1
教育部 105 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
物理科決賽
實驗試題參考解
[實驗原理]
1. 找釣魚線密度部分：
採用在線上形成駐波的方法，將釣魚線一端固定在頻率為 f 的音叉一臂上，
另一端線繞過定滑輪而掛上物體使線上有一張力 T，如圖所示；一面敲擊音
叉讓釣魚線振動，一面調整 AB 間的長度 l，當釣魚線呈現駐波時，l 為半波
長的整數倍，即
)
1
(
,
3
,
2
,
1
2
式
，
n
n
l
波在線上的傳播速率 v 與線上張力 T 及線的線密度ρ之間的關係為
)
2
(
式
T
v
由波速 v、波長λ、頻率 f 三者的關係 v=fλ，可將式(2)整理得出
)
3
(
1
式
T
f
將式(1)代入，即得
)
4
(
2
式
T
l
n
f
所以只要由呈現駐波時所見半波長的數量 n 及頻率 f、長度 l、張力 T，即可
找出釣魚線的待測線密度ρ。
2. 求α值部分：
採用氣柱共鳴的方法，用頻率 f 的振動音叉置於量筒管口使筒內的空氣柱共
振時，內部聲波的波長正比於 ( L +α× D )，其中 L 為量筒內空氣柱長度，
α為待測常數，D 為量筒內側直徑，即知
為常數
，k
D
L
k
f
v
)
5
(
式
為常數
，
k
D
kf
v
L
故只要調整量筒中的水量使桶內空氣柱達到共振，測量出各種不同內徑 D 的
量筒所對應的空氣柱長度 L，以 L
、
D 數據算出其直線關係式 L=a+bD，就可
得到
b
。
3. 求聲波的傳播速率部分：
2
找釣魚線之線密度部分，只能求得聲波在釣魚線上的傳播速率；欲求聲波之
傳播速率只能從求α值部分著手。量筒中空氣柱共振時，筒內空氣柱長度 L、
量筒內側直徑 D 與波長λ之關係為
)
6
(
4
1
2
式
n
D
L
本實驗中 n=0，再將 L、α與 D 的值代入上式算出波長λ，然後利用波速 v、
波長λ、頻率 f 三者的關係 v=fλ計算，以此法算出之 v 值即為題目所求之聲
波的傳播速率。
[實驗步驟與相關裝置圖]
(求釣魚線的線密度部分)
1. 利用泡棉膠帶及膠帶將滑輪固定於桌旁成為定滑輪。
2. 將含音箱之音叉放在桌上使音叉臂與定滑輪高度大致相等，並在音箱中置入
水瓶藉此使音叉能穩定不翻落。
3. 如實驗原理圖示，將釣魚線一端固定音叉一臂上，另一端線繞過定滑輪後綁
上螺帽，使掛上的螺帽重等於線上的張力 T，且使桌面上的釣魚線呈水平方
向。
4. 調整音叉位置以改變桌面上音叉臂至定滑輪間的釣魚線長，並敲擊音叉，觀
察線振動至釣魚線呈現駐波之狀況，記錄呈現駐波時之所見 AB 間的長度 l
及半波長的數量 n。
5. 改變音叉位置重覆步驟 4 以得到更多之 n
、
l 數據。
6. 將所掛螺帽質量配合重力加速度 g 算出線上張力 T。
7. 利用式(4)與測得之 n、l、音叉頻率 f 及算出之 T，即可求出待測釣魚線的線
密度ρ。
(求α值部分)
8. 利用游標尺測量各量筒之內側直徑 D，並將音叉自音箱上取下。
9. 如圖，取一量筒置入適量的水，敲擊音叉後將其移至量筒上方，仔細聆聽量
筒處是否有共鳴聲。
10. 調整水量至產生最大共鳴聲時，測量此時量筒內空氣柱長度 L。
11. 另取量筒重覆步驟 9 及步驟 10，以得到更多之 D 與 L 的數據。
3
12. 利用測得之 D 與 L 的數據計算出此二變量之直線關係式，即可由此求出α
值。
(求聲波的傳播速率部分)
13. 將求α值部分所得之量筒內空氣柱長度 L 與聆聽共鳴聲狀況判斷找出 n 值，
代入式(6)即可算出波長λ。
14. 利用音叉頻率 f、波長λ與 v=fλ算出聲波的傳播速率 v。
[數據記錄]
1. 求釣魚線的線密度部分
釣魚線的線上張力 T=螺帽質量×重力加速度 g=36.78(g)×9.8(m/s
2
)
音叉頻率 f=440(Hz)
半波長
數量 n
6
5
4
3
2
AB 間長度
l(cm)
58.00
48.50
39.50
29.60
19.60
2. 求α值部分
量筒內徑
D(mm)
60.06
50.02
37.00
33.00
26.60
最大共鳴
聲時空氣
柱長 L(cm)
17.10
17.60
18.30
18.40
18.80
3. 求聲波的傳播速率部分
共鳴時空
氣柱長
L(cm)
17.10
17.60
18.30
18.40
18.80
比 L 更短的距離都沒有能聽到共鳴聲的位置
音叉頻率 f=440(Hz)
4
[數據分析與作圖]
1. 求釣魚線的線密度部分
T=36.78g×9.8m/s
2
=0.03678kg×9.8 m/s
2
=0.3604N
f=440Hz
n
6
5
4
3
2
l(m)
0.5800
0.4850
0.3950
0.2960
0.1960
斜率=0.0957m
ρ=T/(2f×斜率)
2
=0.00005082 kg/m
2. 求α值部分
D(m)
0.06006
0.05002
0.03700
0.03300
0.02660
L(m)
0.1710
0.1760
0.1830
0.1840
0.1880
以 D 為橫軸 L 為縱軸作圖
配合
為常數
，k
D
kf
v
L
及所得直線關係式可得
5024
.
0
)
5024
.
0
(
l
= 0.0957n + 0.0076
R² = 0.9996
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0
1
2
3
4
5
6
7
l(
m
)
n
L = -0.5024D + 0.2012
R² = 0.997
0.1700
0.1720
0.1740
0.1760
0.1780
0.1800
0.1820
0.1840
0.1860
0.1880
0.1900
0.00000
0.01000
0.02000
0.03000
0.04000
0.05000
0.06000
0.07000
L
(m
)
D(m)
5
3. 求聲波的傳播速率部分
由實驗結果判斷 n=0
配合
4
1
2n
D
L
，
分別將 n、L、
、D 數據代入，算出波長λ
D
L
(m)
0.2012
0.2011
0.2016
0.2006
0.2014
波長λ(m)
0.8047
0.8045
0.8064
0.8023
0.8055
平均波長λ=0.8047 m
(標準差=0.001501 m)
f=440Hz，代入 v=fλ算出聲波的傳播速率為 v = 354.1 m/s
4. 整理出實驗所得結果為：釣魚線的線密度ρ= 5.082
× 𝟏𝟎
−𝟓
kg/m，
𝜶= 0.5024，
聲波的傳播速率 v = 354.1 m/s。
[結果與討論]
1. 滑輪須確實固定於桌面上，避免釣魚線振動時滑輪晃動，造成實驗誤差。
2. 安裝器材及整個實驗過程都必須隨時注意是否保持桌面上 AB 間的釣魚線呈
水平方向。
3. 觀察釣魚線是否呈現駐波時，宜在線的後方置上色紙以輔助觀察。
4. 敲擊音叉後聆聽量筒處是否有共鳴聲時，小心別將敲擊聲錯判成是音叉振動
所發出的聲音。
5. 將音叉敲擊後才移至量筒開口處聆聽，較容易判定是否產生共鳴。
6. 當初現共鳴聲時，微調量筒內水量於附近多做些不同空氣柱長度之聆聽，較
容易比較共鳴聲大小來找出最大共鳴聲位置，量得欲求之空氣柱長度 L。