形沿一條直線摺疊，直線
兩旁的部分能夠互相重合)，如圖十五左圖所示。緊
接詢問那單項三次函數圖形如何使其對稱呢？利用
圖十五中圖闡述方式，以直角坐標原點為基準旋轉
180 度便重合，進而導出點對稱概念。
圖十五 利用白板貼解說軸對稱與點對稱及奇偶函數定義
5
分鐘
點對稱觀念利用白板貼旋
轉 180 度可達重合，此方
式解說並非正統，但有利
於學生對於此觀念理解。
3. 概念應用
透過軸對稱與點對稱進一步解釋何謂奇偶函數，
利用圖十五右圖簡報進行說明奇偶函數定義。並請學
生判斷圖十六左圖所示題目是奇函數、偶函數、還是
以 上 皆 非 ， 讓 台 下 學 生 親 自 使 用 電 腦 操 作
GeoGebra(圖十六右圖所示)，老師適時糾正台上學生
錯誤部分。等觀念熟悉後，引導學生運用帶入數值方
15
分鐘
式進行判斷奇偶函數。
圖十六 奇偶函數判別練習
四、學習單練習
如同第一節課的學習單練習(附錄五)。
5
分鐘
五、自主學習
如同第一節課的所提及自主學習。
0
分鐘
第三階段：課後測驗
課後測驗(附錄六)將於此章節結束後週五早自習舉行，
考試時間為 25 分鐘，其主要評量重點有二，其一評量學生使
否滿足學習目標；其二根據課前測驗與課後測驗相同類似題
型，透過相互比較可清楚了解學生學習情況及教師授課方式
是否合適。
25
分鐘
非教學時間
試教成果：
一、試教成果彙整
在這一階段將回顧先前試教過程所有獲取資訊做一歸納整理，其中也分別包括測試學生
學習目標是否達成與否。另一方面，統整這一次試教歷程所有資訊，將分別於下述分別說明。
1. 測驗結果統計與歸納
根據課前測驗、課後小考及課後測驗，利用統計圖表與統計方法進行分析，希望透過
這一過程清楚了解學生學習成效。甚至，未來可透過假設檢定等方式得知教學方法及教學
媒體所帶來的成效。
2. 試教歷程
透過實際演練教案所規劃教學內容，得知此規畫是否合適於教學現場(於試教心得與
自省詳細說明)，採用試卷與使用過媒體等留下紀錄，也作為後續再利用和下一次教案規
劃重要參考依據。其中，在第一、二、三、四節的收心與專注採用了以下方式，皆有效喚
起學生注意力。
a. 第一節課
老師說：在接下來四節課老師將教授 2-1 簡單多項次函數及圖形，老師會在這
一段時間中玩一個競賽活動，課程結束後積分最高前四名將會給予小禮物獎勵並斟
酌加分數學平時小考成績(目前以積分最高者一次小考加 30 分、積分第二高者一次
小考加 25 分、積分第三高者一次小考加 20 分、積分最四高者一次小考加 10 分計
算)。其競賽內容可分為以下三種形式：
甲. 全班性問答活動(即時性測試題)
乙. 小組討論形式(各組須上台發表)
丙. 學習單練習評比(有四次學習單，於每次下課前 5 分鐘發下，下課回收)
丁. 課程中個人表現(隨機拋題詢問)
b. 第二節課
此次上課時間於下午最後一節，為了讓上了一整天課已疲累不堪的學生在一次
將眼神聚焦於老師身上，詢問學生關注事項。其對話內容如下：
老師說：你(妳)們希望積分最大高者想獲得食物還是文具類獎品？(透過班級成員投
票進而引發求學動機)
c. 第三節課
本日有兩位學生生日，經過與他(她)週遭同學閒聊得知，此兩位學生樂於與大家
分享生日的喜悅。因此，課堂初期便起鬨幫這兩位同學慶祝生日，當然慶祝之餘也讓
學生將專注力轉為到即將進行的課程上。
d. 第四節課
這一天正逢教師節，透過全班一起祝賀與遞交賀卡給班級導師，將學生注意力集
中於課堂上，並也透過歡愉的氣氛轉介於今天預先規劃的課程上。
二、試教心得與自省
1. 試教心得
a. 多元評量
這一次教學透過不同方式評量學生學習情況，採用 Plickers 即時回饋評量系統、
課堂學生參與表達、課堂學習單練習、小考(課前測驗及課後測驗)，多面向評量學生
學習狀況。於每次下課後可即刻分析，立即調整下堂課教學內容，有效進行補教教
學。
b. 有效學習
透過課前測驗、課堂學習單練習，可清楚明瞭學生學習狀況。有趣的案例讓學生
參與遊戲，並於遊戲後總結及概念再說明，更能加深學生學習印象。
2. 自省
a. 使用簡報進行教學速度略快
課程中約有三分之一的時間使用簡報進行教學活動，由於活動內容有別於課本，
學生沒有參照文本。過快的教學速度，上課過程也不易做筆記，導致上課時若一閃
神，課後則無法複習。日後可以將學習單於課前發下，課程結束後可以再利用另一張
試題卷給予學生練習。
b. Plickers 辨識易受 QR Code 紙張不平影響
此次教學也因初次使用 Plickers 這一套軟體，僅使用一般紙張列印 QR Code。
由於紙張過軟，導致智慧型手持裝置掃描時不易辨識，再加上班級人數過多，花費過
多時間於這上面。未來可以將 QR Code 紙張張貼在厚紙板上，以增加辨識度。
c. GeoGebra 容易呈現較難想像函數圖形概念
此一章節有一重要主軸便是將函數與圖形做一關連整合。然而，在斜率大小、二
次函式開口方向與大小、二次與四次式的差別、奇偶函數判斷等教學內容，皆有顯著
效果。
d. 請學生上台演練，老師易發生一對一教學
在學生上台作答過程，遭遇到作答上的瓶頸，老師協助作答之餘，容易發生只針
對上台學生一對一教學，使台下同學不知所措。
參考資料：
一、楊壬孝、蔡天鉞主編。普通高級中學數學 1。新北市：全華圖書。(授課內容、考題與學習
單參考資料)
二、陳亮德、蔡杰、鐘祺聰編著。透析教學講義高中數學(一) -教師用。新北市：全華圖書。(考
題與學習單參考資料)
三、錢寶明編著。iMATH 教學講義高中數學(一) -教師用。新北市：全華圖書。(考題與學習單參
考資料)
四、名言佳句小百科，業餘數學家之王費馬，Retrieved October 1, 2017, from
http://www.trytohear.com/content/id/33475/cp/1。(數學週記參考資料)
五、GeoGebra 官網，網址：https://www.geogebra.org/?lang=zh_TW。
六、Plickers 官網，網址：https://www.plickers.com/reports。
附錄：
一、附錄一：課前測驗。
二、附錄二：學習單(第一份)。
三、附錄三：學習單(第二份)。
四、附錄四：學習單(第三份)。
五、附錄五：學習單(第四份)。
六、附錄六：課後測驗。
七、附錄七：回饋單。
附錄一 課前測驗
正面
反面
附錄二 學習單(1)
正面
反面
附錄三 學習單(2)
正面
反面
附錄四 學習單(3)
正面
反面
附錄五 學習單(4)
正面
反面
附錄六 課後測驗
正面
反面
附錄七 教學回饋
輔導老師回饋(第三堂課部分)
學生回饋
正面
反面