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道明高中 111學年度 第二學期 第二次段考 高一數學科
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一、單選題（每題 5分，共 25 分）
( ) 1. 義大利數學家斐波那契曾提出此問題：有 7位旅人，每個旅人有 7隻騾，每隻騾背著 7個袋子，每個袋子
裝有 7個麵包，每個麵包附 7支小刀。請問旅人、騾、袋子、麵包、小刀，全部加起來總共有幾個？（即
旅人＋騾＋袋子＋麵包＋小刀＝？）（75=16807）
(1) 19607 (2) 16807 (3) 49 (4) 19705 (5) 19803
( ) 2. 第二次月考，Curry 的國文、英文、數學成績分別為 85 分、65 分、75 分，而全班國文、英文、數學的平
均成績分別為 76 分、45 分、67 分，標準差分別為 6分、10 分、8分，試問 Curry 哪一科在班上考的相對
上是最好的？
(1) 國文 (2) 英文 (3) 數學 (4) 三科一樣好 (5) 無法判斷
( ) 3. 一群數字資料依序分別為 9、10、12、19、20、21、23、25、28，若刪去其中一個，可使算數平均數變小，
但中位數變大，則刪去的數值為何？
(1) 10 (2) 12 (3) 19 (4) 20 (5) 23
( ) 4. 如圖，將五組數據的散布圖繪製在同一坐標上（A平行 y軸，D平行 y軸），其
相關係數分別為 𝑟𝐴、𝑟𝐵、𝑟𝐶、𝑟𝐷、𝑟𝐸，則 𝑟𝐴、𝑟𝐵、𝑟𝐶、𝑟𝐷、𝑟𝐸 的大小關係為何？
(1) 𝑟𝐴> 𝑟𝐵> 𝑟𝐶> 𝑟𝐷> 𝑟𝐸 (2) 𝑟𝐵> 𝑟𝐶> 𝑟𝐴= 𝑟𝐷> 𝑟𝐸
(3) 𝑟𝐵> 𝑟𝐶> 𝑟𝐸> 𝑟𝐴= 𝑟𝐷 (4) 𝑟𝐵= 𝑟𝐶> 𝑟𝐸> 𝑟𝐴= 𝑟𝐷
(5) 𝑟𝐵= 𝑟𝐶> 𝑟𝐴= 𝑟𝐷> 𝑟𝐸
( ) 5. 已知數列 〈 𝑎𝑛 〉 滿足 𝑎1= 2，𝑎𝑛+1 = 1+𝑎𝑛
1−𝑎𝑛 ( 𝑛 ≥ 1 )，則此數列的前 107 項之乘積 𝑎1×𝑎2×…×𝑎107 為何？
(1) −3 (2) −1 (3) 1
2 (4) 3 (5) 5
二、多選題（每題 5分，共 15 分，5−3−1−0）
( ) 1. 設等差數列 〈 𝑎𝑛 〉 的公差為 d，且 𝑆𝑛= 𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛−1 +𝑎𝑛 表前 n項的和。若 𝑆10 < 𝑆11，
𝑆11 > 𝑆12，則下列選項哪些是正確的？
(1) 𝑑 < 0 (2) 𝑎1> 0 (3) 𝑆9> 0 (4) 𝑆23 > 0 (5) 當 𝑛 = 11 時，𝑆𝑛 有最大值
( ) 2. 高一期中考的數學科考 25 格填充，每格 4分，共 100 分。高一某班 50 人的成績最高分 80 分，平均 48 分，
標準差 4分。經統計，此次考試數學成績（x）與英文成績（y）的相關係數為 0.75，且英文對數學的迴歸
直線為 𝑦 = 3
2𝑥 + 10。若老師將數學科每格 4分的計分方式改為每格 5分來調高數學成績，則下列選項哪
些正確？
(1) 英文的標準差為 8分 (2) 調整後數學的標準差為 6分 (3) 調整後數學與英文的相關係數變大
(4)調整後英文對數學的迴歸直線之斜率變大 (5)調整後數學與調整前數學的相關係數大於 0.75
( ) 3. 在實數線上，動點 A從原點開始往正向移動，動點 B從8的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一
次，已知第一秒 A、B移動的距離分別為 1、4，且 A、B每次移動的距離分別為其前一次移動距離的 1
2 倍、
1
3 倍。令 𝐶𝑛 為n秒時 A、B的中點位置。請選出正確選項。
(1) 𝑐1= 5
2 (2) 𝑐2> 𝑐1 (3) 數列 〈 𝑐𝑛+1 −𝑐𝑛 〉 是一個等比數列 (4) 𝐶10 < 2 (5) 𝑐10 > 2
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三、填充題（每格 5分，共 60 分）
答對題數
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
8
16
24
30
36
42
48
54
1. 求 12+22+⋯+502
1+2+⋯+50 = 。
2. 高一某班級有 20 位同學，期末考成績的算數平均數為 61 分，標準差 5分。發考卷時，老師發現翔平考 40 分確
登記為 60 分，於是老師把分數調整回來，則調整後標準差為 分。（用根號表示即可）
3. 變數 x、y的n筆數據為 ( 𝑥1 ,𝑦1 )、( 𝑥2 ,𝑦2 )、…、( 𝑥𝑛 ,𝑦𝑛 )，已知算數平均數 𝜇𝑥= 6、𝜇𝑦= 8，標準差 𝜎𝑥= 3、
𝜎𝑦= 5，已知 y對x的迴歸直線通過 ( 8 ,12 )，試求 y對x的迴歸直線為 。
4. 有一廠商欲推出一種新產品，在上市前以不同的單價 X（單為：十元）調查市場的需求量 Y（單為：萬盒），調
查結果如附表所是。求 X與Y的相關係數為 。
單價（十元）X
18
19
20
21
22
需求量（萬盒）Y
11
12
10
8
9
5. 有一數列 〈 𝑎𝑛 〉=〈 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，⋯( 正整數 𝑛 出現 𝑛 次 ) 〉，試求 𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎30 =
。
6. 下圖是在 3×3，5×5，7×7 的方格紙上用黑白兩色所設計出的圖案，若依此規律，則 19×19 的方格紙上共
有 個黑色小方格。
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7. 設 〈 𝑎𝑛 〉 為等比數列，且 2𝑎1= 𝑎2∙𝑎3，又 𝑎4， 5
4，2𝑎7 成等差數列，則 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4= 。
8. 在坐標平面上，x、y坐標均為整數的點叫格子點。依右圖所示的順序，每次走一步（一步為一單位），假設大谷
從 ( 0 ,0 ) 出發，則他走 500 步，共轉彎 次。
四、證明題（共 6分）
1. 設數列 〈 𝑎𝑛 〉 為遞迴關係式為 { 𝑎1= 1
𝑎𝑛= 3𝑎𝑛−1 + 4 ( 𝑛 ≥ 2 )。使用數學歸納法證明：
對於所有的正整數 n，𝑎𝑛= 3𝑛−2
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道明高中 111 學年度 第二學期 第二次段考 高一數學科
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一、單選題
1.
2.
3.
4.
5.
(1)
(2)
(3)
(5)
(4)
二、多選題
1.
2.
3.
(1)(2)(3)(5)
(1)(5)
(1)(4)
三、填充題
1.
2.
3.
4.
5.
101
3
√46
𝑦 = 2𝑥 −4
−4
5
156
6.
7.
8.
181
30
43
四、計算題
1.
略