育達系列
1 創新研發
數學(C)(13)
113 學年度四技二專統一入學測驗
數學(C)試題
數學
(C)參考公式
1.點 P(x
0
, y
0
)到直線 L：ax＋by＋c＝0 的距離為
2
2
0
0
b
a
|
c
by
ax
|
＋
＋
＋
2.算幾不等式：若 a≧0，b≧0，則
2
b
a＋
≧
ab
3.x
3
－
y
3
＝
(x－y)(x
2
＋
xy＋y
2
)
4.(x－y)
3
＝
x
3
－
3x
2
y＋3x
y
2
－
y
3
5.拋物線方程式(x－h)
2
＝
4c(y－k)，其中頂點為(h , k)，焦點為(h , k＋c)，準線為 y＝k
－
c，正焦弦長為 4| c |
6.三角函數的二倍角公式：sin2θ＝2sinθcosθ
7.若 a
、
b
為空間中兩非零向量，則
a
在
b
上的正射影為
(
2
|
b
|
b
a
‧
) b
8.
n
1
k
k
＝
＝
2
)
1
n
(
n ＋
9.參考數值：
4
2
1.189、
3
2
1.260、 2 1.414
1. 若
)
2
x
)(
1
x
2
(
5
－
＋
＝
1
x
2
A
＋
＋
2
x
B
－
，其中
A、B 為實數，則 3A＋2B＝？
(A)－7
(B)－6
(C)－5
(D)－4。
2. 設直線 L
1
的斜角為
35°，已知直線 L
2
與
L
1
相互垂直，如圖
(一)所示，則 L
2
的斜
角為何？
(A)35°
(B)55°
(C)125°
(D)155°。
圖
(一)
3. 若 180°＜θ＜270°且 sinθ＝sin2024°，則θ＝？
(A)204°
(B)214°
(C)224°
(D)234°。
4. 已知直線 L：y＝x－5 與圓 C 相切，且圓 C 的圓心為(3 , －4)，則圓 C 的半徑為
何？
(A) 2
(B)2 2
(C)3 2
(D)4 2 。
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5. 已知二元一次方程組的增廣矩陣為
3
4
3
2
1
1 －
，則下列何者為此矩陣經過列運
算操作後的增廣矩陣？
(A)
3
4
3
2
2
2 －
(B)
5
4
5
0
1
1 －
(C)
7
4
2
3
1
1 －
(D)
4
3
1
1
3
2
－
－
。
6. 已知 sinθtanθ＜0 且 cosθcotθ＞0，則θ為第幾象限角？
(A)一
(B)二
(C)三
(D)四。
7. 小輝從大賣場採買一些要祭拜祖先的水果，計有西瓜、芒果、蘋果、香瓜、橘子 及
木瓜等六種水果，他從中各取出一顆水果置於供桌準備祭拜，發現供桌大小只能
容納其中五顆水果排成一列放置，若其中香瓜及木瓜都被選到，且此兩種水果位
置相鄰，則有幾種不同排列方法？
(A)48
(B)96
(C)192
(D)240。
8. 若點(a , b)落在第一象限且滿足 b＝－a
2
＋
10，則 a
2
b 的最大值為何？
(A)10
(B)21
(C)23
(D)25。
9. 在工程領域中，矩陣運算可用來描述系統的輸入與輸出之關聯性。已知
2
1
x
x
、
2
1
y
y
分別表示系統輸入與輸出的變量，且彼此滿足下列關係：
2
1
2
2
1
1
x
8
x
3
y
x
5
x
2
y
＋
＝
＋
＝
。
若此關係可用矩陣運算
A
2
1
x
x
＝
2
1
y
y
表示，其中
A 為二階方陣。設 A 的反方陣
為
A
－
1
＝
d
c
b
a
，則
a＋b＋c＋d＝？
(A)2
(B)1
(C)－1
(D)－2。
10. 在生成式人工智慧技術中，利用函數變換的概念可將資料的分布狀態作轉換。若
有十筆原始資料
x(以
表示
)分布在區間[2 , 5]，如圖(二)(a)，現將此十筆資料經
線型函數
f(x)變換後，其分布區間為[4 , 13]，如圖(二)(b)，則下列何者可為達成
任務的
f(x)？
(A)f(x)＝2x＋4
(B)f(x)＝4x－4
(C)f(x)＝3x－2
(D)f(x)＝2x－3。
圖
(二)
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11. 若實係數多項式函數 f(x)＝ax
4
＋
bx
2
－
2x＋c，其導函數為 f
'(x)＝8x
3
－
6x＋d 且 f(1)
＝
5，則 a＋b＋c＋d＝？
(A)11
(B)9
(C)7
(D)5。
12. 化簡(
1
2
1
＋
－
1)[(
1
2
1
＋
)
2
＋
1
2
1
＋
＋
1]＝？
(A)6＋5 2
(B)8－5 2
(C)6－5 2
(D)－8＋5 2 。
13. 已知 a＞0，拋物線 y＝a
x
2
的正焦弦
2
1
F
F
長度為
8，且其頂點為 V，則△VF
1
F
2
的
面積為何？
(A)8
(B)16
(C)24
(D)32。
14. 若 f(x)＝
2
x
1
x
x
1
x
0
1
x
2
≦
≦
，
＋
＜
≦
，
＋
，則
2
0
dx
)
x
(
f
＝？
(A)
2
9
(B)
2
11
(C)
2
13
(D)
3
19
。
15.
n
lim
(
1
n
n
n
2
＋
－
－
2
n
n
3
n
2
＋
＋
)＝？
(A)0
(B)－1
(C)－2
(D)－3。
16. 若 logx＝－2.24，logy＝9.28，則 x
2
y 落在下列哪個區間？
(A)(10
3
, 10
4
)
(B)(10
4
, 10
5
)
(C)(10
5
, 10
6
)
(D)(10
6
, 10
7
)。
17. 有一個在水平地面上的圓形輪子，其半徑為 1 單位長。輪子上 A 點與地面接觸，
如圖
(三)所示，當輪子向右滾動，相對於圓心 O 而言，A 點以順時針轉動θ角，
且輪子中心
O 前進 x 單位長的時候，A 點距離地面的高度為 y 單位長。在坐標平
面上，若在
0≦x≦2π的範圍中，y 可以表示為 x 的函數 f(x)，則下列圖形何者
為
y＝f(x)的圖形？
(A)
(B)
(C)
(D)
圖
(三)
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18. 若θ為一標準位置角，i＝
1
－ 。已知 cosθ－
2
3
i 與
2
1
－
＋
(sinθ)i 為共軛複
數，則
sin2θ＝？
(A)
2
3
(B)
2
3
－
(C)
4
3
(D)
4
3
－
。
19. 空間中三點的坐標分別為 A(0 , 6 , －1)、B(3 , 3 , －1)、C(4 , 1 , 1)，則
AC 在
BC
上的正射影為何？
(A)(4 , －4 , 2)
(B)(4 , －2 , 4)
(C)(2 , －4 , 4)
(D)(2 , 4 , 4)。
20. 小美想用火柴棒排成一個 n 層正三角形金字塔，例如當 n＝1、2、3 時，如圖(四)
所示。若依此規則，則排出一個
50 層金字塔恰需要多少根火柴棒？
(A)3675
(B)3825
(C)7500
(D)7803。
圖
(四)
21. 在坐標平面上，若△ABC 的三頂點坐標分別為 A(－3 , 4)、B(－1 , 2)與 C(3 , 6)，
則△
ABC 與其內部區域可由下列哪一組不等式表示？
(A)
0
15
y
3
x
0
1
y
x
0
3
y
x
≧
＋
－
≧
－
＋
≦
＋
－
(B)
0
15
y
3
x
0
1
y
x
0
3
y
x
≦
＋
－
≧
－
＋
≧
＋
－
(C)
0
15
y
3
x
0
1
y
x
0
3
y
x
≧
＋
－
≦
－
＋
≧
＋
－
(D)
0
15
y
3
x
0
1
y
x
0
3
y
x
≦
＋
－
≦
－
＋
≦
＋
－
。
22. 根據建築物之耐震規範，某類鋼構造建築物之基本振動週期 T(單位為秒)之經驗
公式為
T＝0.085
4
3
h ，其中
h 為地面到屋頂之高度(單位為公尺)。若 A、B 為兩
棟屬於這類的鋼構造建築物，已知
A 的基本振動週期為 B 的 2 倍，且 B 的高度
為
100 公尺，則 A 的高度約多少公尺？
(A)159
(B)168
(C)252
(D)283。
23. 下列哪一函數在 x＝1 的極限存在，但不連續？
(A)f(x)＝
1
x
1
x
2
－
－ (B)f(x)＝
1
x
1
－
(C)f(x)＝
1
x
|
1
x
|
－
－ (D)f(x)＝(x－1)
2
。
24. 空間中兩點 A(1 , 3 , 4)與 B(3 , 2 , 4)，若 xy 平面上 P 點到 A 與 B 兩點的距離和為
最小，則
P 點的坐標為何？
(A)(2 ,
2
5
, 0)
(B)(2 , 2 , 0)
(C)(2 ,
2
3
, 0)
(D)(3 , 1 , 0)。
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5 創新研發
(B)25. 在坐標平面上，已知 O 為原點，A(2 , 1)，B(－3 , 2)，如圖(五)所示，若
OP ＝
OB ＋
t
OA ，其中－
1≦t≦1，則所有滿足 P 點所形成的線段長為多少？
(A)3 2
(B)2 5
(C)3 3
(D)4 2 。
圖
(五)
數學
(C)－【解答】
1.(D)
2.(C)
3.(C)
4.(A)
5.(C)
6.(B)
7.(C)
8.(D)
9.(A) 10.(C)
11.(D) 12.(D) 13.(A)
14.(B) 15.(D)
16.(B) 17.(D)
18.(B) 19.(C) 20.(B)
21.(A) 22.(C) 23.(A) 24.(A)
25.(B)
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113 學年度四技二專統一入學測驗
數學(C) 試題詳解
1.(D)
2.(C)
3.(C)
4.(A)
5.(C)
6.(B)
7.(C)
8.(D)
9.(A) 10.(C)
11.(D) 12.(D) 13.(A)
14.(B) 15.(D)
16.(B) 17.(D)
18.(B) 19.(C) 20.(B)
21.(A) 22.(C) 23.(A) 24.(A)
25.(B)
1.
)
2
x
)(
1
x
2
(
5
－
＋
＝
1
x
2
A
＋
＋
2
x
B
－
＝
)
2
x
)(
1
x
2
(
)
1
x
2
(
B
)
2
x
(
A
－
＋
＋
＋
－
5＝A(x－2)＋B(2x＋1)
x＝2 代入 5＝5B B＝1
x＝－
2
1
代入
5＝－
2
5
A
A＝－2
3A＋2B＝3(－2)＋2×1＝－4
2.
180°－55°＝125°
L
2
55°
3. sin2024°＝sin(1800°＋224°)＝sin224°
θ＝224°
4. 圓心(3 , －4)到 x－y－5＝0 的距離為 d
d＝
2
2
)
1
(
1
|
5
)
4
(
3
|
－
＋
－
－
－
＝
2
2
＝
2 ＝半徑
5.
3
4
3
2
1
1 －
7
4
2
3
1
1 －
×
1
6.
sinθtanθ＜0
則θⅡⅢ
cosθcotθ＞0 則θ
ⅠⅡ
∴θ
Ⅱ
7. 香瓜、木瓜以外
C
4
3
香、木 ○○○
C
4
3
×
4!×2!＝4×24×2＝192
8. b＝－a
2
＋
10
a
2
＝－
b＋10
代入
a
2
b＝(－b＋10)
2
×
b＝－b
2
＋
10b＝－(b
2
－
10b)
＝－
(b－5)
2
＋
25，當 b＝5 時，最大值為 25
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9.
2
1
2
2
1
1
x
8
x
3
y
x
5
x
2
y
＋
＝
＋
＝
8
3
5
2
2
1
x
x
＝
2
1
y
y
則
A＝
8
3
5
2
A
－
1
＝
5
3
8
2
1
－
2
3
5
8
－
－
＝
2
3
5
8
－
－
a＝8，b＝－5，c＝－3，d＝2，a＋b＋c＋d＝2
10. 設線性函數為 y＝f(x)＝ax＋b
第一點
(2.0… , 4.2…)代入，則只有(B)(C)合
再將第十點
(4.9… , 12.9…)代入
則只有(C)合
11. f(x)＝ax
4
＋
bx
2
－
2x＋c，f
'(x)＝4ax
3
＋
2bx－2＝8x
3
－
6x＋d
4a＝8
a＝2
2b＝－6
b＝－3
d＝－2
f(x)＝2x
4
－
3x
2
－
2x＋c
f(1)＝2－3－2＋c＝c－3＝5
c＝8
12. ∵(x－1)(x
2
＋
x＋1)＝x
3
－
1
∴求值式＝
(
1
2
1
＋
)
3
－
1＝(
2
2
1
2
1
2
－
－
)
3
－
1＝( 2 －1)
3
－
1
＝
3
2 －
3
2
2 ‧
1＋3 2 ×1
2
－
1
3
－
1＝2 2 －6＋3 2 －1－1
＝－
8＋5 2
13. y＝ax
2
x
2
＝
a
1
y，
a
1
＝
4C
又
a＞0 且正焦弦長 4| C |＝8
a
1
＝
8
a＝
8
1
則 C＝2
焦點 F 為(0 , C)＝(0 , 2)
頂點
V(0 , 0)
△
VF
1
F
2
面積＝
2
C
F
F
2
1
＝
2
2
8
＝
8
14.
2
0
dx
)
x
(
f
＝
1
0
dx
)
1
x
(
＋
＋
2
1
2
dx
)
x
x
( ＋
＝
(
3
2
x
2
3
＋
x)
1
0
＋
(
3
x
3
＋
2
x
2
)
2
1
＝
(
3
2
＋
1)－0＋(
3
8
＋
2)－(
3
1
＋
2
1
)
＝
3
5
＋
3
14
－
6
5
＝
6
38
－
6
5
＝
6
33
＝
2
11
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3 創新研發
15. 原式＝
n
lim
)
2
n
)(
1
n
(
)
1
n
)(
n
3
n
(
)
2
n
)(
n
n
(
2
2
＋
＋
＋
＋
－
＋
－
＝
n
lim
)
2
n
)(
1
n
(
)
n
3
n
n
3
n
(
)
n
2
n
n
2
n
(
2
2
3
2
2
3
＋
＋
＋
＋
＋
－
－
－
＋
＝
n
lim
2
n
3
n
n
5
n
3
2
2
＋
＋
－
－
＝
n
lim
2
n
2
n
3
1
n
5
3
＋
＋
－
－
＝－
3
16. logx＝－2.24
x＝10
－
2.24
logy＝9.28
y＝10
9.28
x
2
y＝(10
－
2.24
)
2
‧
10
9.28
＝
10
－
4.48
＋
9.28
＝
10
4.8
10
4
＜
10
4.8
＜
10
5
17. (1)x＝0 時 y＝0
(2)x＝π時，弧長 rθ＝π
1‧θ＝π，θ＝π為半圓周 此時 y＝2r＝2
(3)x＝2π時，弧長 rθ＝2π
1‧θ＝2π，θ＝2π轉了一圈 此時 y＝0
由
(1)(2)(3)選(D)
18. cosθ－
2
3
i 和
2
1
－
＋
sinθi 為共軛複數
2
3
sin
2
1
cos
θ＝
－
θ＝
sin2θ＝2sinθcosθ＝2×
2
3
×
(
2
1
－ )＝－
2
3
19.
AC
在
BC
上的正射影為
BC
AC
＝
(4 , －5 , 2)
BC
＝
(1 , －2 , 2)
AC
‧
BC
|
BC
|
2
＝
2
2
2
2
)
2
)
2
(
1
(
2
2
)
2
)(
5
(
1
4
＋
－
＋
＋
－
－
＋
×
(1 , －2 , 2)＝
9
18
(1 , －2 , 2)＝(2 , －4 , 4)
20. n＝1
a
1
＝
3
n＝2
a
2
＝
3＋3×2＝3(1＋2)
n＝3
a
3
＝
3＋3×2＋3×3＝3(1＋2＋3)
n＝4
a
4
＝
3(1＋2＋3＋4)
…
n＝50
a
50
＝
3(1＋2＋3＋4＋……＋50)
＝
3×
2
50
)
50
1
(
＋
＝
3825
育達系列
4 創新研發
21.
AC
：
(y－6)＝
)
3
(
3
4
6
－
－
－
(x－3)
3y－18＝x－3 x－3y＋15＝0
BC
：
(y－2)＝
)
1
(
3
2
6
－
－
－
(x＋1)
x－y＋3＝0
AB
：
(y－2)＝
)
3
(
1
4
2
－
－
－
－
(x＋1)
x＋y－1＝0
如圖：若
x 的係數為正，大於表示在直線的右側，小於表示在直線的左側，
則
0
15
y
3
x
0
1
y
x
0
3
y
x
≧
＋
－
≧
－
＋
≦
＋
－
22. 依題意
T
A
＝
2T
B
＝
0.085h
4
3
……
(1)
T
B
＝
0.085×100
4
3
……
(2)
)
2
(
)
1
(
：
B
B
T
T
2
＝
4
3
4
3
100
085
.
0
h
085
.
0
2＝(
100
h
)
4
3
100
h
＝
2
3
4
＝
2
1
‧
2
3
1
＝
2
3
2 ≒
2×1.26
h≒100×2.52＝252
23. (A)
1
x
lim
1
x
1
x
2
－
－
＝
1
x
lim
(x＋1)＝2，但 f(1)不存在
(A)選項極限存在，但不連續
(B)
1
x
lim
1
x
1
－
不存在，
f(1)不存在
(C)
＋
1
x
lim
1
x
1
x
－
－
＝
1，
1
x
lim
1
x
)
1
x
(
－
－
－
＝－
1
1
x
lim
1
x
|
1
x
|
－
－
不存在
(D)f(x)＝(x－1)
2
，
1
x
lim
f(x)＝f(1)＝0
連續
24. 取 B 在 xy 平面對面的對稱點 B'(3 , 2 , －4)，
則
BP ＝
P
'
B
PA ＋ PB ＝ PA ＋
'
PB
最小值為
'
AB
此時
A、P、B'三點共線，設 P 點為(x , y , 0)
'
AB
//
AP
(2 , －1 , －8)//(x－1 , y－3 , －4)
2
1
x－
＝
1
3
y
－
－
＝
8
4
－
－
2
5
y
2
1
3
y
2
x
1
1
x
＝
＝－
－
＝
＝
－
則
P 點(2 ,
2
5
, 0)
育達系列
5 創新研發
25. t＝1 時
OP ＝
OB ＋
OA ＝
(－3 , 2)＋(2 , 1)＝(－1 , 3)
t＝－1 時
OP ＝
OB －
OA ＝
(－3 , 2)－(2 , 1)＝(－5 , 1)
則
P 點落在圖上兩點間，
其線段長＝
2
2
)
3
1
(
)
1
5
(
－
＋
＋
－
＝
20 ＝
2 5