Facilitating peer interactions in learning mathematics：Teacher’s practical knowledge
促進在數學學習中的同儕互動：教師的實際知識
Olive Chapman
Chapman,O(2004). Facilitating peer interactions in learning mathematics：Teacher’s practical knowledge. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,2,191-198
這篇文章就與學習數學中同儕互動(peer interaction)[PI]相關的教師實際知識(practical knowledge)[PK]提出報告。焦點是在他們教學中一向致力學生同儕互動的高中教師。資料是由訪談和教室觀察所得到的。研究結果指出這些教師對學生在同儕互動和學習活動中所扮演的角色的有實際了解以及教師的態度支持同儕互動，而這可以創造一個有意義的教室文化來促進在學習數學中的同儕互動。他們的教室經驗和數學及學習概念在實際知識[PK]中扮演了一個重要的角色。他們的實際知識[PK]使得我們對能夠有效的促進同儕互動[PI]的教學策略有深入的了解。實際知識[PK]是教師sense making的基礎，且在教師培育中扮演一個重要角色。
在數學教育上有些革新的建議，而這些建議在數學教學和學習上給同儕互動一個有意義的角色。例如，全國數學教師協會(NCTM)標準主張：
無論是在大團體還是小團體裡活動，他們(學生)應該在彼此的評論中當個聽眾─也就是，他們應該互相對話，為的是去說服或詢問同儕。(NCTM 1991,p.45)
然而，無論同儕互動如何在教室裡被實施將可能是取決於教師。因此，這篇文章的研究把焦點放在透過教師來了解同儕互動。尤其，在教師如何獲得同儕互動的觀念和何時且如何將它在他們的教學中結合方面，它研究教師在數學學習中對同儕互動的實際認識。
相關文獻和理論觀點
針對數學教師所做的研究測驗了他們的知識內容、看法、觀念、教室經營、學習、專業發展和變遷。(e.g.,Chapman,1997; Fennema & Nelson,1997; Lampert & Ball,1998; Leder et al.,2003;Schifter,1998; Thompson, 1992)這些研究提供我們深刻的理解，例如：看法/觀念和教學間的關係、教師知識內容的不足、以及教師培育和教師變遷的質疑。尤其，在數學教師的研究中建議到對教師想法和行為的了解在改進數學教學上是重要的。Boaler(2003)認為研究員為了瞭解教與學的關係需要去研究教室經營。數學的所有課程怎樣被詮釋和被教，教師是那個決定的因素。因此，從教師身上學到在教室裡他們做了什麼以及他們是怎麼知道該做什麼的。在這份報告中，焦點是放在教師在數學教學和數學學習中對同儕互動的看法(洞察力)。
這些研究文獻提供了很多在群組或合作學習的理論。(e.g., Davidson, 1990; Slavin, 1995)但是卻很少注意到教師在這上面的觀點。Davidson提供很多能用在數學教學和學習上群組合作例子和『實用的策略』。什麼觀念是教師思考那些將會幫助或阻礙他們在教學中整合這類方法的基礎，這不是很清楚。研究他們的實際認識是一個可以使之更清楚的方式。
理論上，這研究是以學習的社會或互動觀點和教師思考的實際知識觀點為架構，而這兩者在這裡都有簡單的描述。一個教學和學習上互動的觀點被幾個包括Bauersfeld(1979)；Dewey杜威, (1916)；Lave & Wenger(1991)；Vygotsky維高斯基(1978)等人拿來討論。Lave 和Wenger在參與方面提出假設。Dewey杜威強調透過有效的個人經驗學習，以及學習是一個社會過程。在他的觀點中，社會環境中有意義的活動是個真正學習的關鍵。Vygotsky維高斯基主張個人發展和學習受到在社會環境中和其他人交流的影響。在他的觀點裡，在合作社會環境中與同儕的互動帶來學習者足夠機會去觀察、模仿，接著發展更高的智力作用。Bauersfeld(1979)解釋數學的特性：
教學和學習數學是透過人類的互動來實現的。它是一種彼此的影響，一種教師和學生行為在很多水平上的互相依賴。…學生在意義上的重建是一種透過關於用意是什麼和哪個重要表現獲得教師(同儕)的贊許的社會協商而建構的。(p.25)
於是，這個理論的觀點促進在社會環境中學習發生的地位，強調人類互動是促進學習的一個關鍵因素。在這點上，就合作群體來說，這關於教室的觀念被組織化。隨著三個關鍵目的，能促進這樣的群組：更廣泛地將教室談話分類，鼓勵學生說話，分享他們的想法，使他們變得更積極參與；具體說明社會過程來幫助學生合作學習；發展他們社會和合作技巧的方法。然而，就像任何一個工具一樣，無論這些目的被教師如何說明和應用，從互動的觀點來看可能無法超出有幫助的程度。在這份研究中，同儕互動被認為是教室情境，在那裡學生可以透過彼此交談來學習數學。這包括小組或全班，但是不包括教師居中協調討論的情形。例如：教師要求學生去對另一個學生的回答做出反應或學生開始針對這個議題向教師提出響應，而此時教師扮演學生之間橋樑的角色。
這篇研究中理論觀點結構的第二方向是實際知識(practical knowledge(PK))的結構。PK被用在教師研究上，用來描述指導教師實際活動的知識(Johnston,1992)。鑒於科學或形式上的知識是深奧且屬於命題的，PK是屬於經驗的、程序的、依情況的、排他的以及絕對的。(Carter,1990, Fenstermacher,1994)它符合教師職務。它提供教師在實施有目的的活動時，所面臨的教室情況和實際問題的知識(Carter,1990)。經驗是PK很重要的一個來源。
PK在這個研究中是以Sternberg和Caruso(1985)理論為基礎。在他們的觀點中，PK是程序的資訊，對每個人的生活(就教師而言，包含教學)是有幫助的。在每天的生活中，它被用在互動的三種主要形式中─適應、發展和選擇。例如：教師使用PK去適應教室情境，或在教室中發展情境，或當選擇機會是可以被利用時，製造選擇機會。PK被貯存成情境或藉由可以具體呈現『情境活動結果』的情境來傳達，換言之，如果我使用了A情況，那麼B活動將會發生。就教學而言，這類的說明描述了那些能引起某一活動或學生的表現狀態的做法或情境。例如：我知道如果我用分組的方式，學生並不會增進他們在數學上的成就。而PK在本質上卻是可能的。例如：如果我使用分組的方式，它可能不會有差異。Sternberg和Caruso做了解釋，『唯有憑藉著理解者和理解者環境的關係，知識才會變成實際的。』這意味著，教師的PK是和他的個人背景或教室情境有關的。所以，這個研究的目的是去確認關於同儕互動的情境和活動是教師去了解這些過程對他們而言是如何產生意義很常見的例子。
研究過程
這份研究的資料是以大量教師在以教學問題所設計的現象研究法中所表達的意見為基礎(Creswell,1998)，焦點放在參與者的意義，他們的價值是什麼、以及他們如何理解他們的經驗。參與者是22位來自於當地學校的國小、國中和高中數學教師。主要的挑選教師標準是自願參加。然而，這十位高中教師中，大部分都考慮在他們學校體系裡當示範教師。有些還曾獲得教學獎盃。所有的參與者都能用簡單的問題和數學來清楚地表達且分享他們的想法和經驗。
這研究的主要資料來源是開放式訪談和教室觀察。訪談的問題是被設計在現象的情境中，允許教師去分享他們思考的方法以及去依照過去的經驗描述他們的反應(即實際事件的故事)。訪談的焦點放在他們的想法/經驗以三個情境文字問題：(i)過去的經驗，包含學生和教師，集中在教師和學生預期特性、任務特徵、教室過程和情境環境。(ii)目前的實施狀況，特別強調教室過程、計畫和目的。(iii)未來的實行，即期待。問題往往是以開放情境的形式所組成，例如，講述難忘的情況、曾喜歡和不喜歡的………。因為這些問題的開放性，他們的回答超出了他們一般數學教學的問題。對每位教師的教室觀察為期兩星期，焦點集中在教師在整個課堂上實際教學行為，包含/相關文字題。特別注意教師和學生在教學中做了些什麼以及他們的行為如何互動。觀察後與每位教師的訪談主要是在澄清他(她)的想法與他(她)行為間的相關。
本研究的分析是從訪談內容錄音後將內容以開放式coding(Strauss & Corbin,1998)著手的。這coding是由研究者和兩位研究助理個別去鑑別能作為這些教師在教文字題所使用觀點的特色的教學特性和行為。重點放在可以表現判斷力、目的、期望的有意義陳述和行為，以及教師認為他們在不同情境的幾個時機中所出現教學的價值標準。這coding經過三角矯正(包含記錄和教室觀錄音帶副本)來增加或確認情況。這是採用三個coder和修正者相比之下的發現。這些針對每每個參與者所編譯的資訊被分類成幾個可以表達他們思想和教學的顯著特徵的主題。同儕互動式一個顯現出來的主題。為了詳細說明這個主題，研究者和兩位助理根據資料來獲得能表現這個主題的所有狀況的細節，以及確認能構成關於同儕互動的教師PK(實際知識)的環境和活動。然而，證明的方法包括三角矯正，利用這種來源的資料透過研究小組檢核，依據不確定的證據排除最初的假設/主題。
同儕互動的實際知識
報告中所提的這些發現只集中在那些一貫提供機會讓學生致力於同儕互動的教師。這些是被認定為數學教學上模範的八位高中教師。在他們的PK領域裡他們比起其他教師更為有深度。他們的PK(實際知識)受到他們當教師的經驗所影響著，例如，他們能認清即使在一樣的情境下，在他們的交談中，教師和學生呈多樣化的。例如：
用同樣的方法我看不到東西孩子卻可以看到東西；用同樣的方法我沒辦法解題，孩子卻可以。…如果你正在解釋某個東西，他們只能坐著並看著黑板，然後你可能會說他們並沒有獲得任何東西。…所以，你問在教室裡其他的人，他們可能會精確的說出你曾說的同樣事情…然後孩子將會去做，這就對了，我了解，而你在那裡，就像，但是我只說這樣。…不知怎麼的，他們知道如何去相互講述，而且很多時候他們可以用我們沒想過的不同方法去表達事物。
他們的PK(實際知識)也被他們自己本身的同儕互動經驗所影響。例如：
我需要說出來，且當我說出來的時候，經常一些最好的想法會跑出來。但是，寫下來時，並不總是會如此，所以我認為同儕互動可以做到這些。
四個主題的環境和活動描繪了教師在同儕互動中實際知識的特徵：支持社會觀點的概念(環境)；學生為了同儕互動而有的行為/來自於同儕互動的結果(活動)；支持同儕互動的學習活動(環境)；教師的行為(活動)支持同儕互動。這些特徵將以教師們引述裡的例子個別討論。
支持社會觀點的概念：教師PK(實際知識)包括支持數學教育社會觀點的數學和學習觀點以及在他們教學中呈現同儕互動的需要。例如：
─數學本是一個問題解決活動，而問題解決是社會活動。
─數學對我來說是分享經驗。
─我相信數學是一種語言，而且能明確地表達它在學習過程中是一個非常重要的部分。
─學習來自於透過交談、透過討論。
─當學習者瞭解且能用他們自己的話解釋這些概念…且充分地知道去如何教其他人、和其他人討論它時，便產生數學學習。
學生為了同儕互動而有的行為/來自於同儕互動的結果(活動)：教師的PK(實際知識)指出透過同儕互動，當他們從事/完成下列七個行為/結果時，學生彼此學習數學。
比較經驗：允許學生對於學習去學習。例如：
─從你的同伴獲得資訊，能幫助你瞭解到有人感受到和你一樣的困難或擁有你可以分享的看法。
分享意見：允許學生合作並擴展他們的想法。例如：
─它們為這個環境帶來某些他們可能不曾考慮到的東西。
─有時候，有個學生剛好不懂，然後其他的學生將會充分的找出跟它相關的事物，他們可以一起找出公式化的結論。反之，單獨的話，他們將會被困住。
─僅僅藉著分享彼此的看法，就能有助於使彼此的想法更完善。
明確的表達數學：這包含學生用話語口頭地表達數學或用有意義的方式描述和解釋它(例如：概念)。例如：
─他們必須用淺險的英文解釋大概的意思。
─他們講數學語言…他們使用這語言且互相更了解，然後他們可以和教師一塊去做。
─藉著使學生去解釋，他們把它用話來表示或把它放入情境中，這比起我來做更有意義。
提出問題：這包含學生『互相詢問問題』和認可
─同組的其他人詢問他們並且和他們討論，不管他們在小組討論裡所說的是不是令人信服，也不管是不是會使他們down the garden path。
變得積極並得到信心：例如：
─他們互相刺激，彼此幫助建立自信。
─他們互相提供支持和…互相刺激使工作能夠完成。
增加自主：這包含學生不依賴教師的想法。例如：
─他們將不會為了解答而總是注意教師，他們將會互相注意，…而且他們彼此更會互相影響，能更利用彼此來增加他們自己學習。
檢驗瞭解：例如：
─只有透過同儕互動，你才能充分檢驗你的想法、你的觀念，使自己的數學觀念獲得公式化，而這可以幫你確定你真的了解它。
─藉由說出『那麼，你怎麼得到的？』我的答案看起來不像那樣。他們將會和旁邊的同儕開始討論、比較他們的作業、比較答案、比較步驟，然後他們會促進互相學習和了解。
支持同儕互動的學習活動：教師的PK(實際知識)指出，使學生致力於下列的五個學習活動/經驗，他們將有機會忙於同儕互動。如同一位教師所提到的，重點是鼓勵學生一起研究和解決數學問題。
問題解決過程的詢問：教師允許學生小組一同學習問題解決。例如，有些教師提出問題讓學生他們自己解決。更重要地，他們被要求去分析他們的過程：他們做了什麼？為什麼使用這樣的方法？它有什麼功用？他們如何理解這問題和答案的？這是隨著小組分享和全班討論而來的。這些過程在幾個問題中被重複呈現出來，進而建立問題解決的模式。有一位教師讓學生群組合作解決問題，但是每組中有一位學生扮演觀察者的角色，只觀察在解決問題時出現的過程。每個學生輪流做觀察者。全班分享和比較每輪他們做觀察者時得到的發現。這樣的過程最後會導出問題解決模式的發展。
新概念的詢問：在引進新概念的時候，教師使用各種不同的方式進行同儕互動。最常見的方式是允許學生在教師尚未提供任何說明或指導他們針對主題進行討論前，於小組中進行情況的探究。情況可能只包括『尋找模式和關係』，以理解概念或試著解決問題、去了解步驟。例如：在介紹系統方程式時，一位教師藉由在黑板上畫圖引出一個大車和小車重量的情境，並要求學生小組討論找出車子的重量。她沒有給其他的指導。在學生分享和比較他們的方法之後，她結合了這些方法而引出形式方法。另一位教師指定每組一個不同的方法去解出系統方程式，並且要求他們去分析以解答的例子、了解這個方法。每組再教其他組他們所探究的方法，並試著去說服彼此他們的方法是最好的。
全班呈現：教師鼓勵學生在全班呈現時互動。常見的方式是學生們不只提出和證明他們的解答而已，還要：
他們必須促進其他人立刻認可你使用的方法，它是如何作用的？你如何做的？以及哪一個方法你最喜歡？為什麼？
當在介紹系統方程式時，有一位教師要求學生收集真實生活情境相交圖的圖片，輪流帶領討論關於
這個圖表示什麼、這個圖的重要性、當圖相交時，它代表什麼意思、交點表示什麼、為什麼交點很重要、為什麼無論誰首先都想要找到交點。
練習解題：無論學生個別地或合作地練習解題，他們都可以有機會和同儕討論他們的作業。
研究/方案：學生們設計且實施小組方案，包括技術的使用、美術的使用以及戶外活動，例如找出高物體的高度。
支持同儕互動的教師行為：教師的PK(實際知識)指出，下面所提教師的四個行為將促進或支持能增進學習的同儕互動。
傾聽和觀察：這提供教師決定何時或如何介入以提供回饋。例如：
─我巡視且傾聽在小組裡所進行的談論，他們如何處理訊息、他們如何發展他們將要使用的策略，試著從他們了解的地方獲得線索。
詢問和提示：這意味著教師利用問題來擴展概念發展或檢驗理解或當學生被困住時給予提示。例如：
─如果他們被困住了，我會問他們關於這個的問題。…我會試著提出一個能夠讓他們繼續的問題，但是在任何時候我都將不會給他們答案。
─我的角色是去問問題，而不是去給答案。…藉由你如何問問題，他們可以更接近答案，而這是他們只想要你告訴他們的。
支持學生想法：例如：
─我確定我會告訴他們，我不在乎他們怎麼解出來的，但是他們必須清楚的說出他們是怎麼做的。
─讓他們知道他們有工具、數學工具，然後給他們自由使用任何他們想用的東西來解這些問題。
─我總是告訴學生我不只是一個專家，當你們從我這學習的時候，我也從你們身上學習。
詢問模式：這包含教師在全班授課時，讓學生能有回應所使用的詢問方法。例如：我注意到當他們在群組合作節解決問題時，他們問他們自己同樣的問題。
促進良好的同儕關係：就像一位老師所說，『如果你能促進良好同儕關係，那麼你可以有一些真的健全的對話。』一些能促進良好同儕關係的方式是透過問題分享、制定計劃、自發性分組和同儕觀察：
─當你們整組在做同樣的問題時，你們只能問我一個問題。
─我讓他們每小組坐在一起。他們不會有被隔開座位或桌子的時候。…我不需要強迫整組，因為我認為當你去解決數學衝突的時候，這只會製造社會衝突。
一位教師使用的唯一方式就是當小組在解決真的數學問題時，讓每個學生輪流觀察他/她的小組行為。
─他們觀察真正的群組互動是怎麼發生的，所以他們能變成一個良好的合作學習小組，彼此互相支持和工作。
結論
這份調查結果指出，PK(實際知識)是教師在教學中，教師製造使用同儕互動(PI)感覺的基礎。這些教師有PI(同儕互動)的PK(實際知識)可以促進有意義的教室文化來支援數學學習。他們的經驗提供證據顯示這樣的教學方式是一個可行且有意義的高中數學教學方法。這份調查結果同時也建議，教師的教室經驗和數學和教學概念在描述他們的PK(實際知識)中，扮演一個重要的角色。這對教師培育是有含意的。因為，個人實際的PI(同儕互動)經驗可能是教師發展有意義的PK(實際知識)所必須的。剖析教師的PK(實際知識)就像這些參與者能為獲得這樣的經驗開啟一扇門。他們的PK(實際知識)提供事情是怎樣或會變怎樣，這些方法的例子。再者，以前所有的教師，包含退休教師，有一些PK(實際知識)被當作製造PI(同儕互動)感覺的基礎，而提供教師與他們PK(實際知識)相衝突且當他們的PK(實際知識)無法明確地處理時，對他們來說是不確定的PI(同儕互動)理論。這份研究的調查結果提供一個對照的架構，讓其他教師可以檢視他們的PK(實際知識)進而了解它，無論是透過對所提建議產生的反彈還是共鳴。最後，PK(實際知識)這個概念能被用來研究數學教學的其他觀點。