大學入學考試中心
108 學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：
100 分鐘
題型題數：單選題
6 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題
作答方式：用
2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿
使用修正液（帶）
。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答
案者，其後果由考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是
A，B，C，……，而答案的格式每題可能
不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一
個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。
例：若第 B 題的答案格式是
，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第
18 列的 與第 19 列的 畫記，如：
例：若第
C 題的答案格式是 ，而答案是
7
50
時，則考生必須分別在答案
卡的第
20 列的 與第 21 列的 畫記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
3
7
8
20 21
50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
18
19
1
2
8
4
5
6
7
3
9
0
20
21
1
2
3
4
5
6
8
7
9
0
1
2
3
4
5
6
7
9
0
8
19
18
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108 年學測
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數 學 考 科
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第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占
6 5 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占
3 0 分 ）
說明：第
1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記
在答案卡之「選擇（填）題答案區」
。各題答對者，得
5 分；答錯、未作答或畫記多
於一個選項者，該題以零分計算。
1. 點 A ( 1,0) 在 單 位 圓
2
2
:
1
x
y
上。試 問：
Γ 上 除 了 A 點 以 外，還 有 幾 個 點 到 直 線
:
2
L y
x
的 距 離 ， 等 於 A 點 到 L 的 距 離 ？
( 1) 1 個
( 2) 2 個
( 3) 3 個
( 4) 4 個
( 5) 0 個
2. 下 列 哪 一 個 選 項 是 方 程 式
3
2
4
4
0
x
x
x
的 解 ？ （ 註 ：
1
i
）
( 1)
2i
( 2)
i
( 3) i
( 4) 2
( 5) 4
3. 試 問 共 有 多 少 組 正 整 數
, ,
k m n 滿 足 2 4 8
512
k
m
n
？
( 1) 1 組
( 2) 2 組
( 3) 3 組
( 4) 4 組
( 5) 0 組
4. 廚 師 買 了 豬 、 雞 、 牛 三 種 肉 類 食 材 以 及 白 菜 、 豆 腐 、 香 菇 三 種 素 類 食 材 。 若 廚
師 想 用 完 這 六 種 食 材 作 三 道 菜，每 道 菜 可 以 只 用 一 種 食 材 或 用 多 種 食 材 ，但 每
種 食 材 只 能 使 用 一 次，且 每 道 菜 一 定 要 有 肉，試 問 食 材 的 分 配 共 有 幾 種 方 法 ？
( 1) 3
( 2) 6
( 3) 9
( 4) 18
( 5) 27
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2 頁
數 學 考 科
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- 2 -
5. 設 正 實 數 b 滿 足 (log100)(log ) log100 log
7
b
b
。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 1
10
b
( 2)
10
10
b
( 3)
0
0
0 1
1
1
b
( 4)
1
0 10
0
1
0
b
( 5) 1
100 10
00
b
6. 某 超 商 依 據 過 去 的 銷 售 紀 錄 ， 冬 天 平 均 氣 溫 在 6℃到 24℃時，每 日 平 均 售 出 的
咖 啡 數 量 與 當 天 的 平 均 氣 溫 之 相 關 係 數 為 0.99
， 部 分 紀 錄 如 下 表 。
某 日 平 均 氣 溫 為
8℃， 依 據 上 述 資 訊 推 測 ， 試 問 該 日 賣 出 的 咖 啡 數 量 應 接 近 下
列 哪 一 個 選 項 ？
( 1) 570 杯
( 2) 625 杯
( 3) 700 杯
( 4) 755 杯
( 5) 800 杯
二 、 多 選 題 （ 占
3 5 分 ）
說明：第
7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」
。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得
5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項
或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 設 各 項 都 是 實 數 的 等 差 數 列
1
2
3
,
,
,
a a a
之 公 差 為 正 實 數
。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 若
n
n
b
a
， 則
1
2
3
b
b
b
( 2) 若
2
n
n
c
a
， 則
1
2
3
c
c
c
( 3) 若
1
n
n
n
a
d
a
， 則
1
2
3
,
,
,
d d d
是 公 差 為
的 等 差 數 列
( 4) 若
n
n
e
n
a
， 則
1
2
3
, , ,
e e e
是 公 差 為
1
的 等 差 數 列
( 5) 若
n
f 為
1
2
,
,
,
n
a a
a 的 算 術 平 均 數 ， 則
1
2
3
,
,
,
f f
f
是 公 差 為
的 等 差 數 列
平 均 氣 溫 （
℃
）
11
13
15
17
19
21
平 均 售 出 量 （ 杯 ）
512
437
361
279
203
135
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數 學 考 科
- 3 -
8. 在 數 線 上，甲 從 點 8
開 始 做 等 速 運 動，同 時 乙 也 從 點 10 開 始 做 等 速 運 動，乙 移
動 的 速 率 是 甲 的 a 倍 ， 且
1
a
。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 若 甲 朝 負 向 移 動 而 乙 朝 正 向 移 動 ， 則 他 們 會 相 遇
( 2) 若 甲 朝 負 向 移 動 且 乙 朝 負 向 移 動 ， 則 他 們 不 會 相 遇
( 3) 若 甲 朝 正 向 移 動 而 乙 朝 負 向 移 動 ， 則 乙 先 到 達 原 點 0
( 4) 若 甲 朝 正 向 移 動 且 乙 朝 正 向 移 動 ， 則 他 們 之 間 的 距 離 會 越 來 越 大
( 5) 若 甲 朝 正 向 移 動 而 乙 朝 負 向 移 動 ， 且 他 們 在 點 2
相 遇 ， 則
2
a
9. 從 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 這 七 個 數 字 中 隨 機 任 取 兩 數 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 其 和 大 於 10 的 機 率 為
1
7
( 2) 其 和 小 於 5 的 機 率 為
1
7
( 3) 其 和 為 奇 數 的 機 率 為
4
7
( 4) 其 差 為 偶 數 的 機 率 為
5
7
( 5) 其 積 為 奇 數 的 機 率 為
2
7
10. 在 ABC
中 ， 已 知
6
0
0
5
A
B
。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) sin
sin
A
B
( 2) sin
sin
B
C
( 3) cos
cos
A
B
( 4) sin
cos
C
C
( 5) AB BC
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數 學 考 科
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11. 某 地 區 衛 生 機 構 成 功 訪 問 了 500 人，其 中 年 齡 為 50 59
歲 及 60 歲（ 含 ）以 上 者 分
別 有 220 名 及 280 名 。 這 500 名 受 訪 者 中 ， 120 名 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 ， 其 中 有 75 名
是 在 一 年 之 前 做 的 ， 有 45 名 是 在 一 年 之 內 做 的 。 已 知 受 訪 者 中 ， 60 歲（ 含 ）以
上 者 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 比 率 是 50 59
歲 者 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 比 率 的 3.5 倍。試 選
出 正 確 的 選 項 。
( 1) 受 訪 者 中 年 齡 為 60 歲 （ 含 ） 以 上 者 超 過 60%
( 2) 由 受 訪 者 中 隨 機 抽 取 兩 人，此 兩 人 的 年 齡 皆 落 在 50 59
歲 間 的 機 率 大 於 0.25
( 3) 由 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 的 受 訪 者 中 隨 機 抽 取 兩 人，其 中 一 人 在 一 年 之 內 受 檢
而 另 一 人 在 一 年 之 前 受 檢 的 機 率 為
45
75
2
120
119
( 4) 這 500 名 受 訪 者 中 ， 未 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 的 比 率 低 於 75%
( 5) 受 訪 者 中 60 歲 （ 含 ） 以 上 者 ， 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 的 人 數 超 過 90 名
12. 設
1
2
( ),
( )
f x
f x 為 實 係 數 三 次 多 項 式 ，
( )
g x 為 實 係 數 二 次 多 項 式 。 已 知
1
2
( ),
( )
f x
f x
除 以
( )
g x 的 餘 式 分 別 為
1
2
( ),
( )
r x
r x 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1)
1
( )
f x
除 以
( )
g x 的 餘 式 為
1
( )
r x
( 2)
1
2
( )
( )
f x
f x
除 以
( )
g x 的 餘 式 為
1
2
( )
( )
r x
r x
( 3)
1
2
( )
( )
x f x
f
除 以
( )
g x 的 餘 式 為
1
2
( ) ( )
x r x
r
( 4)
1
( )
f x 除 以
3 ( )
g x
的 餘 式 為
1
1
( )
3
r x
( 5)
1
2
2
1
( ) ( )
( ) ( )
f x r x
f x r x
可 被
( )
g x 整 除
13. 坐 標 空 間 中 有 一 平 面 P 過 (0,0,0) , (1,2,3) 及 ( 1,2,3)
三 點 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 向 量 (0,3,2) 與 平 面 P 垂 直
( 2) 平 面 P 與 xy 平 面 垂 直
( 3) 點 (0,4,6) 在 平 面 P 上
( 4) 平 面 P 包 含
x
軸
( 5) 點 (1,1,1) 到 平 面 P 的 距 離 是 1
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108 年學測
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數 學 考 科
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y
A
C
B
D
x
第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占
3 5 分 ）
說明：
1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14-30）
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 設 ,
x y
為 實 數 ， 且 滿 足
3
1
3
6
2
4
1
6
1
x
y
， 則
3
x
y
○
14
○
15 。
B. 如 圖 （ 此 為 示 意 圖 ）， , , ,
A B C D 是 橢 圓
2
2
2
1
16
x
y
a
的 頂 點 。 若 四 邊 形 ABCD 的 面 積
為 58 ， 則
a
○
16
○
17
○
18
。（ 化 為 最 簡 分 數 ）
C. 某 高 中 已 有 一 個 長 90 公 尺、寬 60 公 尺 的 足 球 練 習 場。若 想 要 在 足 球 練 習 場 的 外
圍 鋪 設 內 圈 總 長 度 為 400 公 尺 的 跑 道 ， 跑 道 規 格 為 左 右 兩 側 各 是 直 徑 相 同 的 半
圓 ， 而 中 間 是 上 下 各 一 條 的 直 線 跑 道 ， 直 線
跑 道 與 足 球 練 習 場 的 長 邊 平 行（ 如 示 意 圖 ）
。
則 圖 中 一 條 直 線 跑 道
AB
長 度 的 最 大 可 能
整 數 值 為
○
19
○
20
○
21 公 尺 。
D. 某 次 選 舉 中 進 行 甲 、 乙 、 丙 三 項 公 投 案 ， 每 項 公 投 案 一 張 選 票 ， 投 票 人 可 選 擇
領 或 不 領 。 投 票 結 束 後 清 點 某 投 票 所 的 選 票 ， 發 現 甲 案 有 765 人 領 票 、 乙 案 有
537 人 領 票 、 丙 案 有
648 人 領 票 ， 同 時 領 甲 、 乙 、 丙 三 案 公 投 票 的 有 224 人 ， 並
且 每 個 人 都 至 少 領 了 兩 張 公 投 票。根 據 以 上 資 訊，可 知 同 時 領 甲、乙 兩 案 但 沒
有 領 丙 案 公 投 票 者 共 有
○
22
○
23
○
24 人 。
足球練習場
直線跑道
B
左
邊
跑
道
右
邊
跑
道
A
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E.如 圖（ 此 為 示 意 圖 ）
，在 ABC
中， AD 交 BC 於 D 點， BE 交 AD 於 E 點，且
30
ACB
，
60
EDB
，
120
AEB
。 若
15
CD
，
7
ED
，
則 AB
○
25
○
26 。
F. 坐 標 空 間 中 ， 考 慮 有 一 個 頂 點 在 平 面
0
z
上 、 且 有 另 一 個 頂 點 在 平 面
6
z
上
的 正 立 方 體 。 則 滿 足 前 述 條 件 的 正 立 方 體 之 邊 長 最 小 可 能 值 為
○
27
○
28 。
（ 化 成 最 簡 根 式 ）
G. 如 圖（ 此 為 示 意 圖 ）， , , ,
A B C D 為 平 面 上 的 四 個 點 。 已 知
BC ＝
AB ＋
AD，
AC、
BD
兩 向 量 等 長 且 互 相 垂 直 ， 則 tan BAD
＝
○
29
○
30 。
A
B
D
C
E
120∘
60∘
30∘
7
15
D
A
B
C
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7 頁
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數 學 考 科
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參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首 項 為
a
， 公 差 為
d
的 等 差 數 列 前
n
項 之 和 為
2
(
1)
2
n
a
n
d
S
首 項 為
a
， 公 比 為
(
1)
r r
的 等 比 數 列 前
n
項 之 和 為
(1
)
1
n
a
r
S
r
2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ：
sin(
)
sin
cos
cos sin
A
B
A
B
A
B
cos(
)
cos cos
sin sin
A
B
A
B
A
B
tan
tan
tan(
)
1 tan
tan
A
B
A
B
A
B
3.
ABC
的 正 弦 定 理 ：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
（
R
為 ABC
外 接 圓 半 徑 ）
ABC
的 餘 弦 定 理 ：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
4. 一 維 數 據
1
2
: ,
,
,
n
X x x
x ， 算 術 平 均 數
1
2
1
1
1
(
)
n
X
n
i
i
x
x
x
x
n
n
標 準 差
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
)
n
n
X
i
X
i
X
i
i
x
x
n
n
n
5. 二 維 數 據
1
1
2
2
( , ) : ( ,
),( ,
),
,( ,
)
n
n
X Y
x y
x y
x y
， 相 關 係 數
1
,
(
)(
)
n
i
X
i
Y
i
X Y
X
Y
x
y
r
n
迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式
,
(
)
Y
Y
X Y
X
X
y
r
x
6. 參 考 數 值 ： 2 1.414
,
3
1.732
,
5
2.236
,
6
2.449
,
3.142
7. 對 數 值 ：
10
log 2
0.3010
,
10
log 3 0.4771
,
10
log 5
0.6990
,
10
log 7
0.8451
8. 角 錐 體 積 =
1
3
底 面 積
高