2011/9/14
1
1-4:數學歸納法
1
數學歸納法
3
2
1
2
2
2
2
0
o
0
f(k)
,
k
(2)
)
f(n
,
(1)
n
n
N
n
n,
f(n)
=
=
≥
∈
為真，
時
歸納步驟：設當
且
為真
時
基本步驟：若
且
為一數學敘述，
令
,
0
n
n
n
1
,
6
)
1
2
)(
1
(
3
2
1
2
2
2
2
≥
+
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
L
4
,
!
2
≥
>
n
n
n
2
o
0
0
n
n
N
n
n,
f(n)
(1)(2)
n
k
N
k
1)
f(k
,
1
k
≥
∈
≥
∈
+
+
=
且
對所有的
為真
，則
由
皆成立
，
亦為真，對任意的
時
則當
,
n
2011/9/14
2
數學歸納法 – 解說圖
3
數學歸納法 – 例題一
。
，
試證
N
n
n
∈
+
+
+
+
+
+
)
1
(
3
2
1
0
n
n
。
，
試證
N
n
n
∈
=
+
+
+
+
+
2
3
2
1
0
L
，須驗證
為真，
欲證
N
n
n
∈
+
=
+
+
+
+
+
2
)
1
(
3
2
1
0
n
n
L
基本步驟：
(1)
為真
時
當
2
1)
0(0
0
+
=
=
,
0
n
4
歸納步驟：
(2)
為真
假設
時
設
2
)
1
(
3
2
1
0
,
+
=
+
+
+
+
+
=
k
k
k
k
L
n
2011/9/14
3
數學歸納法 – 例題一
，須驗證
為真，
欲證
N
n
n
∈
+
=
+
+
+
+
+
)
1
(
3
2
1
0
n
n
L
，須驗證
為真，
欲證
N
n
n
∈
=
+
+
+
+
+
2
3
2
1
0
歸納步驟：
基本步驟：
(2)
(1)
為真
時
當
2
1)
0(0
0
+
=
=
,
0
n
為真
假設
時
設
2
)
1
(
3
2
1
0
,
+
=
+
+
+
+
+
=
k
k
k
k
L
n
)
1
(k
k
+
5
N
n
n
(2)
(1),
∈
∀
+
=
+
+
+
+
+
為真，
及數學歸納法知
由
2
)
1
(
3
2
1
0
n
n
L
為真
時
，則當
2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
3
2
1
0
,
2)
(k
k
2
1)
2(k
k
k
1)
(k
k
k
1)
(k
k
1
k
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
L
n
數學歸納法 – 例題二
。
，
，
試證
2
1
2
≥
∈
<
+
n
N
n
n
n
為真，則
假設
時
設
為真
時
當
，須驗證
，
為真，
欲證
2
2
2
1
,
2
1
2
,
2
2
1
k
k
n
n
n
n
<
+
=
<
+
=
=
∈
<
+
k
(2)
(1)
n
N
n
0
)
1
(
1
2
1
2
k
k
1
1)
(k
1
k
2
2
為真
時
當
k
k
試證
2
1
≥
∈
<
+
n
N
n
n
n
6
2
1
)
1
(
1
2
1
,
2
2
≥
∈
∀
<
+
+
=
+
+
<
+
<
+
+
+
=
n
N
n
(2)
(1),
k
k
1
1)
(k
1
k
2
2
，
為真，
及數學歸納法知
由
為真
時
當
n
n
k
k
n
2011/9/14
4
數學歸納法 – 例題三
。
，
為真，
試證
4
≥
∈
>
n
N
n
n
n
2
!
歸納步驟：
基本步驟：
(2)
(1)
，須驗證
，
為真，
欲證
4
n
N
n
≥
∈
>
2
! n
n
為真
試證
4
≥
∈
>
n
N
n
n
n!
7
數學歸納法 – 例題四
。
，
為真，
試證
1
≥
∈
+
+
+
+
+
+
n
N
n
n
n
n
n
)
1
2
)(
1
(
3
2
1
2
2
2
2
歸納步驟：
基本步驟：
(2)
(1)
須驗證
欲證此數學敘述為真，
。
，
為真，
試證
1
≥
∈
=
+
+
+
+
n
N
n
n
6
3
2
1
L
8
2011/9/14
5
隨堂練習:1
。
，
為真，
試證
1
≥
∈
+
+
+
+
+
n
N
n
n
n
n
2
3
3
3
3
)
)
1
(
(
3
2
1
歸納步驟：
基本步驟：
(2)
(1)
須驗證
欲證此數學敘述為真，
。
，
為真，
試證
1
≥
∈
=
+
+
+
+
n
N
n
n
)
2
(
3
2
1
L
9
隨堂練習:2
。
，
倍數，
為
試證
1
8
≥
∈
−
+
n
N
n
n
1
)
1
2
(
2
歸納步驟：
基本步驟：
(2)
(1)
須驗證
欲證此數學敘述為真，
倍數
為
試證
)
(
10