育達系列 1 創新研發
112 學年度四技二專統一入學測驗
數學(C) 試題詳解
1.
(A)
2.
(A)
3.
(B)
4.
(C)
5.
(B)
6.
(D)
7.
(A)
8.
(A)
9.
(A)
10.
(C)
11.
(C)
12.
(D)
13.
(B)
14.
(C)
15.
(D)
16.
(A)
17.
(D)
18.
(B)
19.
(A)
20.
(B)
21.
(B)
22.
(C)
23.
(D)
24.
(D)
25.
(B)
1.
4x
2
－2x－5＝0 二根積αβ＝
4
5
－
2.
(A)
3
3
x
＝x(對)；(B)
2
x
4
＋
＝2＋x
平方
4＋x
2
≠4＋4x＋x
2
(錯)；
(C)
2
x
＝|x|(錯)；(D)
3
3
x
8
－
＝2－x
三次方
8－x
3
≠8－12x＋6x
2
－x
3
(錯)
3.
tanA＝
5
2
4.
BC 中點為
E
E(1 , 0)
AB 中點為
D
D(
2
2
x
＋
,
2
y
)＝(
2
x
＋1 ,
2
y
)
AC 中點為
F
F(
2
x
,
2
y
)
DE
＝(－
2
x
, －
2
y
)，
DF
＝(－1 , 0)
DE
‧
DF
＝0
2
x
＋0＝0
x＝0 A(0 , y)
選(C)
5.
x＋3y≧6
x
6
0
y
0
2
2x＋y≦－4
x
－2
0
y
0
－4
第二象限
6.
cosθ＝
5
3
2
7
5
3
2
2
2
－
＋
＝－
2
1
θ＝120°
高＝5×
2
3
＝
2
5
3
育達系列 2 創新研發
7. C＝AB＝
0
0
1
0
1
1
－
1
1
0
1
1
0
＝
1
0
1
1
－
C
2
＝
1
0
1
1
－
1
0
1
1
－
＝
1
0
2
1
－
＝
22
21
12
11
d
d
d
d
d
12
＝－2
8.
3
4
2
z
y
x
＝
3
4
2
)]
3
sin
i
3
(cos
2
[
)]
6
sin
i
6
(cos
2
[
)]
4
sin
i
4
(cos
2
[
π
＋
π
π
＋
π
π
＋
π
＝
))
3
3
3
sin(
i
)
3
3
3
(cos(
2
))]
6
6
6
6
sin(
i
)
6
6
6
6
(cos(
2
))][
4
4
sin(
i
)
4
4
(cos(
2
[
3
4
2
π
＋
π
＋
π
＋
π
＋
π
＋
π
π
＋
π
＋
π
＋
π
＋
π
＋
π
＋
π
＋
π
π
＋
π
＋
π
＋
π
＝
)
sin
i
(cos
8
)]
3
2
sin
i
3
2
(cos
16
)][
2
sin
i
2
(cos
2
[
π
π＋
π
π＋
π
＋
π
＝4[cos(
2
π
＋
3
2
π－π)＋i sin(
2
π
＋
3
2
π－π)]
＝2
2
(cos
6
π
＋i sin
6
π
)
9.
AB
＝(1 , 2 , 3)
AC
＝(2 , 3 , 1)
AB
×
AC
＝(－7 , 5 , －1)
則取 E
1
的法向量
1
n
＝(7 , －5 , 1)
又 E
2
的法向量
2
n
＝(1 , k , －2)
1
n
⊥
2
n
1
n
‧
2
n
＝0
7－5k－2＝0 k＝1
10. 將 x＝1，y＝1，z＝－1 代入方程組
)
3
(
6
b
a
c
)
2
(
4
a
c
b
)
1
(
2
c
b
a
＝
－
＋
＝－
－
＋
＝－
－
＋
(1)＋(2)＋(3)：a＋b＋c＝0……(4)
2
)
1
(
)
4
(
－
：c＝1，
2
)
2
(
)
4
(
－
：a＝2，
2
)
3
(
)
4
(
－
：b＝－3
ac＝2
11. 取
2
6
2
＋
－
＝2，x≦－2 或 x≧6
2
－
x－2≦－4 or x－2≧4
|x－2|≧4
3
|3x－6|≧12
|－3x＋6|≧12 與|Ax＋6|≧B 相同
12
B
3
A
＝
＝－
2A＋B＝6
育達系列 3 創新研發
12. 只有三根，表 b＋2i 與－1＋ai 為共軛複數
2
a
1
b
＝－
＝－
三根為－2，－1＋2i，－1－2i
x＝－1±2i
x＋1＝±2i
平方
x
2
＋2x＋1＝－4
x
2
＋2x＋5＝0 ∴f(x)＝(x＋2)(x
2
＋2x＋5)
f(x)＝x
3
＋4x
2
＋9x＋10
13. 2018 年～2023 年
5 年，若每年年利率 r 50(1＋r)
5
＝60
14.
250
2000
＝8 小時
8－0.5－6.5＝1 小時
兔子只剩 1 小時可追
又 s(t)＝
dt
)
t
(
v
＝
dt
)
1262
t
52
t
27
(
2
＋
＋
＝9t
3
＋26t
2
＋1262t＋c 又 s(0)＝c＝600
s(t)＝9t
3
＋26t
2
＋1262t＋600
s(1)＝9＋26＋1262＋600＝1897
2000－1897＝103
15. 原式＝
n
lim
5
n
2
n
3
n
8
n
5
n
2
n
3
n
8
n
2
2
2
2
2
2
＋
＋
＋
－
＋
＋
＋
－
－
＋
＝
n
lim
5
n
2
n
3
n
8
n
8
n
6
2
2
＋
＋
＋
－
＋
－
n
除
上下
n
lim
2
2
n
5
n
2
1
n
3
n
8
1
n
8
6
＋
＋
＋
－
＋
－
＝
1
1
6
＋
＝3
16. 設圓方程式 x
2
＋y
2
＋dx＋ey＋f＝0
A(1 , 2)代入 1＋4＋d＋2e＋f＝0……(1)
B(2 , －3)代入 4＋9＋2d－3e＋f＝0……(2)
C(2 , 7)代入 4＋49＋2d＋7e＋f＝0……(3)
(3)－(2)：40＋10e＝0
e＝－4
代入(1)
5＋d－8＋f＝0 d＝－28
(2)
13＋2d＋12＋f＝0 f＝31
x
2
＋y
2
－28x－4y＋31＝0 D(a , －10)代入 a
2
＋100－28a＋40＋31＝0
a
2
－28a＋171＝0
(a－19)(a－9)＝0 a＝19 或 9
17. 小明：30000＋x‧3000＝80000
3000x＝50000 x≒16.67
小亮：30000×(1＋
100
3
)
y
＝80000
1.03
y
＝
3
8
log
取
log1.03
y
＝log
3
8
y×log1.03＝log2
3
－log3
0.0128y＝0.903－0.4771＝0.4259
y＝
0128
.
0
4259
.
0
≒33.27
x－y≒16.67－33.27≒－17
育達系列 4 創新研發
18.
OC ＝
2
2
)
3
5
(
3
＋
＝ 84 ＝2 21
19. log
10
E＝11.8＋1.5M
E＝10
11.8
＋
1.5M
＝10
11.8
×(10
1.5
)
M
，
若 y＝a
x
，a＞1
圖形為
且真數 E 必大於 0
20. 主菜紅肉，湯白肉：5×2×2×4＝80
主菜白肉，湯紅肉：5×2×2×4＝80
80＋80＝160
21. 依橢圓定義 PA ＋ PB ＝8＝2a a＝4
又 2c＝4
c＝2，a
2
＝b
2
＋c
2
16＝b
2
＋4
b＝2 3
而牛距離
AB
最遠為 b＝2 3
22.
又
BD ＝
5， CD ＝5 3
AD
＝
2
2
)
3
5
(
)
3
10
(
＋
＝ 375 ＝5 15
23. f
'(x)＝
x
2
1
－1 過(1 , 0)的切線 m＝f
'(1)＝
1
2
1
－1＝
2
1
－
兩切線垂直，則過 g(x)以(1 , 0)為切點的切線斜率 m＝g'(1)＝2(∵m×m'＝－1)
0
b
a
)
1
(
g
)
0
,
1
(
2
b
a
3
)
1
(
'
g
b
ax
3
)
x
(
'
g
2
＝
＋
＝
又切點
＝
＋
＝
＋
＝
1
b
1
a
＝－
＝
ab＝－1
育達系列 5 創新研發
24. f
'(x)＝3x
2
＋6x－72＝3(x
2
＋2x－24)＝3(x＋6)(x－4)＝0，x 在－6 , 4 產生極值
x＝－6 時，相對極大值 f(－6) →選(D)
x＝4 時，相對極小值 f(4)
25. f(x)＝sinx 的週期為 2π
f(x)＝40sin(ax＋
2
π
)＋70
週期為
a
2
π
＝4
a＝
2
π