5下數學教學設計：擴分與約分

活動名稱

擴分與約分

試教班級

五年一班

教學節數

3節

設計者

高芸瑾 、廖家雯

教材來源

南一版五下數學課本

教學學校

台北縣新興國小

教學者

廖家雯、高芸瑾

教學日期

教學節次

教學重點

2006. 4 . 28

第一節

真分數、假分數、帶分數的特性

等值分數

第二節

從等值分數來看擴分與約分及其應用

第三節

分數的加減法：同分母與異分母

教學準備

活動一：題目紙卡、珍珠板、面紙、白板筆、分數格版

活動二：題目紙卡、珍珠版、白板筆

活動三：題目紙卡、珍珠版、白板筆、分數格板

教材地位

數學本質概念

1. 等值分數：等值分數就是實質的量相同的分數，只是以不同方式呈現。利用

擴約分，一個分數有無限個等值分數。

(2)擴分：把一個分數化成和它相等，但分子與分母都比較大的分數。

(3)約分：把一個分數化成和它相等，但分子與分母都比較小的分數。

*部分/全體：分母表示一個數被分成幾等份，分子表示這個數在被分成的若干等 份中所佔的份數。

<例> 為4是分子，1是分母。分子在橫線上方，分母在橫線下 方。

*理解分數的基本概念和定義，便可以運用於分數的計算上。

*在分數「部分/整體」的概念中，整體改變，部分也跟著改變。(就像切蛋糕一樣，當你要把它分成更多等量的份數時，原本你要吃的部份也難逃切割的命運，這是擴分的概念；約分的概念則是忽略先前的切割線，因此在擴約分的計算上分子分母用的是乘除法而非加減法。

*分數的加減法：

當分母相同時，只要把分子相加或相減即可。而異分母分數的加減，可以利用通分的方法進行解題。

數學概念發展

等值分數概念

迷思概念

1.學生不易理解分數的擴分：學生不懂為什麼

2.分數比大小的概念：學生會覺得1/3比1/2大，不懂通分及約分。

3.分數中約分、擴分、通分的概念不佳，學生對於將學過的因數和倍數的概念。

應用在分數做約分、擴分、通分的運用上不佳，所以在做分數加減乘除的運算

上時常錯誤。

處理特色

1.先藉由圖示讓學生理解分數的意義，在加上數學符號的使用，讓他們更熟悉分

數的表示。在透過情境安排，讓學生透過約分、擴分來認識等值分數，並加強

因數、倍數的學習。

2.學生接觸整數習慣後，學習分數時會有這樣的迷思，3比2大，所以1/3大於

1/2，此時老師讓學生自己實際操作，發下A4的紙兩張，讓學生自己動手將紙

折成3份與2份，然後各取出其中一份，比較大小。學生了解後，在帶入通分

及約分的觀念。

3.多做練習，老師多讓學生練習因數和倍數以及等值分數互換、通分題目讓學生多做複習。

能力指標

具體目標

N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意

義。

1.能在具體情境中，連結等值分數，了解擴

分和約分的意義。

2.能透過約分，將分數約分成最簡分數。

N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異

分母分數的比較與加減問題。

1.能在具體情境中，理解通分的意義。

2.在具體情境中，能運用通分解決異分母分

數的合成、分解、比較的問題。

3.能在具體情境中，透過通分，進行異分母

分數的大小比較。

4.能在具體情境中，透過通分，解決異分母

分數的加法問題。

5.能在具體情境中，透過通分，解決異分母

分數的減法問題。

教學活動流程

第一節課

具體目標

活動主題

及進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

1-1

學生能夠明白分辦真分數、假分數與帶分數。

1-2

學生能夠正確的說出真分數、假分數與帶分數的個別特徵。

一、關係洞察

複習舊經驗

個人思考

↓

小組檢討

U複習先前學習過的分數概念：

1. 真分數

2. 假分數

3. 帶分數

小朋友請試著從老師所發下的

紙卡中，找出哪些是真分數、

哪些是假分數、哪些是帶分數？並請將答案寫在珍珠板上。

紙卡內容

3、、、、、、

、4、8、、、2

J學生們將答案寫在珍珠板上。

並請小朋友們試著說明你認為它們分別是真分數、假分數與帶分數的原因。聰明的小朋友們你們是否發現這些分數都有個別的特徵呢？

J學生個人思考後再與小組分享檢討。

• 真分數特徵：分子小於分母

• 假分數特徵：分子大於分母

• 帶分數是由整數＋真分數所組成。

題目紙卡

珍珠板

面紙

白板筆

學生能將真分數、假分數與帶分數做正確的分類並且說出他們三者的不同

教學活動流程

第一節課

具體目標

活動主題及

進行方式

主要活動與問話

教學

資源

評量

2-1

學生能夠分辨瞭解等值分數

2-2

學生能夠

正確的說出等值分數的特性

二、

正誤區辨

等值分數

個人思考

↓

小組討論

U帶進等值分數的概念

 A4的影印紙一包有400張，

芸瑾老師這次月考印考卷用掉了包，家雯老師則印了包，請問誰用掉的影印紙比較多？

J學生個人思考後再與小組分享檢討。

• 發給學生每人一份分別劃有二

等份、四等份、八等份及十六

等份的表格。請學生們先用色

筆將塗上顏色，第二次再用色筆將塗上顏色，第三次再用色筆將著色，最後再將塗上顏色。完成後請學生們發現歸納他們所看到的成果。

結果會發現 、 、和

是一樣大的等值分數。

• 再帶入====1

的概念

宜從著色活動進入，畢竟連續量比離散量更容易建立概念喔！-老師

題目紙卡

白板筆

珍珠板

等份表格

學生能理解等值分數的意義並記住等值分數的特性

教學活動流程

第二節課

具體

目標

活動主題及

進行方式

主要活動與問話

教學

資源

評量

3-1

能理解等值分數的概念並正確做出擴分的計算

三、

概念確認

等值分數

與擴分

個人思考

↓

小組討論

U由等值分數的概念帶進擴分的

概念，一個分數的分子和分母，同時用一個比1大的數

去乘，我們稱之為「擴分」。

擴分以後的分數其值和原來的

分數相等。

 一瓶林鳳營的家庭號鮮奶，芸

瑾老師喝了瓶，請問瓶鮮

奶和多少瓶一樣多？為什麼？

A. 和瓶一樣多，因為分數

裡都有3跟5。

B. 和瓶一樣多，因為3和

5差2，7和9也差2。

C. 和瓶一樣多，因為分子

分母加起來都是8。

D. 和瓶一樣多，因為分

子3和分母5都同時乘以6。

J學生請在思考後將計算過程寫

在珍珠板上，再與小組分享討

論。

題目紙卡

珍珠板

白板筆

學生能正確分辨等值分數且回答出擴分的定義

教學活動流程

第二節課

具體

目標

活動主題及

進行方式

主要活動與問話

教學

資源

評量

4-1

能理解等值分數的概念並正確做出約分的計算

三、

概念確認

等值分數

與約分

個人思考

↓

小組討論

U由等值分數的概念帶進約分的

概念，一個分數的分子和分母，同時用一個比1大的數

去除，我們稱之為「約分」。

約分以後的分數其值和原來的

分數相等。

 把化成的步驟叫做

1. 擴分2. 約分3. 化分

J學生思考後將答案寫在珍珠板

上再與小組分享討論。

 ＝＝

J學生請在思考後將計算過程寫

在珍珠板上，再與小組分享討

論。

 一盒櫻桃有100顆，家雯老師

吃了盒，芸瑾老師吃了

盒，請問誰吃的多？

1. 家雯2. 芸瑾

3. 一樣多

4. 分母不同，無法比較

J學生請在思考後將計算過程寫

在珍珠板上，再與小組分享討

論。情境不自然喔！-老師

題目紙卡

珍珠板

白板筆

學生能正確的做出約分的計算過程

教學活動流程

第三節課

具體

目標

活動主題及

進行方式

主要活動與問話

教學

資源

評量

5-1

學生能運用通分做簡單異分母分數的比較與加減

四、

概念應用

通分做分數的加減運算

個人思考

↓

小組討論

U當分母相同時，只要把分子相

加減即可；當異分母時則需通

分後換成同分母才能做計算。

 有二條一樣的巧克力，家雯老

師吃了其中一條巧克力的

條，芸瑾老師吃了另一條巧克

力的條，請問二位老師共吃

了多少條巧克力？

提示圖：

J小朋友請動動腦這個題目該怎

麼做呢？

 試著算看看不同分母的題目，

請問＋＝？

提 示圖：

題目紙卡

珍珠板

白板筆

分數格板

學生能運用通分正確的做出分數的加減運算

活動名稱

分數的擴約分

教學

年級

五年級

教學

節次

第一節

設計者

高芸瑾

試教者

廖家雯

紀錄者

廖家雯

試教地點

淡水縣新興國小

試教日期

民國91年4 月28 日

數 學 概 念

引發學生熱烈參與之問話或活動

成功之因素

1發現真分數、假分數、帶分數的個別特徵及區辨

因與學生探討真分數、假分數、帶分數三者間的本質概念，學生因此能說出為什麼3不是一個正確的分數表達形式。

解釋方法：真分數是分子小於分母，假分數是分子大於分母，帶分數不只是一個整數右方有一個分數，而且這個分數要是真分數(把能化成整數的分子化完後才留下不能化的。)

2.學生在做附件的第二題影印紙的改寫問題(一包400張的影印紙用了包，請問用了幾張？)時，將400x誤算成400x8÷3得到1066.66…的答案。

和學生討論時用以下幾個觀點切入：

1. 用的紙張數會需要算到小數後好幾位嗎?

2. 原本400張一包的紙用了1066.666…張，怎麼會愈用愈多？

3. 包是比包多還是少？如果是少，那老師實際用的紙張數是否應該少於400的一半呢？

3.相同的1分成n份和m份其值不變

運用老師課堂上所舉切披薩的例子「阿嬤說披薩切成8塊好了切成12塊會吃不完」學生很快了解單位1不變時，不管分成幾份，整體仍是不變的；並且可以舉一反三－了解切成8塊和12塊的結果是前者的一片比後者的一片大。

因此學生藉由如此切披薩的生活例子，可以很快地學會「整體」與「部分」的概念。

4.當1的本身代表的量不一時，相同的比例不一定代表相同實質的量。

舉出大小兩個蛋糕，弟弟吃了哥哥吃了，學生得以思考弟弟並不一定是食量比較小的人。

未能如預期引起反應之問話或活動

無法達成之因素

擬改善之對策

2.以1/2、1/4、1/8、1/16為例，用分數拼版引發對等值分數的了解。

分數拼版的書面製作時，沒有考慮到要分開列印(即：把分成2份的1與分成4份的1印在同一張紙，分成8份的1與分成16份的1印一同一張紙)，因此在有兩個1/2和4個1/4的整張紙上，小朋友在塗出1/4時，不會去塗分成四份的1中任何代表1/4的一塊(如下)

而去塗分成二份的1中代表1/2的其中一塊(即把有兩個1/2和4個1/4的整張紙看成1)

(如下)

可以把分數拼版1/2、1/4、1/8、1/16分開列印(如下)，讓小朋友拼湊間發現等值分數的概念。

老師更可以從左邊欄位所述小朋友非預期反應中，引導其自從不同角度看1/2時，單位1所代表的意義。

教 學 技 巧

成 功 因 素

失 敗 因 素

擬改善之對策

1.小團體補救教學可以照顧到每個學生的個別需要，給予較多的師生數學概念鞏固與迷思發現、破解、澄清的機會。

1.先做完形成性測驗題目的學生在等還在做的學生時沒事做。

教師可以多準備相關的題目讓先做完題目的學生在等待的時間內練習。

2.能針對如以上「教學概念－－成功因素(2)」所述，從不同角度看待破解學生的盲點，為在有限時間內達到最高教學目標的主要因素。

活動名稱

擴分和約分

教學

年級

五年級

教學

節次

3 節

設計者

淡江大學國小教育學程三94A04高芸瑾

試教者

高芸瑾

紀錄者

高芸瑾

試教地點

台北縣新興國小

試教日期

民國95年4 月28 日

數 學 概 念

引發學生熱烈參與之問話或活動

成功之因素

1. 教具的使用：

珍珠板 + 透明膠帶 = 簡便的小白板、

白板筆和衛生紙當板擦。

學生發表時可以有具體的成果呈現出來。

2. 請學生們在小白板上分別寫出真分數、

假分數和帶分數，比較觀察這些分數的特徵。

由寫出來的真分數中，去觀察發現真分數的特徵是分子小於分母；假分數的特徵是分子大於分母；而帶分數的特徵是一個整數加上一個真分數的組合。透過這樣的觀察使得學生更加有能力去分辨真分數、假分數及帶分數不再混淆。

3. 概念確認-等值分數與擴分

一瓶林鳳營的家庭號鮮奶，芸瑾老師喝了瓶，請問瓶鮮奶和多少瓶一樣多？為什麼？

A. 和瓶 一樣多，因為分數

裡都有3跟5。

B. 和瓶 一樣多，因為3和

5差2，7和9也差2。

C. 和瓶 一樣多，因為分子

分母加起來都是8。

D. 和 瓶一樣多，因為分

子3和分母5都同時乘以6。

由等值分數的概念帶進擴分的概念，一個

分數的分子和分母，同時用一個比1大的

數去乘，我們稱之為「擴分」。擴分以後的分數其值和原來的分數相等。

未能如預期引起反應之問話或活動

無法達成之因素

擬改善之對策

1. 教學者與學生間的互動不夠熱絡。

陌生感造成學生對教學者的恐懼，有問題卻不敢發問，即便教學者再多加引導學生還是害怕而不敢開口發問。

可以在開場時多些引導讓學生們有安全感。比方說介紹一下自己，讓學生知道今天的教學是為了什麼而來，先溝通好有問題就要發問不用害羞，加強學生對教學者的接納度。這樣對整體教學會更有幫助！

2. 雖然學生都是在擴分約分這單元上需要

補救教學的學生，但在教學過程中仍可明顯的感受到有部分學生的程度是更弱的。因此能力較佳的學生很快的就能寫出教學者要求的題目答案，卻得花時間等待能力較弱的同學作答完畢才能共同討論。

因未能完全整控學生原先的學習狀況，僅知他們是班上最需補救教學的學生，而導致於發生了這樣的狀況。

可以多準備一些題目讓先回答完的學生練習，並請他們寫完互相討論，避免空等的情況再發生。

3. 教具使用的不當 - -

等值分數的分數隔板

原先題目設計為：

發給學生每人一份分別劃有二等份、四等份、八等份及十六等份的表格。請學生們先用色筆將塗上顏色，第二次再用色筆將塗上顏色，第三次再用色筆將著色，最後再將塗上顏色。完成後請學生們發現歸納他們所看到的成果。

結果會發現 、 、和

是一樣大的等值分數。

但由於教具沒有適當的裁剪開來，導致學生在這部分聽不懂教學者的引導，不曉得該怎麼著顏色，因為看不懂等份的分法。

應該要將之(如下圖1)裁開使用，這樣學生才不會搞混到底要怎麼看幾等份。

應裁成(下圖2)的方式比較妥當。

(下圖1)

(下圖2)

教 學 技 巧

成 功 因 素

失 敗 因 素

擬改善之對策

1. 強調數學的本質概念

1. 學生對教學者的陌生感與害怕

應於課前先和學生溝通好

2. 教具(珍珠板)的使用

2. 教具(分數格板)的使用

應該將分數格板列印後裁開始用。