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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：36360
類 科：
地震測報
科 目：
地球物理數學
考試時間：
2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
全一頁
一、已知一複數冪次級數（complex power series）如下：
nn
n
iz
n
n)()
423
(
1
+
+
∑
∞
=
求此級數之中心（center of the series）。（5分）
求此級數之收斂區間（region of convergence）。（10 分）
二、若
zxyzyx +=
2
),,(
φ
，則在方向
kjiD
r
r
r
r
+−= 4
上之點(-2, 1, 3)，
φ
的梯度為何？
（15 分）
三、求
3
02
0
sin
lim
x
dtt
x
x
∫
→
之極值（limit）。（15 分）
四、已知
iz
−
=
1
1
,
iz 42
2
+
−
=
,
iz 23
3
−=
，求
izz zz
+− ++
21
21
1
。（15 分）
五、令
jiA
r
r
r
+=
,
kjiB
r
r
r
r
+−=
32
,
kjC
r
r
r
34
−=
，求：
CBA
r
r
r
××
)(
。（10 分）
)( CBA
r
r
r
××
。（10 分）
六、一球座標之偏微分方程式如下：
2
2
22
2
222
2
1
sin
1
sin
sin
12
t
U
c
U
r
U
r
r
U
r
r
U
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
+
∂
∂
+
∂
∂
φθ
θ
θ
θ
θ
而球座標之 Laplacian 為：
2
2
222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11
ϕθ
θ
θ
θ
θ
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
+
∂
∂
∂
∂
=∇
U
r
U
r
r
U
r
r
r
U
請問此球座標偏微分方程是什麼方程式？（寫出名稱即可，例如 Laplace’s equation,
Poisson’s equation, …）（10 分）
寫出卡氏座標（Cartesian coordinates）之 Laplacian。（10 分）