108 年大學入學學力測驗數學試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇題（佔 65 分）
一、單選題（佔 30 分）
1. 點
0
,
1
A
在單位圓
1
:
2
2
y
x
上。試問：
上除了 A 點以外，還有幾個點到直線
x
y
L
2
:
的距離，等於 A 點到 L 的距離？
(1)
1個 (2) 2 個 (3)
3
個 (4) 4 個 (5)
0
個
【108 年學測】
答：(3)
解：
1
5
2
0
2
,
0
,
1
,
r
y
x
d
L
A
d
圓上另有 3 點到
0
2
y
x
的距離
L
A
d
,
2. 下列哪一個選項是方程式
0
4
4
2
3
x
x
x
的解？(註：
1
i
)
(1)
i
2
(2)
i
(3)i (4) 2 (5) 4
【108 年學測】
答： (1)
解：原式
0
4
1
2
x
x
i
x
2
,
1
3. 試問共有多少組正整數
n
m
k
,
,
滿足
512
8
4
2
n
m
k
？
(1)1組 (2) 2 組 (3)
3
組 (4) 4 組 (5)
0
組
【108 年學測】
答： (3)
解：
9
3
2
2
2
n
m
k
，
N
n
m
k
,
,
2
,
1
,
1
,
,
n
m
k
、
1
,
2
,
2
、
1
,
1
,
4
共三組
4. 廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師
想用完這六種食材做三道菜，每道菜可以只用一種食材或多種食材，但每種食材
只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？
(1)
3
(2)
6
(3)
9
(4)
18
(5)
27
。
【108 年學測】
答： (5)
解： ∵每菜中必有一肉 ∴只考慮素的分配
27
6
18
3
!
3
!
3
3
1
,
1
,
1
0
,
1
,
2
1
1
3
2
0
,
0
,
3
C
C
5. 設正實數
b
滿足
7
log
100
log
log
100
log
b
b
，試選出正確的選項：
(1)
10
1
b
(2)
10
10
b
(3)
10
10
10
b
(4)
100
10
10
b
(5)
10
100
100
b
。
【108 年學測】
答： (4)
解： 原式：
7
log
2
log
2
b
b
3
5
log
b
∴
100
10
10
b
6. 某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在
C
6
到
C
24
時，每日平均售出的咖啡
數量與當天的平均氣溫之相關係數為
99
.
0
，部分紀錄如下表。
某日平均氣溫為
C
8
，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量
應接近下列哪個選項？
(1)
570
杯 (2)
625
杯 (3)
700
杯 (4)
755
杯 (5)
800
杯。
【108 年學測】
答： (2)
解： ∵相關係數
1
≒
∴數據幾乎共線
斜率
11
21
512
135
11
8
512
y
1
.
625
≒
y
二、多選題（佔 35 分）
7. 設各項都是實數的等差數列
,
,
,
3
2
1
a
a
a
之公差為正實數
，試選出正確的選項：
(1)若
n
n
a
b
，則
3
2
1
b
b
b
(2)若
2
n
n
a
c
，則
3
2
1
c
c
c
(3)若
1
n
n
n
a
a
d
，則
,
,
,
3
2
1
d
d
d
是公差為
的等差數列
(4)若
n
a
e
n
n
，則
,
,
,
3
2
1
e
e
e
是公差為
1
的等差數列
(5)若
n
f
為
n
a
a
a
,
,
,
2
1
的算術平均數，則
,
,
,
3
2
1
f
f
f
是公差為
的等差數列。
【108 年學測】
答： (1)(4)
解： (1)
0
∴
3
2
1
a
a
a
∴
3
2
1
a
a
a
(2)不一定（反例：
3
1
a
，
1
2
a
，
5
3
a
，……）
(3)
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
d
d
(4)
1
1
1
1
n
a
n
a
e
e
n
n
n
n
(5)應為
2
8. 在數線上，甲從點
8
開始做等速運動，同時乙也從點
10
開始做等速運動，
乙移動的速率是甲的
a
倍，且
1
a
，試選出正確的選項：
(1)若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇
(2)若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇
(3)若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點
0
(4)若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大
(5)若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點
2
相遇，則
2
a
。
【108 年學測】
答：(4)(5)
解：(1) 永不相遇 (2)
0
10
8
at
t
1
18
a
t
可成立
(3)
不一定 (4)正確 (5)
2
10
2
8
at
t
2
6
a
t
9. 從1 ， 2 ，
3
， 4 ， 5 ，
6
， 7 這七個數字中隨機任取兩數，試選出正確的選項：
(1)其和大於
10
的機率為
7
1
(2)其和小於 5 的機率為
7
1
(3)其和為奇數的機率為
7
4
(4)其差為偶數的機率為
7
5
(5)其積為奇數的機率為
7
2 。
【108 年學測】
答： (3)(5)
解： (1)
21
4
1
2
1
7
2
C
(2)
21
2
2
7
2
C
(3)
7
4
7
2
3
1
4
1
C
C
C
(4)
7
3
7
2
3
2
4
2
C
C
C
(5)
7
2
7
2
4
2
C
C
10. 在 ABC
中，已知
60
50
B
A
，試選出正確的選項：
(1)
B
A
sin
sin
(2)
C
B
sin
sin
(3)
B
A
cos
cos
(4)
C
C
cos
sin
(5)
BC
AB
。
【108 年學測】
答： (1)(2)
解：
60
50
B
A
80
60
C
(1)(2)
C
B
A
sin
sin
sin
(3)
B
A
cos
cos
(4)
C
C
cos
sin
(5)
BC
a
c
AB
11. 某地區衛生機構成功訪問了
500
人，其中年齡為
59
50
歲及
60
歲（含）以上者分別有
220
名及
280
名。這
500
名受訪者中，
120
名曾做過大腸癌篩檢，其中有 75 名是在一年
之前做的，有
45
名是在一年之內做的。已知受訪者中，
60
歲（含）以上者曾做過大腸癌
篩檢比率是
59
50
歲者曾做過大腸癌篩檢比率的
5
.
3
倍，試選出正確的選項：
(1)受訪者中年齡為
60
歲（含）以上者超過
%
60
(2)由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在
59
50
歲間的機率大於
25
.
0
(3)由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在
一年之前受檢的機率為
119
75
120
45
2
(4)這
500
名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於
%
75
(5)受訪者中
60
歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過
90
名。
【108 年學測】
答： (3)(5)
解： (1)
%
56
500
280
(2)
25
.
0
19
.
0
500
2
220
2
≒
C
C
(3)
119
120
45
75
2
120
2
45
1
75
1
C
C
C
(4)
%
76
500
380
(5)
5
.
3
220
120
280
x
x
95
≒
x
12. 設
x
f
1
，
x
f
2
為實係數三次多項式，
x
g
為實係數二次多項式。
已知
x
f
1
，
x
f
2
除以
x
g
的餘式分別為
x
r
1
，
x
r
2
，試選出正確的選項：
(1)
x
f
1
除以
x
g
的餘式為
x
r
1
(2)
x
f
x
f
2
1
除以
x
g
的餘式為
x
r
x
r
2
1
(3)
x
f
x
f
2
1
除以
x
g
的餘式為
x
r
x
r
2
1
(4)
x
f
1
除以
x
g
3
的餘式為
x
r
1
3
1
(5)
x
r
x
f
x
r
x
f
1
2
2
1
可被
x
g
整除。
【108 學測】
答： (1)(2)(5)
解： (3)不一定 (4)應為
x
r
1
13. 坐標空間中有一平面
P 過
0
,
0
,
0
，
3
,
2
,
1
及
3
,
2
,
1
三點，試選出正確的選項：
(1)向量
2
,
3
,
0
與平面 P 垂直 (2)平面 P 與 xy 平面垂直
(3)點
6
,
4
,
0
在平面 P 上 (4)平面 P 包含
x
軸
(5)點
1
,
1
,
1
到平面 P 的距離是1。
【108 學測】
答： (3)(4)
解：
0
,
0
,
0
O
，
3
,
2
,
1
A
，
3
,
2
,
1
B
(1)
P
//
OA
OB
2
,
3
,
0
2
4
,
6
,
0
(2)
P
z
0
2
1
,
0
,
0
2
,
3
,
0
(3)
0
2
3
z
y
P
，含點
6
,
4
,
0
(4)
x
軸
P
t
0
,
0
,
(5)距離應為
13
1
第貳部分：選擇題（佔 35 分）
A. 設
x
、 y 為實數，且滿足
6
6
1
1
4
2
3
1
3
y
x
，則
y
x
3
。
【108 學測】
答： 4
解：
6
1
4
2
6
3
3
y
x
y
x
2
1
x
，
2
3
y
B. 如圖(此為示意圖)，
D
C
B
A
,
,
,
是橢圓
1
16
2
2
2
y
a
x
的頂點。
若四邊形
ABCD
的面積為
58
，則
a
。
(化為最簡分數)
【108 學測】
答：
4
29
解：
58
2
2
2
a
b
58
2
2
8
a
4
29
a
C. 某高中已有一個長
90
公尺、寬
60
公尺的足球
練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈
總長度為
400
公尺的跑道，跑道規格為左右兩
側各是直徑相同的半圓，而中間是上下各一條
的直線跑道，直線跑道和足球練習場的長邊平
行(如示意圖)。則圖中一條直線跑道
AB
長度的
最大可能整數值為 公尺。
【108 學測】
答：
105
解：
7
.
105
400
2
2
30
2
≒
弧長
x
x
y
y
AB
D. 某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。
投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有
765
人領票，乙案有
537
人領票，
丙案有
648
人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有 224 人，並且每個人都至少
領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者
共有 人。
【108 學測】
答：
215
解：
648
224
537
224
765
224
a
c
c
b
b
a
98
215
326
c
b
a
所求
215
b
E. 如圖（此為示意圖），在
ABC
中，
AD
交 BC 於 D 點，
BE
交
AD
於 E 點，且
30
ACB
，
60
EDB
，
120
AEB
，若
15
CD
，
7
ED
，則
AB
。
【108 學測】
答：
13
解：
120
cos
8
7
2
8
7
2
2
AB
13
F. 坐標空間中，考慮有一個頂點在平面
0
z
上、且有另一個頂點在平面
6
z
上的正立方體。
則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為 。（化成最簡根式）
【108 學測】
答：
3
2
解： 當
3
6
,
0
z
z
d
邊長，亦即邊長
3
2
3
6
（最小）
G. 如圖（此為示意圖）
， A 、 B 、
C
、 D 為平面上的四個點。
已知BC
AB
AD，AC、BD兩向量等長且互相垂直，
則
BAD
tan
。
【108 學測】
答：
3
解：
AD
AB
BC
AD
AB
AB
AC
2
AD
AB
AC
因為
2
2
BD
AC
，故
2
2
2
AB
AD
AD
AB
所以
2
AB
． AD
AB
2
……(1)
因為
BD
AC
，故
．BD
AC
0
2
AB
AD
AD
AB
所以
2
2
2
AD
AB
． AD
AB
0
……(2)
由(1)(2)得知：
2
5
AB
AD
則
BAD
cos
3
tan
10
1
2
5
2
1
．
2
2
BAD
AB
AB
AD
AB
AD
AB