112 年大學入學學力測驗數學(數 B)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇（
（
（
（填
填
填
填）
）
）
）題
題
題
題（
（
（
（占
占
占
占 85 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 35 分
分
分
分）
）
）
）
1. 某抽水站發現其用電量（單位：度）與抽水馬達轉速（單位：rpm）的三次方成正比。
根據上述，試問下列這五個圖中，哪一個最可以描述此抽水站的用電量 y （度）與
抽水馬達轉速
x
（rpm）的對應關係？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【112 年學測數 B】
答： (1)
解：
3
x
y =
2. 考慮實數二階方陣
d
c
b
a
，若
−
−
−
=
−
7
9
4
3
2
0
0
1
0
1
1
0
d
c
b
a
，
則
b
c
2
−
的值為何？
(1) 11
−
(2) 4
−
(3)
1
(4) 10
(5) 11
【112 年學測數 B】
答：
(2)
解：
−
−
−
−
=
2
1
0
0
1
7
9
4
3
0
1
1
0
d
c
b
a
−
=
−
−
−
−
=
2
3
2
7
9
2
1
0
0
1
4
3
7
9
4
2
7
2
3
2
−
=
−
=
− b
c
3.
地面上有甲、乙兩大樓，已知甲的高度大於乙，且甲、乙兩大樓的水平距離為150 公尺。
某人從甲樓頂拉一條繩索到乙樓頂，並從甲樓頂測得乙樓頂的俯角為
°
22 。
假設該繩索被拉成直線，試問繩索的長度（單位：公尺）最接近下列哪個選項？
（註：眼睛往下看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為俯角）
(1) 150
(2)
°
22
sin
150
(3)
°
22
cos
150
(4)
°
22
cos
150
(5)
°
22
sin
150
【112 年學測數 B】
答：
(4)
解：
所求
°
=
22
sec
150
4.
某校期中考試有 29 名考生，且成績均相異，統計後得到位於第 25 、第 50 、第 75 與第 95
百分位數的考生成績分別為 41、 60 、 74 與 92 分。後來發現成績有誤需要調整分數，
成績較高的前15 名學生的分數應該要各加
5
分，其餘學生成績不變。
假設調整後第 25 、第 50 、第 75 與第 95 百分位數的考生成績分別為
a
、 b 、
c
與 d 分，
則數組
(
)
d
c
b
a
,
,
,
為下列哪個選項？
(1)
(
)
92
,
74
,
60
,
41
(2)
(
)
97
,
74
,
60
,
41
(3)
(
)
97
,
79
,
65
,
41
(4)
(
)
92
,
79
,
65
,
46
(5)
(
)
97
,
79
,
65
,
46
【112 年學測數 B】
答：
(3)
解：
第 50 百分位即第
15
名
5.
袋子裡有編號分別為
100
,
,
2
,
1
⋯
的100 顆球，某甲從袋中隨機抽取一球，
每顆球被抽到的機率均相等。試問在下列哪個選項的條件下，
某甲抽到
7
號球的條件機率最大？
(1)
某甲抽到球的號碼是奇數
(2)
某甲抽到球的號碼是質數
(3)
某甲抽到球的號碼是
7
的倍數
(4)
某甲抽到球的號碼不是
5
的倍數
(5)
某甲抽到球的號碼小於
10
【112 年學測數 B】
答：
(5)
解：
(1)
50
1
(2)
25
1
(3)
14
1
(4)
80
1
(5)
9
1
6.
某甲計算多項式
( )
c
bx
ax
x
x
f
+
+
+
=
2
3
除以
( )
d
cx
bx
ax
x
g
+
+
+
=
2
3
的餘式，
其中
d
c
b
a
,
,
,
為實數，且
0
≠
a
。他誤看成
( )
x
g
除以
( )
x
f
，計算後得出餘式為
17
3 −
−
x
。
假設
( )
x
f
除以
( )
x
g
正確的餘式等於
r
qx
px
+
+
2
，則 p 的值會等於下列哪個選項？
(1)
3
−
(2) 1
−
(3) 0
(4) 2
(5) 3
【112 年學測數 B】
答：
(3)
解：
[ ]
17
3
2
3
2
3
−
−
+
+
+
=
+
+
+
x
a
c
bx
ax
x
d
cx
bx
ax
2
a
b =
，
3
−
= ab
c
，
17
−
= ac
d
r
qx
px
a
d
cx
bx
ax
c
bx
ax
x
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
2
2
3
2
3
1
p
a
b
a
+
=
，即
ap
b
a
+
=
2
，即
0
0
0
=
→
=
≠
p
ap
a
7.
已知某手電筒照射的光線為直圓錐狀，且光發散的
夾角為
°
60 ，如圖所示。設牆壁與地板垂直且交界
處為直線 L ，將此手電筒以垂直於 L 的方向照射，
即此直圓錐的軸與 L 垂直。若手電筒照射在牆壁上
的光線邊緣為拋物線的一部份，則在地板上的光線
邊緣為下列哪種圖形的一部份？
(1)
兩相交直線
(2)
圓形
(3)
拋物線
(4)
長短軸不相等的橢圓
(5)
雙曲線
【112 年學測數 B】
答：
(4)
解：牆壁與母線平行，地板與母線垂直
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題（
（
（
（占
占
占
占 25 分
分
分
分）
）
）
）
8.
某電子看板持續不斷的輪流播放 A 、 B 兩段廣告（ A 、 B 、 A 、 B
…
），
每個廣告播放時間皆為T 分鐘（其中T 為整數）。某甲經過時剛好開始播放 A 廣告，
30 分鐘後，某甲回到該處，看到恰好開始播放 B 廣告。試選出可能是T 值的選項。
(1) 15
(2) 10
(3) 8
(4) 6
(5) 5
【112 年學測數 B】
答：
(2)(4)
解：
30
為T 的奇數倍
9.
已知
6
=
a
、
3
20
=
b
、
10
2
=
c
和 d ，且 d 為有理數，將這四個數標註在數線上，
即
( )
a
A
、
( )
b
B
、
( )
c
C
和
( )
d
D
。試選出正確的選項。
(1)
d
c
b
a
+
+
+
必為一個有理數
(2) abcd
必為一個無理數
(3)
點 D 有可能與點 C 的距離等於
6
10
2
+
(4)
點 A 和點 B 的中點位在點 C 的右邊
(5)
數線上和點 B 距離小於
8
的所有點中，正整數有14 個，負整數有
1
個
【112 年學測數 B】
答：
(3)(4)(5)
解：
(1)
Q
+
+
+
10
2
3
20
6
必為無理數
(2)
0
10
2
3
20
6
×
×
×
可為有理數
(3)
(
)
6
−
d
(4)
10
2
3
20
6
2
3
20
6
=
×
>
+
(5)
8
3
20
<
−
x
3
44
3
4
<
<
−
x
，
Z
x ∈
14
,
,
2
,
1
,
0
,
1
⋯
−
=
x
10.
某機構在
12
點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，
此時甲、乙的細菌數量分別為 X 、Y 。已知甲的數量每
3
小時成長為原來的
2
倍，
例如
15
點時甲的數量為 X
2
。乙的數量每
2
小時成長為原來的
2
倍，
例如
14
點時乙的數量為
Y
2
、
16
點時乙的數量為
Y
4
，測量所得結果部分記錄於下表。
該機構在
18
點時測量發現甲、乙的數量相同，欲以細菌數量隨時間呈指數成長的模型
來預估甲、乙
12
點至
24
點的細菌數量。根據上述，試選出正確的選項。
(1)
Y
X >
(2)
在
13
點時，甲的數量為
X
3
4
(3)
在
15
點時，乙的數量為
Y
3
(4)
在
19
點時，乙的數量為甲的
5
.
1
倍
(5)
在
24
點時，乙的數量為甲的
2
倍
【112 年學測數 B】
答：
(1)(5)
解：
(1)
( )
( )
Y
X
Y
X
Y
X
2
8
4
2
2
2
12
18
3
12
18
=
=
×
=
×
−
−
(2)
( )
X
X
X
3
4
2
2
3
1
3
12
13
≠
×
=
×
−
(3)
( )
Y
Y
Y
3
2
2
2
3
2
12
15
≠
×
=
×
−
(4)
( )
( )
( )
( )
2
3
2
2
2
2
2
2
6
1
3
7
2
7
3
12
19
2
12
19
≠
=
×
×
=
×
×
−
−
Y
Y
X
Y
(5)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
4
6
3
12
24
2
12
24
=
×
×
=
×
×
−
−
Y
Y
X
Y
11. 坐標平面上有一圓，其圓心為
(
)
b
a
A
,
，且此圓與兩坐標軸皆相切，
另有一點
(
)
c
c
P
,
，其中
0
>
> c
a
，且已知
c
a
PA
+
=
，試選出正確的選項。
(1)
b
a =
(2)點 P 位於直線
0
=
+ y
x
上 (3)點 P 在此圓內
(4)
2
=
−
+
c
b
c
a
(5)
2
3
2 +
=
c
a
【112 年學測數 B】
答：(1)(4)
解：(2)點 P 位於直線
0
=
− y
x
上 (3)點 P 不必然在此圓內
(1)(4)(5)若圓心
(
) (
)
(
)
c
a
c
a
a
a
b
a
+
=
−
=
2
,
,
2
2
3
,
2
+
=
=
−
+
=
−
+
c
a
c
a
c
a
c
b
c
a
若圓心
(
) (
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
,
,
c
a
c
a
a
a
b
a
+
=
+
−
=
(
)
c
a
c
a
=
=
−
0
2
，不合
12.
在球心為 O 的球形地球儀上，有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個點，
其中 A 、 B 、 C 三點都在赤道上，且經度分別為東經 °
0 、
°
60 和
°
90 ；
D 、 E 兩點都在北緯
°
30 線上，且經度分別為東經 °
0 、
°
180 。試選出正確的選項。
(1)
赤道的長度等於東經 °
0 和
°
180 這兩條經線長度的總和
(2)
北緯
°
45 線的長度等於赤道長度的
2
1
(3)
「由 A 沿赤道移動到 B 的最短路徑長」等於「由 D 沿東經 °
0 經線移動到北極點的路徑
長」
(4)
「由 D 沿北緯
°
30 線移動到 E 的路徑長」等於「由 D 沿東經 °
0 經線移動到北極點，
再由北極點沿東經
°
180 經線移動到 E 的路徑長的總和」
(5)
通過北極點與 A 點的直線與通過北極點與 C 點的直線互相垂直
【112 年學測數 B】
答：
(1)(3)
解：
(2)
應為
2
1
倍
(4)
應為「由 D 沿北緯
°
30 線移動到 E 的路徑長」
’
大於「由 D 沿東經 °
0 經線移動到北極點，
再由北極點沿東經
°
180 經線移動到 E 的路徑長的總和」
(5)
(
)
0
,
0
,
r
A
、北極
(
)
r
,
0
,
0
、
(
)
0
,
,
0 r
C
向量
(
)
r
r
,
0
,
−
與
(
)
r
r
,
,
0 −
不垂直
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填
填
填
填題
題
題
題（
（
（
（占
占
占
占 25 分
分
分
分）
）
）
）
13.
有兩個正實數
a
、 b ，已知
5
2
10
=
ab
，
3
2
10
=
b
a
，則
=
b
log
。
(
化為最簡分數
)
【112 年學測數 B】
答：
3
7
解：
=
=
3
2
5
2
10
10
b
a
ab
2
10
=
a
b
=
=
2
7
2
3
10
10
b
a
=
=
3
7
3
1
10
10
b
a
，所求
3
7
10
log
3
7
=
=
14.
從
1
到
20
的
20
個整數中，取出相異的
3
個數
a
、 b 、
c
，使其成為等差數列，
且
c
b
a
<
<
，則
(
)
c
b
a
,
,
的取法有 種。
【112 年學測數 B】
答：
90
解：
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
組
合合
組
共
組
共
組
共
組
共
90
2
9
18
2
2
20
,
11
,
2
,
19
,
10
,
1
20
20
,
17
,
14
8
,
5
,
2
,
7
,
4
,
1
16
20
,
18
,
16
6
,
4
,
2
,
5
,
3
,
1
18
20
,
19
,
18
4
,
3
,
2
,
3
,
2
,
1
=
×
+
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
15.
如圖所示，平面上有一點
0
P 先朝某方向前進
2
個單位長到達點
1
P 後，
依前進方向左轉
15
度；朝新方向前進
2
個單位長到達點
2
P 後，
然後再依前進方向左轉
15
度；再朝新方向前進
2
個單位長到達
點
3
P 後，⋯依此類推。
則向量
P
2
P
3
與
P
5
P
6
的內積為 。
(
化為最簡根式
)
【112 年學測數 B】
答：
2
2
解：
P
2
P
3
⋅ P
5
P
6
(
)
(
)
°
°
⋅
°
°
=
75
sin
,
75
cos
2
30
sin
,
30
cos
2
(
)
2
2
45
cos
4
75
sin
30
sin
75
cos
30
cos
4
=
°
=
°
°
+
°
°
=
16.
正方形紙張上有一點 P ， P 點距離紙張左邊界
6
公分，距離下邊界
8
公分。今將紙張的
左下角 O 點往內摺至 P 點，如圖所示。則摺進去的三角形面積是 平方公分。
【112 年學測數 B】
答：
24
625
解：
(
)
0
,
0
O
，
(
)
8
,
6
P
， OP 之中垂線
25
4
3
:
=
+
y
x
所圍面積
24
625
4
25
3
25
2
1
=
×
×
=
17.
考慮所有只用
2
,
1
,
0
三種數字組成的序列，序列長度
n
是指該序列由
n
個數字組成
(
可重複
出現
)
。令
( )
n
a
為在所有長度
n
的序列中連續兩個零
(
即
00)
出現的次數總和。例如長度
3
的序列中含有連續兩個零的有
000
，
001
，
002
，
100
，
200
，其中
000
貢獻
2
次
00
，其餘各
貢獻
1
次
00
，故
( )
6
3 =
a
。則
( )
5
a
的值為 。
【112 年學測數 B】
答：
108
解：
5
個
0
貢獻
4
次
4
個
0
貢獻
(
)
24
2
2
2
!
2
2
2
2
3
=
×
+
×
×
+
×
×
次
3
個
0
貢獻
(
)
48
!
2
2
2
2
2
3
2
3
2
=
×
×
×
+
×
×
×
C
次
2
個
0
貢獻
32
2
2
2
4
=
×
×
×
次
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題（
（
（
（占
占
占
占 15 分
分
分
分）
）
）
）
18-20
題為題組
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿，其底座在一直線上且間距相等。
某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系，
使得電線桿皆與 y 軸平行，三根底座的點分別為
(
)
0
,
0
1
A
、
2
A 、
3
A ，
都在直線
0
3
:
=
+
y
x
L
上；三根頂端的點分別為
(
)
3
,
0
1
B
、
2
B 、
3
B ，
都在直線
0
9
3
2
:
=
+
−
y
x
M
上，如圖所示。已知
1
1
3
3
2
B
A
B
A
=
，
且由單點透視法可知直線
3
1
B
A
與直線
1
3
B
A
的交點在直線
2
2
B
A
上。
設 L 和 M 相交於 P 點
(
此點又稱為「消失點」
)
。根據上述，
試回答下列問題。
18.
若向量
PA
1
k
=
PA
3
，則 k 的值為 。
(
化為最簡分數
)
【112 年學測數 B】
答：
2
1
19.
試求 P 與
3
B 這兩點的坐標。
【112 年學測數 B】
答：
(
)
1
,
3
−
P
，
(
)
5
,
3
3
B
解：
M 線與 L 線交於
(
)
1
,
3
−
P
，故
(
)
5
,
3
3
B
20.
若有隻蜜蜂恰好停在中間那根電線桿上距離底座與頂端的長度比為
2
:
1
的位置上。
某甲想在這個畫布的線段
2
2
B
A
上畫出這隻蜜蜂，假設畫布上蜜蜂位置為
Q
點，
即點
Q
到線段
2
2
B
A
的底座
2
A 與到線段
2
2
B
A
頂端
2
B 的長度比為
2
:
1
，
試求
Q
點坐標。
【112 年學測數 B】
答：
(
)
1
,
1
Q
解：
(
)
0
,
0
1
A
、
(
)
1
,
3
3
−
A
，故
−
3
1
,
1
2
A
(
)
3
,
0
1
B
、
(
)
5
,
3
3
B
，故
3
11
,
1
2
B
(
)
1
,
1
3
3
11
1
3
1
2
,
1
=
×
+
−
×
Q
L
M
1
A
1
B
P
2
A
3
A
2
B
3
B