活動名稱

生活中的概數

適 用年級

五年級

教學節數

1節

設計者

台北縣(市)樹林國小陳錦雄老師

教學學校

樹林國小

教學班級

五年五班

教學者

王文君

教學日期

教學節次

教學重點

2006. 11 .01

第一節

學生能了解在不同情境中使用不同取概數方法。

教學準備

活動一：單元揭示卡

活動二：數字卡

活動三：學習單

教材地位

第六冊:

【第三課】

1. 公尺、公里的認識及其相關係

2卷尺的用法

3長度的實測與估計

第八冊:

【本課】

1. 概數的認識及取法

第九冊:

【第九課】

1.整數的概算(加、減、乘、除)

2.概數的取法(以上、以下、未滿、超過)

數學本質概念

(一)整數概數的意義

概數就是大約的數也就是說大概準確的數字。

概數可以有少量的差異，具有可靠性與參考的價值。在日常生活中，對於無法用精確數字加以確切描述的數貨量，一般都會用模糊的範圍加以預估，例如「大約」、「大概」、「左右」、「差不多」、「小於」、「超過」、「幾十幾」等的描述，都與概述概數有關。舉例來說，『現在的時間差不多12點』、『6年1班學生平均身高150公分左右』、『1台冰箱的售價大約2萬元』，這些都是日常生活中常使用且方便的概數用語。

而概數是否恰當，則依賴問題的情境。例如：我們可以說台灣人口約兩千萬人，但是如果我們關心的是今年台灣人口增加多少時，那麼將去年與今年的人口都說成兩千萬人就是不恰當的。

我們常在生活中，利用概數的觀念來計算出某量大概的大小，例如：『我們教室大概有多長？』藉由近似「步長值×步數值」便可大概算出教室有多長。在購物時，我們也可將打算買的每項物品大概價錢加起來，以控制自己的消費額度。

在很多情況下人們會取概數，例如：當一個量的數值因為經常變動，而無法確定時，會取概數來描述或掌握（例如：常使用「千」或「萬」為計數單位，來描述某一個縣市的人口數，而不使用「壹」或「拾」為計數單位來描述）；又如為了計算或溝通方便，在不要求精確數值的情況下，也會使用概數（例如：在計算圓面積時，常選擇3或3.14來代表圓周率，或選擇公里為計數單位來描述高速公路的全長）。

在選取概數時，常會依據當時所遭遇的情境，選擇不同的被計數單位或取概數的方法，例如：當擬好購物清單外出購物前，常會視貨品的價值選擇較大的被計數單位（例如：百或千等），使用「無條件進入法」來估計貨品的價格，並多準備一些現金外出購物，假設預估大約要花八千六百多元購物時，常會選擇以千（或萬）為被計數單位，採「無條件進入法」的方式取概數，準備九千元（一萬元）外出購物。又如當某電梯實際載重量是872公斤時，常選擇以百公斤（或50公斤）為被計數單位，採「無條件捨去法」的方式取概數，並在電梯間內標示限重800公斤（或850公斤）。當使用最小刻度是公分的尺量物長時，常選擇「四捨五入法」取概數的方法，描述物長是多少公分。

(二)使用概數的原因

在我們日常生活的經驗中，會常常使用概數的觀念及運用概數來描述數量，理由是大部分的人懟非0的數字、越少的數會較易思考、比較及記憶，有非常多的情境是毋需亦無法了解精確值，例如：人口數、國民所得、河流的長度等，人們會以大數單位或歸成某一被計數單位的數量。當我們取概數時，會依情境的需要來決定所取的概數要準確到何種程度，通常有下列三種情況下會使用概數：

1.當正確的數量不是那麼重要，我們只需大概知道數量的大小就可以時，為了溝

通方便，我們會用概數來表達。

例如︰我們說中山高速公路大約400公里，而非較精確的373公里(事實上，373公里也是概數值，只是比400公里更為精確而已)，那是因為400只有一個非0的數字，所以比373讓人印象深刻，也比較較容易記住。 

2.當某數量在某一段時間內不斷有微幅變化時，我們會使用概數來表示該數量。此概數通常用該數量不易浮動的較高位數來表示，而較低位數則用0來表示。例如：某年澎湖縣九月底人口數是91,965人，但我們可能用9萬人來表示澎湖縣該年的人口數，主要是因為該年可能不斷有人移入、移出、出生與死亡，不會固定在91,965人。當你敘述完此91965人時，可能數字又已經不正確了。 

3.記錄測量結果時，常會因工具上的誤差及人為測量上的誤差，而無法得到「真值」，我們通常會取概數至我們感興趣或所能容許誤差的最低階單位。

例如：若將一段紅色綵帶的測量結果記為7.3公分，意謂記錄時是取概數至最低階的0.1公分，所以7.3公分中的十分位值(0.3公分)只是近似值而已，若我們感興趣的最低階單位是1公分，則可能取概數至7公分。

概數的取法並沒有一定的規定，雖然在一些特殊的情境中，人們對概數的使用已經出現一些約定俗成的取法(如臺灣的人口約為「二千二百萬」)，但就學理而言，當沒有指定概數的取法時，沒有哪一種取法是對的，也沒有哪一種取法是錯的。

(三)概數的取法

取概數的用意在「找一個接近的數」，記得這個目的，取出來的概數也一定接近原本的數字。

廣告說：「斯斯有三種」，概數的取法也有三種，也就是無條件進入法，無條件捨去法，四捨五入法。

會

以大數單位或歸成某一被計數單位的數量。當我們取概數時，會依情境的需要來決定所取的概數要準確到何種程度，通常有下列三種情況下會使用概數：

1.當正確的數量不是那麼重要，我們只需大概知道數量的大小就可以時，為了溝

通方便，我們會用概數來表達。

例如︰我們說中山高速公路大約400公里，而非較精確的373公里(事實上，373公里也是概數值，只是比400公里更為精確而已)，那是因為400只有一個非0的數字，所以比373讓人印象深刻，也比較較容易記住。 

2.當某數量在某一段時間內不斷有微幅變化時，我們會使用概數來表示該數量。此概數通常用該數量不易浮動的較高位數來表示，而較低位數則用0來表示。例如：某年澎湖縣九月底人口數是91,965人，但我們可能用9萬人來表示澎湖縣該年的人口數，主要是因為該年可能不斷有人移入、移出、出生與死亡，不會固定在91,965人。當你敘述完此91965人時，可能數字又已經不正確了。 

3.記錄測量結果時，常會因工具上的誤差及人為測量上的誤差，而無法得到「真值」，我們通常會取概數至我們感興趣或所能容許誤差的最低階單位。

例如：若將一段紅色綵帶的測量結果記為7.3公分，意謂記錄時是取概數至最低階的0.1公分，所以7.3公分中的十分位值(0.3公分)只是近似值而已，若我們感興趣的最低階單位是1公分，則可能取概數至7公分。

概數的取法並沒有一定的規定，雖然在一些特殊的情境中，人們對概數的使用已經出現一些約定俗成的取法(如臺灣的人口約為「二千二百萬」)，但就學理而言，當沒有指定概數的取法時，沒有哪一種取法是對的，也沒有哪一種取法是錯的。

(三)概數的取法

取概數的用意在「找一個接近的數」，記得這個目的，取出來的概數也一定接近原本的數字。

廣告說：「斯斯有三種」，概數的取法也有三種，也就是無條件進入法，無條件捨去法，四捨五入法。

是大部分的人對非0的數字、越少的數會較易思考、比較及記憶，有非常多的情境是毋需亦無法了解精確值，例如：人口數、國民所得、河流的長度等，人們會以大數單位或歸成某一被計數單位的數量。當我們取概數時，會依情境的需要來決定所取的概數要準確到何種程度，通常有下列三種情況下會使用概數：

1.當正確的數量不是那麼重要，我們只需大概知道數量的大小就可以時，為了溝

通方便，我們會用概數來表達。

例如︰我們說中山高速公路大約400公里，而非較精確的373公里(事實上，373公里也是概數值，只是比400公里更為精確而已)，那是因為400只有一個非0的數字，所以比373讓人印象深刻，也比較較容易記住。 

2.當某數量在某一段時間內不斷有微幅變化時，我們會使用概數來表示該數量。此概數通常用該數量不易浮動的較高位數來表示，而較低位數則用0來表示。例如：某年澎湖縣九月底人口數是91,965人，但我們可能用9萬人來表示澎湖縣該年的人口數，主要是因為該年可能不斷有人移入、移出、出生與死亡，不會固定在91,965人。當你敘述完此91965人時，可能數字又已經不正確了。 

3.記錄測量結果時，常會因工具上的誤差及人為測量上的誤差，而無法得到「真值」，我們通常會取概數至我們感興趣或所能容許誤差的最低階單位。

例如：若將一段紅色綵帶的測量結果記為7.3公分，意謂記錄時是取概數至最低階的0.1公分，所以7.3公分中的十分位值(0.3公分)只是近似值而已，若我們感興趣的最低階單位是1公分，則可能取概數至7公分。

概數的取法並沒有一定的規定，雖然在一些特殊的情境中，人們對概數的使用已經出現一些約定俗成的取法(如臺灣的人口約為「二千二百萬」)，但就學理而言，當沒有指定概數的取法時，沒有哪一種取法是對的，也沒有哪一種取法是錯的。

(三)概數的取法

取概數的用意在「找一個接近的數」，記得這個目的，取出來的概數也一定接近原本的數字。

廣告說：「斯斯有三種」，概數的取法也有三種，也就是無條件進入法，無條件捨去法，四捨五入法。

以大數單位或歸成某一被計數單位的數量。當我們取概數時，會依情境的需要來決定所取的概數要準確到何種程度，通常有下列三種情況下會使用概數：

1.當正確的數量不是那麼重要，我們只需大概知道數量的大小就可以時，為了溝通方便，我們會用概數來表達。

例如︰我們說中山高速公路大約400公里，而非較精確的373公里(事實上，373公里也是概數值，只是比400公里更為精確而已)，那是因為400只有一個非0的數字，所以比373讓人印象深刻，也比較較容易記住。 

2.當某數量在某一段時間內不斷有微幅變化時，我們會使用概數來表示該數量。此概數通 常用該數量不易浮動的較高位數來表示，而較低位數則用0來表示。例如：某年澎湖縣九月底人口數是91,965人，但我們可能用9萬人來表示澎湖縣該年的人 口數，主要是因為該年可能不斷有人移入、移出、出生與死亡，不會固定在91,965人。當你敘述完此91965人時，可能數字又已經不正確了。 

3.記錄測量結果時，常會因工具上的誤差及人為測量上的誤差，而無法得到「真值」，我們通常會取概數至我們感興趣或所能容許誤差的最低階單位。

例如：若將一段紅色綵帶的測量結果記為7.3公分，意謂記錄時是取概數至最低階的0.1公分，所以7.3公分中的十分位值(0.3公分)只是近似值而已，若我們感興趣的最低階單位是1公分，則可能取概數至7公分。

概數的取法並沒有一定的規定，雖然在一些特殊的情境中，人們對概數的使用已經出現一些約定俗成的取法(如臺灣的人口約為「二千二百萬」)，但就學理而言，當沒有指定概數的取法時，沒有哪一種取法是對的，也沒有哪一種取法是錯的。

(三)概數的取法

取概數的用意在「找一個接近的數」，記得這個目的，取出來的概數也一定接近原本的數字。

廣告說：「斯斯有三種」，概數的取法也有三種，也就是無條件進入法，無條件捨去法，四捨五入法。

1.無條件進入法

看看要取概數到哪一位（也就是「指定位數」），然後看看右邊的數字，如果大於或等於1，就把指定位數加1，指定位數右邊的所有數字都改為零。

例：以無條件進入法取17140的概數到百位
指定位數（百位）是1，右邊的數字比1大，所以把指定位數加1，得到概數17200。

2.無條件捨去法

看看指定位數，讓指定位數和指定位數左邊的所有數字都維持不變，把指定位數右邊的所有數字都改為零。

例：以無條件捨去法取17140的概數到百位。
指定位數（百位）是1，維持不變，把指定位數右邊的所有數字都改為零，得到概數17100。

以四捨五入法取概數，可能會進入、也可能會捨去，如何判斷要進入還是捨去呢？

3.四捨五入法

如果指定位數右邊的數字大於或等於5，就必須進入，把指定位數加1，並把指定位數右邊的所有數字都改為零。

如果指定位數右邊的數字小於5，就必須捨去，讓指定位數維持不變，並把指定位數右邊的所有數字都改為零。

例：以四捨五入法取17140的概數到百位。
指定位數（百位）是1，右邊的數字是4，4比5小，必須捨去，所以得到概數17100。如果原來的數是17160，指定位數右邊的數字是6，6大於5，必須進入，所以得到概數17200。

數學概念發展

一、低年級課程：

進行概數活動，介紹概數的意義，並經驗兩位數的估算活動，分別以「最多用幾個拾﹖最少用幾個拾﹖」、「五十幾的意義」、「兩位數估算活動」等三個部分。

(1)「最多用幾個拾﹖最少用幾個拾﹖」：

使用單位量轉換的觀點，來處理概數的啟蒙問題，一個兩位數，本來已用「壹」為單位，進行了精確的數值化活動，而在概數活動中，要以「拾」為單位，來重新描述，採用「拾」為單位，要容忍少量的差異，使用接近的、以「拾」為單位的方式，做大概的描述。在概數的引入時，我們先利用錢幣的特性（有壹元與拾元的硬幣）與日常生活經驗，來掌握此兩位數最多包含幾個拾，以及最少幾個拾能包含該兩位數的性質，再藉由錢幣時的活動經驗來進行數的活動，討論在用「拾」和「壹」合成一個兩位數時，最多使用幾個「拾」，以及討論要最少將幾個「拾」合起來，才會比該兩位數大。

例如「存錢筒裏有46元」，我們宜先問「可以有幾個拾元﹖」，而不宜立即詢問「最多有幾個拾元﹖」，因為此時學童尚不能假設性地討論「最多」的語意，當在「可以有幾個拾元﹖」的問題下，獲得1個、2個、3個、4個等答案時，才能透過比較，知道最多能有4個。

因此學習的方式是：

a.學生提出多個答案

b.逐個檢查答案的合理性

c.在合理的答案中，選擇最多的個數。

同樣地，「哥哥要買一本63元的故事書」情境下，先問「哥哥要帶幾個拾元的硬幣才夠﹖」，並限制哥哥只能帶拾元的硬幣，當然此時的合理答案有無窮多個，而教師宜注重「可不可少帶一些﹖」的問話，依照同樣的原則，在比較合理的答案中，7個拾元是最少的。

(2)「五十幾的意義」：

採用「五十幾」的表示法，實際上是一個變數的概念，51、52、53、……、59都是它的特例，所以在初次引入時，必須先協助學童列出所有的特例，才能幫助他們掌握「五十幾」這一變數的意義，除了列出所有特例外，我們還要討論所有例子的共同特性，透過「最多有幾個拾﹖」、「最少有幾個拾﹖」的活動經驗，討論這些特例都比50大，他們也都比60小，而做出「五十幾比五十大；五十幾比六十小」的結論。

由於變數是較難掌握的概念，所以我們建議；必須將所有的特例都列出來，學童才能理解五十幾的意義，在討論變數的性質特，也必須對各個特例皆進行討論，他們才能接受「五十幾比五十大」或「五十幾比六十小」的結論。

(3)「兩位數估算活動」：

估算活動，是先將要運算的兩個數進行概數化，再將兩個概數，進行精算，並依此結果，估計兩數精算結果的範圍。

由於目前尚在經驗階段，我們亦放棄概數化的過程，直接提供兩個概數，要求學童估計答案可能是什麼，而用概數的方式表示（例如五十幾），此種設計，可以避免學童使用先對兩個數進行精算，再將結果概數化的策略，錯誤地理解估算的用途，待學童面臨較大數值的運算問題後，我們將再討論概數化過程，屆時再讓學童自行進行整個的估算活動。

例如「六十幾拿走二十幾可以是幾十幾﹖」為例子，我們尋求四十幾、四十、及三十幾等答案，在討論這些答案是否合理時，學童只須舉出一個實例，例如「63－21＝42」，即可接受他的「四十幾」答案是合理的，我們亦可請其他學童舉出其他的例子，來支持「四十幾」答案的合理性，在討論中增加學童對此活動的掌握，在討論完三種合理的答案後，教師亦可做一歸納。

* 兒童的學習迷思

依据日常用法，我們決定在討論五十幾時，不包含五十，如果學童舉出五十為五十幾的特例時，我們可以討論在「五十」中，並沒有幾的部分，所以不是五十幾。此種定義的方式，在於方便討論「五十幾都比五十大」的特性。

二、中年級課程

(1) 「幾百多的概數意義」

利用學童對錢幣使用的經驗，進行「皮包裡有436元，皮包裡最多有幾張一百元的鈔票？」的討論活動，再進行「一架遙控汽車要685元，最少要帶幾張一百元鈔票去才夠？」的討論問題，在這兩個活動中，都強調「百」的單位量，並由討論中，加強「最多」、「最少」的語意。

在討論「五百多」的語意時，依然強調透過舉例的方式，來理解「五百多」的描述，並且對舉出來的特例，做共同特性的討論。在列舉特例時，因為共有99個特例，不可能同時收集，教師宜先收集10個特例，對這些特例做共同特性的討論，強調每個特例都最多有5個100，而6個以上100就超過這些特例。在討論完10個特例後，再要求學童舉出一些特例，檢查這些特例是否符合前面所討論的共同特性。

與兩位數的概數相同，依據日常用法，在討論「五百多」時，不包含五百。當學童能理解「幾百多」的語意後，即可進行「幾百多」與定數的比較活動，來檢查與加強學童對「幾百多」描述的理解，在比較時，我們仍常用概數上、下界的定數為比較對象。例如「700和七百多，誰比較大？」或「800和七百多，誰比較小？」在討論概數時，不強調其區間的意義，它只是一些特例的通稱，教師不宜使用區間的語言。

三、高年級課程

在很多情況下人們會取概數，例如：當一個量的數值因為經常變動，而無法確定時，會取概數來描述或掌握。

例如：常使用「千」或「萬」為計數單位，來描述某一個縣市的人口數，而不使用「壹」或「拾」為計數單位來描述。又如為了計算或溝通方便，在不要求精確數值的情況下，也會使用概數（例如：在計算圓面積時，常選擇3或3.14來代表圓周率，或選擇公里為計數單位來描述高速公路的全長）。

在選取概數時，常會依據當時所遭遇的情境，選擇不同的被計數單位或取概數的方法。

例如：當擬好購物清單外出購物前，常會視貨品的價值選擇較大的被計數單位（例如：百或千等），使用「無條件進入法」來估計貨品的價格，並多準備一些現金外出購物，假設預估大約要花八千六百多元購物時，常會選擇以千（或萬）為被計數單位，採「無條件進入法」的方式取概數，準備九千元（一萬元）外出購物。

當某電梯實際載重量是872公斤時，常選擇以百公斤（或50公斤）為被計數單位，採「無條件捨去法」的方式取概數，並在電梯間內標示限重800公斤（或850公斤）。

當使用最小刻度是公分的尺量物長時，常選擇「四捨五入法」取概數的方法，描述物長是多少公分，如筷子的長度為23公分，會以約20公分來表示。

先幫助學童發現某些量是會變動的，並提供以高階單位重新測量取概數的情境，溝通以無條件捨去法或無條件進入法取概數的意義，並認識概數的意義。

人們選擇四捨五入的方式取概數，應該是受到測量的影響，當測量值無法恰好為測量單位的整數倍情境中，使用四捨五入的方式描述測量的結果，是比較接近的方式。例如有兩條緞帶（紅色緞帶長約13.9公分，藍色緞帶長約13.2公分）及一把最小刻度是公分的直尺，要求學童用概數記錄這兩條緞帶的長各是多少公分？學童可能使用無條件捨去法描述兩條緞帶的長都是13公分，或使用無條件進入法描述兩條緞帶的長都是14公分，學童也可能因為紅色緞帶比較靠近14公分，所以將紅色緞帶的長記成14公分，而藍色緞帶比較靠近13公分，所以將藍色緞帶的長記成13公分

換句話說，使用判斷測量單位下一位的數字是大於等於五或小於等於四的方式，來決定進入或捨去，只是解題的技巧，判斷測量值靠哪一個數值（以測量單位為被計數單位）比較近，才是四捨五入法取概數真正的意義。況且只有當別人已經使用較小的測量單位描述，而要求改用較大的測量單位重新描述時，四捨五入的口訣才可能發生效用。

最後要求學童應用上述描述測量結果的經驗，以「萬」為計數單位，來重新描述某縣（市）的人口數，教師宜注意：774197以「萬」為單位採「四捨五入法」取概數的值是77萬，主要是因為774197距離77萬比較近，而距離78萬比較遠。教師不應主動要求學童使用判斷萬位下一位數字是大於等於五或小於等於四（四捨五入）的方式，來決定進入或捨去，若有學童提出這種解題策略，教師宜淡化處理，若全班沒有同學提出此種策略也沒有關係，因為完全不會影響學童解題的品質。

雖然學童已有「量的包含除」經驗，在數系統中進行此活動時，仍宜藉用合成的情境，在「用拾和壹合起來湊成85」的情境下，先詢問「可以用幾個拾﹖」，同樣地，在比較合理的答案中，決定最多可以用幾個拾﹖相對地，在「要用幾個拾合起來才能比72大﹖」的問題下，進行討論與比較合理的答案，以形成最少要用8個拾，合起來才能比72大的共識。

(2)「五十幾的意義」：

採用「五十幾」的表示法，實際上是一個變數的概念，51、52、53、……、59都是它的特例，所以在初次引入時，必須先協助學童列出所有的特例，才能幫助他們掌握「五十幾」這一變數的意義，除了列出所有特例外，我們還要討論所有例子的共同特性，透過「最多有幾個拾﹖」、「最少有幾個拾﹖」的活動經驗，討論這些特例都比50大，他們也都比60小，而做出「五十幾比五十大；五十幾比六十小」的結論。

由於變數是較難掌握的概念，所以我們建議；必須將所有的特例都列出來，學童才能理解五十幾的意義，在討論變數的性質特，也必須對各個特例皆進行討論，他們才能接受「五十幾比五十大」或「五十幾比六十小」的結論。

(3)「兩位數估算活動」：

估算活動，是先將要運算的兩個數進行概數化，再將兩個概數，進行精算，並依此結果，估計兩數精算結果的範圍。

由於目前尚在經驗階段，我們亦放棄概數化的過程，直接提供兩個概數，要求學童估計答案可能是什麼，而用概數的方式表示（例如五十幾），此種設計，可以避免學童使用先對兩個數進行精算，再將結果概數化的策略，錯誤地理解估算的用途，待學童面臨較大數值的運算問題後，我們將再討論概數化過程，屆時再讓學童自行進行整個的估算活動。

二、中年級課程

(1) 「幾百多的概數意義」

利用學童對錢幣使用的經驗，進行「皮包裡有436元，皮包裡最多有幾張一百元的鈔票？」的討論活動，再進行「一架遙控汽車要685元，最少要帶幾張一百元鈔票去才夠？」的討論問題，在這兩個活動中，都強調「百」的單位量，並由討論中，加強「最多」、「最少」的語意。

在討論「五百多」的語意時，依然強調透過舉例的方式，來理解「五百多」的描述，並且對舉出來的特例，做共同特性的討論。在列舉特例時，因為共有99個特例，不可能同時收集，教師宜先收集10個特例，對這些特例做共同特性的討論，強調每個特例都最多有5個100，而6個以上100就超過這些特例。在討論完10個特例後，再要求學童舉出一些特例，檢查這些特例是否符合前面所討論的共同特性。

與兩位數的概數相同，依據日常用法，在討論「五百多」時，不包含五百。當學童能理解「幾百多」的語意後，即可進行「幾百多」與定數的比較活動，來檢查與加強學童對「幾百多」描述的理解，在比較時，我們仍常用概數上、下界的定數為比較對象。例如「700和七百多，誰比較大？」或「800和七百多，誰比較小？」在討論概數時，不強調其區間的意義，它只是一些特例的通稱，教師不宜使用區間的語言。

三、高年級課程

在很多情況下人們會取概數，例如：當一個量的數值因為經常變動，而無法確定時，會取概數來描述或掌握。

例如：常使用「千」或「萬」為計數單位，來描述某一個縣市的人口數，而不使用「壹」或「拾」為計數單位來描述。又如為了計算或溝通方便，在不要求精確數值的情況下，也會使用概數（例如：在計算圓面積時，常選擇3或3.14來代表圓周率，或選擇公里為計數單位來描述高速公路的全長）。

先幫助學童發現某些量是會變動的，並提供以高階單位重新測量取概數的情境，溝通以無條件捨去法或無條件進入法取概數的意義，並認識概數的意義。

人們選擇四捨五入的方式取概數，應該是受到測量的影響，當測量值無法恰好為測量單位的整數倍情境中，使用四捨五入的方式描述測量的結果，是比較接近的方式。例如有兩條緞帶（紅色緞帶長約13.9公分，藍色緞帶長約13.2公分）及一把最小刻度是公分的直尺，要求學童用概數記錄這兩條緞帶的長各是多少公分？學童可能使用無條件捨去法描述兩條緞帶的長都是13公分，或使用無條件進入法描述兩條緞帶的長都是14公分，學童也可能因為紅色緞帶比較靠近14公分，所以將紅色緞帶的長記成14公分，而藍色緞帶比較靠近13公分，所以將藍色緞帶的長記成13公分

換句話說，使用判斷測量單位下一位的數字是大於等於五或小於等於四的方式，來決定進入或捨去，只是解題的技巧，判斷測量值靠哪一個數值（以測量單位為被計數單位）比較近，才是四捨五入法取概數真正的意義。況且只有當別人已經使用較小的測量單位描述，而要求改用較大的測量單位重新描述時，四捨五入的口訣才可能發生效用。

最後要求學童應用上述描述測量結果的經驗，以「萬」為計數單位，來重新描述某縣（市）的人口數，教師宜注意：774197以「萬」為單位採「四捨五入法」取概數的值是77萬，主要是因為774197距離77萬比較近，而距離78萬比較遠。教師不應主動要求學童使用判斷萬位下一位數字是大於等於五或小於等於四（四捨五入）的方式，來決定進入或捨去，若有學童提出這種解題策略，教師宜淡化處理，若全班沒有同學提出此種策略也沒有關係，因為完全不會影響學童解題的品質。

迷思概念

依据日常用法，我們決定在討論五十幾時，不包含五十，如果學童舉出五十為五十幾的特例時，我們可以討論在「五十」中，並沒有幾的部分，所以不是五十幾。此種定義的方式，在於方便討論「五十幾都比五十大」的特性。

處理特色

1. 本教學活動一開始著重引起學生的先備知識。

2. 以情境融入題目中，使學生能將數學應用在生活中。學生可以了解到不同情境中，認知到不同情況試用的概數法則。

3. 使用學習單中讓小朋友可以作觀念澄清。

4. 概數學習活動中，著重教師提問學生回答。

能力指標

具體目標

N-2-4能用四捨五入、進位、捨去等方式，

對一個數量取概數，並利用概數作

簡單的估算。

1-1能由生活的情境中認識概數的意義。

1-2能知道在生活中使用概數的情境。

2-1能認識無條件進入法。

2-2能從生活情境中，知道使用無條件進入法及其合理性。

3-1能認識無條件捨去法。

3-2能從生活情境中，知道使用無條件捨去法及其合理性。

4-1能認識四捨五入法。

4-2能從生活情境中，知道使用四捨五入法及其合理性。

教學活動流程

具體

目標

活動主題

及進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

1. 準備活動

(一)教師方面:

單元揭示條、數字卡、海報

(二)學生方面:

課前預習課文及習作

1-1能由生活的情境中認識概數的意義。

1-2能知道在生活中使用概數的情境。

2. 發展活動

(一)引起動機

活動一：我最愛買

喚起舊回憶

教師揭示黑板的情境圖，讓兒童看圖說出自己的看法。

教師佈題

↓

個人思考

↓

全班分享

關係洞察

教師問話：

1. 情境引導：

引導兒童從生活情境中，買東西的經

驗。『有沒有去買過娃娃？』

(先讓學生自由發表)

2. 『請大家想一想：如果買黑板上的綿羊2隻、魚2隻、豬1隻，要多少錢呢？』

(先讓學生自由發表)

3.『如果只能帶百元鈔票至少要幾張才夠呢？誰要說說看？並告訴大家你是怎麼知道的？』(讓學生自由發表，並藉由上述問題洞察出概數在生活上的使用情形)

概念再製及應用

教師再問：『那如果少帶一些鈔票呢，可不可以呢？』(讓學生討論)

教師講解：綜合講解佈題的情境內容以喚起舊回憶。

情境圖

數字卡

能算出共多少錢。

能說出至少要幾張百元的鈔票及其理由，並能聆聽別人的發表。

能說出不能的理由。

2-1能認識無條件進入法。

2-2能從生活情境中，知道使用無條件進入法及其合理性。

4-1能認識四捨五入法

4-2能從生活情境中，知道使用四捨五入法及其合理性。

3-1能認識無條件捨去法。

3-2能從生活情境中，知道使用無條件捨去法及其合理性。

活動二：

揭示單元名稱：

大約是多少

一、無條件進入法

教師佈題

↓

個人思考

↓

教師講解

↓

個人思考

↓

上台書寫

二、四捨五入法

教師佈題

↓

個人思考

↓

教師講解

↓

個人思考

三、無條件進入法

教師提問：『感冒藥，斯斯有三種！是哪三種？』

教師講解：概數也是有三種的意義。

教師提問：

『學校的圖書館有沒有去過？』

『有很多的書對不對？』

關係洞察

教師佈題：

『如果圖書館的書有科學類、童話類、小說類、傳記類，如果以無條件進入法到百位大概有幾本呢？』

個人思考：(讓學生先想一想)

正誤區辨

教師講解：講解無條件進入法取概數

的應用。

●此時問及若取到百位是以百位的那個為準還是百位的下一下為準作為判斷準則。

概念應用

教師問話：『那麼，像剛剛買娃娃是不是帶鈔票數也是無條件進入呢？』

教師講解：四捨五入的意義。

教師提問：『老師的身高是164公分是比較接近160公分還是170公分呢？』

教師提問：

『怎樣取大約的身高會比較接近實際的身高？』

關係洞察

教師提問：

『咦，為什麼不說：比較接近165公分呢？』

活動三：誰最厲害？

1. 老師出示數字卡895761及456321，問同學黑板上所看的數值相加後大約為多少？(同學能回答出大約多少即可)

2. 教師再問：接著問相減後，大約是多少？

(同學能回答出大約多少即可)

3. 教師再問：接著問答案為什麼是這樣？ (此時老師請同學上台演示並說明做

法)

教師板書

圖卡

情境圖

透過線段圖樣

(板書)

能大約描述有多少書。

能了解題意察覺四捨五入的估算是比較接近原來的數。

能說出自己的想法及理由。

上台書寫答案

三、無條件捨去法

教師佈題

↓

個人思考

↓

教師講解

↓

個人思考

↓

上台書寫

三、綜合活動及評量

概念再製

教師講解：利用數線在板書上說明指導學生判斷「比較接近」160還是170。(讓學生洞察出四捨五入法的意義。)

教師提問：

『那坐最後面有一個小朋友的家長那他身高168公分，是比較接近160還是170呢？』(讓小朋友更清楚去思考)

關係洞察

教師佈題：(同無條件進入法的題目)

『如果圖書館的書有科學類、童話類、小說類、傳記類，如果以無條件捨去法到百位大概有幾本呢？』

(過程中以一問一答方式，所以取到百位以百為百位那下一位是要捨去所以是‧‧？)

個人思考：(讓學生先想一想)

正誤區辨

教師講解：講解無條件捨去法取概數

的應用。

請學生上台書寫

老師歸納：

1.取概數時，要算到哪一位，並沒有

一定的規定，要依問題的情境來決定

2.概數的取法有三種：

a.無條件捨去法

b.四捨五入法

c.無條件進位法

評量：

教師再問：『請大家看一下學習單小組討論？』(讓學生小組討論)

教師再問：(此時老師請同學上台演示並說明做法接著問答案為什麼是這樣？)

教師板書

圖卡

情境圖

學習單

能了解無條件捨去法的取法

討論時是否參與合作

能寫活動單上的活動

小組討論後發表並說出為什麼這樣做

概 數學習單

座號：

姓名：

1.

例題：

①車票價是74x火車票可能是幾元？

小真說：火車票是740元

小柏説：火車票是741元

小 華說：火車票可能是740、741、742、743、744、745、746、747、748、749

誰說的對？

1.小真2.小柏3.小華

②若小真口袋裡有六百多元，足夠買火車票嗎？1.夠 2.不夠

為什麼________

則小真最多有多少元？1. 699元 2. 700元

最少有多少元？1. 599元 2.601元

2.

樹 林國小5年5班準備舉辦校外教學活動，參加本次活動的男生有17人，女生有17人，熱心的家長贊助車子，1輛休旅車最多可載10個學生，最少需要幾輛車才能將所有人載完？

班長：說我覺得應該需要3輛車子。

因為17+17=34人

四捨五入法取概數到十位

所以34 30 = 3個 10

3輛車。

副班長：說我覺得應該需要4輛車子。

因為17+17=34人

無條件進入法取概數到十位

所以34 40 = 4個 10

4輛車。

請問是誰說的對？

1.班長2.副班長

你的理由是？

活動名稱

生活中的概數

教學

年級

五年級

教學

節次

1 節

設計者

王文君 曾儀君

試教者

王文君

紀錄者

王文君 曾儀君

試教地點

台北 縣市 樹林 國小

試教日期

民國91年 11 月 1 日

數 學 概 念

引發學生熱烈參與之問話或活動

成功之因素

1.可愛道具的展示。

可愛的道具配合，可吸引小朋友的目光及注意力。

2.有沒有去買過東西，買過娃娃？

教學活動能與小朋友的生活作連結。

3.斯斯有三種，概數也有三種…

廣告和小朋友的生活連結，小朋友會對老師講話內容產生興趣。

4.答對題目，發糖果。

小朋友會積極的回答老師問題。

5.分組討論活動。

由於是限時討論，會激起小朋友的競爭意識，討論活動會更熱烈。

未能如預期引起反應之問話或活動

無法達成之因素

擬改善之對策

1.舉排隊的例子時，小朋友沒有多大的反應。

內容不夠有趣

可以舉更貼近小朋友有興趣的例子。

2.教學活動偏向教師講解。

學生的話不多且教學內容有點偏介紹概數，不夠吸引小朋友的注意。

可以使用小組競爭模式，來達到讓學生熱絡回答問題的效果。

教 學 技 巧

成 功 因 素

失 敗 因 素

擬改善之對策

1. 使用增強物

1.小朋友分組分不好，有的組只有一個人，無法達到討論的效果。

小朋友可以一回頭就是一組，這樣分組既能節省時間又能達到班級秩序的維護。

2.配合圖形舉例，及數線圖會更清楚所表達的意思。

2.分組討論一組只有一個小朋友上台，無法了解小朋友是不是全都了解教學內容。

可以使用小白板，讓小朋友在上面作答。

3.舉的例子要貼近小朋友的語言。

3.學習單的題目有點過多。

學習單的題目內容應將考慮時間考慮在內。

4.教師詢問與回答的主要目的在促進活動，產生良性的互動關係，使全體學生愉快的學習。

4.教學活動不夠生動有趣。

可以試著將一些遊戲帶入教學中。