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九十八學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘
題型題數：單選題 6題，多選題 5題，選填題第 A至I題共 9題
作答方式：•用2B 鉛筆在「答案卡」上劃記，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
•答錯不倒扣
作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
（一）填答選擇題時，只用 1，2，3，4，5等五個格子，而不需要用到−，±，以及 6，7，
8，9，0等格子。
例：若第 1題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即
選項(3)時，考生要在答案卡第 1列的 劃記（注意不是 7），如：
解 答 欄
例：若多選題第 10 題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列的
與 劃記，如：
（二）選填題的題號是 A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格
式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第 B題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是8
3，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 劃記，如：
例：若第 C題的答案格式是 ，而答案是 7
50
−
時，則考生必須分別在答
案卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的參考數值、對數值與常用對數表
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
1
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
3
18
3
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
−
±
3
7
−
8
20
21
50
19
第 1 頁 98 年學測
共 7 頁 數學考科
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第壹部分：選擇題（佔 55 分）
一、單選題（佔 30 分）
說明：第 1至6題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每
題答對得 5分，答錯不倒扣。
1. 數列 110
2, , 2 , , 20
k
aaka++ +"" 共有十項，且其和為 240，則 110k
aa a
+
+++""之值為
(1) 31 (2) 120 (3) 130 (4) 185 (5) 218
2. 令 2
cos( )a
π
=，試問下列哪一個選項是對的？
(1) 1a=−
(2) 1
12
a−< ≤−
(3) 10
2a−<≤
(4) 1
02
a<≤
(5) 11
2a<≤
3. 已知 )(),( xgxf 是兩個實係數多項式，且知 ()
f
x除以 ()
g
x的餘式為 1
4−x。試問下列哪一個選
項不可能是()
f
x與()
g
x的公因式？
(1) 5
(2) 1−x
(3) 1
2−x
(4) 1
3−x
(5) 1
4−x
4. 甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 3、4、5個班級。從這 12 個班級中隨機選取一班參加國
文抽考，再從未被抽中的 11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩個班級在
同一所學校的機率最接近以下哪個選項？
(1) 21% (2) 23% (3) 25% (4) 27% (5) 29%
98 年學測 第 2 頁
數學考科 共 7 頁
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5. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過
甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 °45 ，則丙、丁兩
鎮間的距離約為
(1) 24.5 公里 (2) 25公里 (3) 25.5公里 (4) 26公里 (5) 26.5公里
6. 試問坐標平面上共有幾條直線，會使得點 (0 0)O, 到此直線之距離為 1，且點 (3 0)A, 到此直線之
距離為 2？
(1) 1 條 (2) 2條 (3) 3條 (4) 4條 (5)無窮多條
二、多選題（佔 25 分）
說明：第 7至11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選
出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對
者得 5分，只錯一個選項者可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。
7. 試問下列哪些選項中的數是有理數？
(1) 3.1416
(2) 3
(3) 10 10
log 5 log 2+
(4) sin15 cos15
cos15 sin15
°°
+
°°
(5) 方程式 32
210xxx−+−=的唯一實根
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共 7 頁 數學考科
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8. 坐標平面上四條直線 1234
,,,LLLL與
x
軸、 y軸及直線 yx
=
的相關位置如圖所示，其
中1
L與3
L垂直，而 3
L與4
L平行。設 1234
,,,LLLL的方程式分別為 xmy 1
=
, xmy 2
=,
3
ymx=以及 cxmy += 4。試問下列哪些選項是正確的？
(1) 321
mmm>>
(2) 14 1mm⋅=−
(3) 1<1m−
(4) 23 1mm⋅<−
(5) 0c>
9. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為
「知名度」)。結果如下：在95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分
別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？
(1) 甲地本次的參訪者中，54%的人聽過該產品
(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數
(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%
(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有95%的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]
(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在95%
信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)
10. 設cba ,, 為實數，下列有關線性方程組
21
34 1
210 7
xyaz
xybz
x
yzc
+
+=
+
+=−
+
+=
的敘述哪些是正確的？
(1) 若此線性方程組有解，則必定恰有一組解
(2) 若此線性方程組有解，則11 3 7ab
−
≠
(3) 若此線性方程組有解，則 14c=
(4) 若此線性方程組無解，則11 3 7ab
−
=
(5) 若此線性方程組無解，則 14c≠
y
L1
L3
L2
L4
x
y=x
98 年學測 第 4 頁
數學考科 共 7 頁
- 4 -
11. 如圖所示，正立方體 -ABCD EFGH 的稜長等於 2 (即2AB
=
)，K為正方形 ABCD 的中心，
M
、
N
分別為線段
B
F、
E
F的中點。試問下列哪些選項是正確的？
(1)
X
KM 1
2
=
X
AB 1
2
−
X
AD 1
2
+
X
AE
(2) (內積)
X
KM ⋅
X
AB 1=
(3) 3KM =
(4) ∆KMN 為一直角三角形
(5) ∆KMN 之面積為 10
2
第貳部分：選填題（佔 45 分）
說明：1.第A至I題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–33)。
2.每題完全答對得 5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 從1到100 的正整數中刪去所有的質數、2的倍數及 3的倍數之後，剩下最大的數為 。
B. 坐標平面上有四點 (0,0)O,(3,5)A−− ,(6,0)B,(,)Cxy。今有一質點在O點沿
X
AO方向前進 AO 距
離後停在 P，再沿
X
BP 方向前進2
B
P距離後停在Q。假設此質點繼續沿
X
CQ方向前進3CQ 距離後
回到原點O，則(, )
x
y=（ , ）。
C. 抽獎遊戲中，參加者自箱中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者可得消費劵，
其金額分別為(抽得藍色球者)2000 元、(抽得紅色球者)1000 元。箱中已置有 2顆藍色球及 5顆
紅色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單位希望參加者所得消費劵金額的期望值為
300 元，則主辦單位應於箱內再置入 顆其他顏色的球。
12 13
18 19
14 15 16 17
AD
K
B
M
F
M
G
E
N
C
E
H
第 5 頁 98 年學測
共 7 頁 數學考科
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D. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的
x
截距相差20 ，y截距相差15 。則這兩條平行直
線的距離為 。
E. 假設 1
Γ為坐標平面上一開口向上的拋物線，其對稱軸為 3
4
x
−
=且焦距（焦點到頂點的距離）
為1
8。若 1
Γ與另一拋物線 2
2
Γ: yx=恰交於一點，則 1
Γ的頂點之 y坐標為 。(化成最簡分
數)
F. 某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的
%75 。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若
要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少 . % 的二氧化碳的排放量。(計算到
小數點後第一位，以下四捨五入。)
G. 坐標空間中
x
y平面上有一正方形，其頂點為 (0,0,0)O,(8,0,0)A, (8,8, 0)B,(0,8,0)C。另一點 P在
x
y平面的上方，且與 O, A, B, C四點的距離皆等於 6。若
x
by cz d
+
+=為通過 A,
B
,P三點的平
面，則(,, )bcd =( , , )。
20 21
23
22
2
7
2
8
2
6
24 25
98 年學測 第 6 頁
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H. 有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 1
F
、2
F
，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。設 P為此
橢圓與雙曲線的一個交點，且 12
64PF PF×=，則 12
F
F= 。
I. 在ABC∆中， 10AB =, 9AC =, 3
cos 8
BAC
∠
=。設點 P、Q分別在邊 AB 、AC 上使得 APQ∆之
面積為
A
BC∆面積之一半，則 PQ 之最小可能值為 。(化成最簡分數)
29 30
31 32
33
第 7 頁 98 年學測
共 7 頁 數學考科
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參考公式及可能用到的數值
1. 一元二次方程式 20ax bx c++= 的公式解： a
acbb
x2
4
2−±−
=
2. 平面上兩點P
1
(
)
11,yx ，P
2
()
xy
22
,間的距離為 PP x x y y
12 2 1
2
21
2
=−+−()()
3. 通過
()
11,yx 與
(
)
xy
22
,的直線斜率 21
21
yy
m
x
x
−
=
−
, 21
x
x
≠
.
4. 首項為 1
a, 公差為 d的等差數列前 n項之和為 11
()
(2 ( 1) )
22
n
na a na n d
S
+
+−
==
5. 三角函數的和角公式：sin( ) sin cos sin cosAB A B B A
+
=+
cos( ) cos cos sin sinAB A B A B
+
=−
6. ∆ABC 的正弦定理： 2
sin sin sin
abc
R
ABC
===
∆ABC 的餘弦定理： 222
2coscab abC=+−
7. %95 信心水準下之信賴區間：
lll
lll
11
[2 , 2 ]
p
(p) p(p)
pp
nn
−−
−+
8. 參考數值： 2 1 414 ; 3 1 732 ; 5 2 236 ; 6 2 449 ; 3 142.. . ..
π
≈≈≈ ≈≈
9. 對數值： 10 10 10 10
log 2 0 3010, log 3 0 4771, log 5 0 6990, log 7 0 8451....≈≈≈≈
常用對數表 10
log
N
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表 尾
差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31
….
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5
….
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4
註 1. 表中所給的對數值為小數點後的值。
2. 表中最左欄的數字表示 N的個位數及小數點後第一位，最上一列的數字表示 N的小數點後
第二位。