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北興國中一一一學年度第一學期第三次段考 數學科 三年級 班 號 姓名：
一、 選擇題(每題 3分，共 36 分)
( )1. 如右圖， AB 、CD 分別垂直圓 O的直徑 EF 於B、D兩點，
且AB ＝CD ，若僅由 OA ＝OC ，AB ＝CD ，
∠ABO＝∠CDO＝90°，可證明哪兩個三角形為全等三角形？
(A) △ABD 與△ABO (B) △AEO 與△COD
(C) △ABC 與△BCO (D) △ABO 與△CDO
( )2. 如右圖，P點在 BD 上，連接
→
AP並交 BC 於F點，連接
→
CP並交 AB 於E點，
則下列哪一些選項可以證明△BPE～
＝△BPF？
(甲) ∠BAP＝∠BCP (乙) ∠PEB＝∠PFB＝90°
(丙) PB ＝PB (丁) PE ＝PF
(A) 甲、乙、丙 (B) 甲、乙、丁
(C) 甲、丙、丁 (D) 乙、丙、丁
( )3. 家松有一塊三角形的土地，已知三內角分別為 50°、60°、70°，如果要在內部找到一點，
連接到三頂點後，所分割出來的三塊土地平分給三個兒子。試問要如何分割？
(A) 找此三角形的外心 (B) 找此三角形的內心
(C) 找此三角形的重心 (D) 找不到此點作分割
( )4. 如右圖，△ABC 中，D、E、F三點將 BC 四等分，
AN ：AC ＝1：3，M點為 AB 的中點，試問圖中
哪一點是△ABC 的重心？ ( 7 分)
(A) X (B) Y (C) Z (D) 都不是
( )5. 如右圖，I 點為△ABC 的內心，D 點在 BC 上，且 ID ⊥BC 。
若∠B＝44°，∠C＝56°，則∠AID 的度數為何？
(A) 174 (B) 176 (C) 178 (D) 180
( )6. 如右圖，O 為銳角三角形ABC 的外心，四邊形 OCDE 為正方形，
其中 E 點在△ABC 的外部。判斷下列敘述何者正確？
(A) O 是△AEB 的外心，O 是△AED 的外心
(B) O 是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心
(C) O 不是△AEB 的外心，O 是△AED 的外心
(D) O 不是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
P
A
C
D
I
B
E
OD
A
C
B
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( )7. △ABC 中，∠A＝40°，∠B＝40°，∠C＝100°。若 I 為△ABC 的內心，則下列有關
△AIB、△AIC、△BIC 之面積關係的敘述何者正確？
(A) △AIC 的面積＝△BIC 的面積
(B) △AIB 的面積＝△BIC 的面積
(C) △AIB 的面積＝△AIC 的面積
(D) △AIC 的面積＋△BIC 的面積＝△AIB 的面積
( )8. 如右圖，△ABC 中， AB ＝AC ＝17，BC ＝16，
M 是△ABC 的重心，求 AM 的長度為何？
(A) 8 (B) 10 (C) 17
2 (D) 289
30
( )9. 如右圖，△ABC 的重心為 G，BC 的中點為 D，
今以 G為圓心， GD 長為半徑畫一圓，且作 A點到圓 G
的兩切線段 AE 、AF ，其中 E、F均為切點。根據圖中
標示的角與角度，求∠1與∠2的度數和為多少？
(A) 30 (B) 35 (C) 40 (D) 45
( )10. 如右圖，G為△ABC 的重心，直線 AG 與
BC
相交於 D點，
E點在
CD
上且
GE
⊥
BC
。若
BE
＝5，
CE
＝3，
GE
＝2，
則
AG
的長度為多少？
(A)
13
(B)
29
(C) 2
3
(D) 2
5
( )11. 如右圖，銳角三角形 ABC 中，D點在
BC
上，∠B＝∠BAD＝∠CAD。
今欲在
AD
上找一點 P，使得∠APC＝∠ADB，以下是銘安、偉辰兩人的作法：
(銘安)
作
AC
的中垂線交
AD
於P點，則 P即為所求。
(偉辰)
以C為圓心，
CD
長為半徑畫弧，交
AD
於異於 D點的一點 P，
則P即為所求。
對於銘安、偉辰兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A) 銘安正確，偉辰錯誤 (B)
銘安錯誤，偉辰正確 (C) 兩人皆正確 (D) 兩人皆錯誤
( )12. 右圖的△ABC 中， AB ＞AC ＞BC ，且 D 為BC 上一點。今打算
在AB 上找一點 P，在 AC 上找一點 Q，使得△APQ 與△PDQ 全等，
以下是皓源、傅語兩人的作法：
(皓源)連接 AD ，作 AD 的中垂線分別交 AB 、AC 於P點、Q點，
則P、Q兩點即為所求。
(傅語)過 D 作與 AC 平行的直線交 AB 於 P 點，過 D 作與 AB 平行的直線交 AC
於Q點，則 P、Q 兩點即為所求。
對於兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A) 皓源正確，傅語錯誤 (B) 皓源錯誤，傅語正確 (C) 兩人皆正確 (D) 兩人皆錯誤
A
M
C
17 17
B16
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二、填充題(每格 4分，全對給分，共 40 分)
1. 直角△ABC 中，∠C＝90°，兩股長分別為 6與8，求直角△ABC 的外接圓半徑。
2. 如圖(一)，O點為△ABC 的外心，∠ABC＝64°，∠ACB＝46°，求∠BOC 的度數。
3. 如圖(二)，G點為△ABC 的重心，過 G點作 BC 的平行線 DE ，若 AB ＝15，
則AD ＝ 10 。
4. 如圖(三)，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝8，BC ＝6。若 I點是∠CAB、∠CBA
角平分線的交點，則 IE ＝ 2 。
圖(一) 圖(二) 圖(三)
5. 已知鈍角三角形的三邊長分別為 15、15、24，則其內切圓半徑為 4 。
6. 如圖(四)，已知△ABC 為正三角形且邊長為 2，I點為△ABC 的內心，過 I點做三邊的鉛垂
線，垂足分別為 D、E、F，則 ID ＋IE ＋IF ＝ 3 。
7. 如圖(五)，在平行四邊形 ABCD 中，兩對角線 AC 、BD 交於 O點，M點是 BC 的中點， AM 與
BD 交於 P 點。若 BP ＝5，求 BD 的長度。
8. 承上題，若△ABP 的面積為 10，求平行四邊形 ABCD 的面積。
9. 如圖(六)，△ABC 與△DBF 中，∠B＝90°，BC ＝CF ＝3，AD ＝DB ＝2，則四邊形 DBCE
的面積為 4 。
圖(四) 圖(五) 圖(六)
10. D 為△ABC 之BC 上的一點，若 P 為△ABD 之重心，Q 為△ACD 之重心，R 為PQ 與AD
的交點，求 BC :PQ = 。
B
C
D
A
M
P
O
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三、非選擇題 (每題 6分，共 24 分)
1. 若a、b為兩個連續奇數，且 a＜b，證明 ab＋1為4的倍數。
2. 已知 O點為△ABC 的外心，若∠A：∠B：∠C＝4：5：11，則∠AOB＝ 162 度。
3. 已知 a、b為兩正數，若 a2＞b2，試證 a＞b。
4. 如右圖，四邊形 ABCD 中，E 點在 AD 上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，
且BC ＝CE 。請完整說明為何△ABC 與△DEC 全等的理由？
A
B C
D
E
12
345
7
6