桃園市立中壢高商 113 學年度 校內學科能力競賽 試 卷
科目：
（數學科）
■人工閱卷
班級：
學號：
姓名：
壹、 填充題：每題 10 分，共 10 題，總計 100 分，請依照格子編號將答案填入答案卷。
A. ( , )
P x y 為圓：
2
2
3
2
7
0
x
y
x
y
+
−
+
− = 上的動點，座標平面上兩點
( )
0, 4 , (5, 0)
A
B
，已知當 P 點座標
為
( )
,
a b 時，
PAB
∆
面積有最大值 M，
4
5
20
M
a
b
×
+
−
= (1) 。
B. 空間中兩點
(
)
1,0, 2 , (2,0,1)
A
B
，直線
5
0
x
z
y
− =
=
上一動點 P ，請問 PA PB
+
的最小值為 (2) 。
C.
2
π θ π
< < ，求
2
4
6
8
cos
cos
cos
cos
cos
5
5
5
5
π
π
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
+
+
+
+
+
+
+
+
=
(3) 。
D. 已知三正數 , ,
a b c 成等比，且滿足 log
log
logc
log 3
a
b
+
+
=
，求b
= (4) 。
E. 直線 2
3
16
x
y
+
= 分別與
4
log
y
x
=
、
4
x
y
= 相交於
(
,
), (
,
)
a
a
b
b
A x y
B x y
，請問
b
a
b
a
x
x
y
y
−
=
−
(5) 。
F. 設
ABC
∆
三邊上的高分別為
AD
、 BE 、CF ，D、E、F 為三邊所在直線上的點，且 ABC
∆
的三高相
交於 H，若向量內積
20
AH AF
⋅
=
，
30
AH AE
⋅
=
，則
AB
AC
= (6) 。
G. 關於多項式函數
(
)
(
)
(
)
3
2
( )
2
2
2
f x
x
a x
b x
c
=
−
+
−
+
−
+ ，
( )
y
f x
=
圖形的對稱中心為 (0, 1)
− 且通過
點 (3, 2)
− ，請問 ( )
f x 除以 (
)
3
x x
− 的餘式
=
(7)
H.
1 1
1
0
,
1 1
0
1
J
I
=
=
，令
(
)
n
n
n
n
n
a
b
I
J
c
d
=
+
，請問
(
)(
)
200
200
200
200
a
b
c
d
−
−
= (8) 。
I. 將一公正六面骰子擲四次，依次記錄點數為 , , ,
a b c d ，
{
}
, , ,
1, 2,3, 4,5,6
a b c d
∈
，請問擲出的點數使得
(
)
(
)
log
a b
c
d
−
−
有意義的機率為 (9) 。
J. 利用 5 種不同的顏料，將右圖中 6 格方塊著色，每一格均僅能使用單色，且相鄰方塊顏色不能相同，
共有 (10) 種著色方法。(有共用邊才算相鄰)
貳、 證明題，每題 20 分，共 2 題，總分 40 分。
一. 根據算幾不等式，對於任意 n 個非負數
1
2
,
,
,
n
a a
a
，均存在下列關係：
(
)
1
1
2
1
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
+
+
+
≥
×
× ×
，試證明：對於任意正整數 n ，均滿足
1
2
2
1
3
1
3
2
n
n
n
+
≤
≤ +
−
。
二. 利用數學歸納法證明：對於所有正整數 n，均滿足
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
3
n
n
+
+
+
+
≤ −
。