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全國公私立高中第一次模擬考
全國公私立高中第一次模擬考全國公私立高中第一次模擬考
全國公私立高中第一次模擬考(文昌
文昌文昌
文昌版
版版
版)
第壹部分
第壹部分第壹部分
第壹部分：
：：
：選擇題
選擇題選擇題
選擇題
一
一一
一、
、、
、單選題
單選題單選題
單選題：
：：
：(30 分
分分
分)
1. 設a，b為正整數，且
1 32
ab
≤ ≤
。若 2
log
b
a
為有理數，則這種有理數共有幾個？
(其中 2
log 2
與2
4
log
2
為同值，只算一個，且
2
log 3
，2
2
log
3
，
2
log 5
，
⋯
皆不是有理數)
(1) 8 個 (2) 9 個 (3) 10 個 (4) 11 個 (5) 12 個
2. 已知 10 84
a b
− + = ，其中a，b皆為正整數，則
a b
+
之值為何？
(1) 10 (2) 11 (3) 12 (4) 13 (5) 14
3. 滿足不等式
2019 2020
2021
( 2) ( 3)
0
( 6)
x x
x
+ +
≤
−的整數解共有多少個？
(1) 7個 (2) 8個 (3) 9個 (4) 10個 (5) 11個
4. 已知
2log 2000
3
a
π
+
=，
3 log 2000
4
b
π
+
=，
7 log 2000
6
c
π
−
=，則a，b，c的大小關係為何？
(1)
a c b
> >
(2)
b a c
> >
(3)
b c a
> >
(4)
c b a
> >
(5)
a b c
> >
5. 小明最近在複習指數問題，他發現函數
3
3 2
( )=
3 2
x
x
f x
+
−
+有一個現象，無論x為任何實數，函數
( )
f x
不會超過10，也不會小於
10
−
。則下列哪一個選項可能是
( )
f x
的函數值？
(1)
π
(2)
2
(3)
3
2
(4) 2019
log 108
(5) 108
log 2019
6. 音量的強度通常以分貝為單位表示，分貝(S)與聲音強度(I)的計算公式為
0
10log
I
S
I
=，其中I0是
人耳可聽到的最小聲音強度 12
2
10 ( )
W
m
−。警報器是消防安檢的重要設備之一，設某警報器其音量
強度為90分貝，如果五個同款警報器一起發聲，則測出來的音量強度最接近下列何值？
(1) 97分貝 (2) 99分貝 (3) 150分貝 (4) 225分貝 (5) 450分貝
二
二二
二、
、、
、多選題
多選題多選題
多選題：
：：
：(35 分
分分
分)
7. 以2
2 8
x x
+ −
除多項式
( )
f x
與
( )
g x
分別得餘式為
3 1
x
+
，
2 5
x
−
，試選出正確的選項。
(1)
(0) 1
f
=
(2)
2 ( ) 3 ( )
f x g x
+
被
2
x
−
除的餘式為11
(3)
( ) 2 ( )
xf x g x
+
被
1
x
−
除的餘式為
2
−
(4)
( ) ( )
f x g x
+
被2
2 8
x x
+ −
除的餘式為
5 4
x
−
(5) 2
( ) ( )
x f x xg x
+被2
2 8
x x
+ −
除的餘式為
25 24
x
−
8. 試選出正確的選項。
(1) 方程式
| 3 | | 5 | 10
x x
+ + − =
的解為
4
−
或6 (2) 方程式
| 2 5 | | 2 | 4
x x
− + + =
無解
(3) 不等式
| 4 | | 3 6 |
x x
− ≥ −
的解為
5
1
2
x
≤ ≤
(4) 不等式
| 2 | | 3 | 7
x x
+ + − ≤
的解為
2 3
x
− ≤ ≤
(5) 不等式
| 3 5 | 2
x x
− ≤
的解為
5
1
3
x
≤ ≤
9. 已知a，b，c，d皆為有理數，r，s皆為無理數。試選出正確的選項。
(1) 若
3 3
a b c d
+ = + ，則
a c
=
，
b d
=
(2) 若
r s
+
為有理數，則
rs
為有理數
(3)
a br
+
為無理數
(4) 若
r s
≠
，則r與s之間存在無限多個有理數，也存在無限多個無理數
(5) 若
x R
∈
，且
2019
x
與
10
x
皆為有理數，則x為有理數
RA192
2
10.下列有關多項式的敘述，試選出正確的選項。
(1) 設1
1 1 0
( ) n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
⋯
為整係數多項式，若
ax b
−
為f(x)的一次因式，則a為
n
a
的因數且b為
0
a
的因數
(2) 設f(x)為整係數多項式，若f(x)可被一次整係數多項式
ax b
+
整除，則其商式亦為整係數多
項式
(3) 設f(x)為有理係數多項式，且
( ) 0
f a b
+ =
，則
( ) 0
f a b
− =
(4) 設f(x)為實係數多項式，且
(2 ) 0
f i
+ =
，則
(2 ) 0
f i
− =
(5) 設f(x)為實係數多項式，且Z為虛數，若f(x)可被
x Z
−
整除，則f(x)亦可被
( )( )
x Z x Z
− −
整除(
Z
為Z的共軛複數)
11.下列有關指數函數與對數函數的圖形描述，試選出正確的選項。
(1) 在坐標平面上， 3
1
log
y
x
=的圖形與
3
log
y x
=
的圖形對稱於x軸
(2)
| log | ( 1)
a
y x a
= >
的圖形可以為圖1
(3) 在坐標平面上，
log 3
y x
=
的圖形經過平移後可與
log 5
y x
=
的圖形重合
(4) 作
(1.2)
x
y=與
y x
=
兩函數的圖形，可知方程式
(1.2) 0
xx
− =
沒有實根
(5) 如圖2，其中底數a之值比0.6小
12.設100
4
( ) 10
5
n
a k= = × ，其中n為整數，且
1 10
k
< <
，試選出正確的選項。
(1)
10
n
= −
(2)
log
a
的首數為
9
−
(3)
log
a
的尾數為0.3
(4) a乘開後自小數點後算起連續出現9個0 (5)
2 3
k
< <
13.下列有關指數與對數的運算，試選出正確的選項。
(1) 若2
a b
≠
，則
2
2
21
3 (3 3 )
2
a b
a b
+
> + (2)
100 31
2 10
> (3)
8 2
log 27 log 3
=
(4) 3 5 3 5
(log 4)(log 6) (log 6)(log 4)
=
(5) 設
0
a
>
，
0
b
>
，且
1
a
≠
，則 2
log 25
log
5a a
bb=
三
三三
三、
、、
、選填題
選填題選填題
選填題：
：：
：(35 分
分分
分)
A. 設x，y為實數，且
3 4
x y
+ =
，則
(0.125) (0.5)
x y
+的最小值為 。(化為最簡分數)
B. 有一項實驗結果發現細菌數每經過 1日後會增加為原來的 x倍，經過 3日後會增加為原來的 y
倍，經過 5日後會增加為原來的
3 2
x y
+
倍。由此可推得細菌數每經過 1日後會增加為原來的
倍。
C. 設2 10 20 19 2
20 19 2 1 0
( 2)
x x a x a x a x a x a
+ + = + + + + +
⋯
，則
20 18 16 6 4 2
a a a a a a
− + − − + − =
⋯
。
x
y
圖1
x
y
圖2
O
(0.6)
x
y=
x
y a
=
3
D. 某甲站在高度 60 公尺的斜坡上，如圖中坐標
(0, 60)
處，
向空中發射一枚煙火彈，以拋物線 2
1 17
60
16 4
y x x
= − + +
的軌跡掉落，正好落在山腳下，如圖中坐標
(80, 0)
的位置
在煙火彈掉落過程中，煙火彈與斜坡的鉛垂線段(即
AB
)
的最大值為 。
E. 設x為實數，已知方程式 2
5 | 3 6 |
x x x a
+ − + =
有4個相異實數解，若 a的範圍為
r a s
< <
，則
數對
( , )
r s
= 。
F. 設
( )
f x
為整係數多項式，且
( 1 2) 2 5 2
f− + = + ，若
( )
f x
除以 2
2 1
x x
+ −
的餘式為
ax b
+
，則
數對
( , )
a b
= 。
G. 2003 年科學家發現蒂加登星(Teegarden’s Star)，其為一顆年齡至少有 80 億歲的恆星，這代表圍
繞著蒂加登星的行星可能有足夠的時間進化出高等生命。科學家們並於 2019 年6月確認有 2
顆相當類似地球的行星在蒂加登星身邊繞行，成功列入「適居太陽系外行星目錄」。已知蒂加
登星的視星等為 15.4、絕對星等為 17.47，而星等換算公式為
0
10
5log
d
M m
d
= + (M為絕對星等，
m為視星等，
0
d
約為 32.616 光年，d為與觀察者的距離)。則由查表與內插法可得此蒂加登星距
離我們約為 光年。(四捨五入至小數第二位)(已知 log32.616
≈
1.5134)
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0000
0043
0086
0
128
0170
0212
0253
0294
0334
0374
11
0414
0453
0492
0531
0569
0607
0645
0682
0719
0755
12
0792
0828
0864
0899
0934
0969
1004
1038
1072
1106
13
1139
1173
1206
1239
1271
1303
1335
1367
1399
1430
14
1461
1492
1523
1553
1584
1614
1644
1673
1703
1732
x
y
O
A
B
60
80
4
RA192 全
全全
全國公私立高中第一次模擬考
國公私立高中第一次模擬考國公私立高中第一次模擬考
國公私立高中第一次模擬考(文昌
文昌文昌
文昌版
版版
版)
選擇題：1. (4) 2. (1) 3. (3) 4. (5) 5. (4) 6. (1) 7. (2)(4)(5) 8. (1)(2)(3) 9. (1)(4)(5)
10. (4)(5) 11. (1)(3) 12. (1)(3)(4) 13. (3)(4)(5)
選填題：A.
1
2
B. 3 C.
1024
−
D. 100 E.
( 7, 6)
− −
F.
(5,7)
G. 12.57