育達系列
1 創新研發
數學(B)(13)
113 學年度四技二專統一入學測驗
數學(B)試題
數學
(B)參考公式
1.點 P(x
0
, y
0
)到直線 L：ax＋by＋c＝0 的距離為
2
2
0
0
b
a
|
c
by
ax
|
＋
＋
＋
2.△ABC 的正弦定理：
A
sin
a
＝
B
sin
b
＝
C
sin
c
＝
2R，R 為△ABC 外接圓的半徑
3.△ABC 的餘弦定理：a
2
＝
b
2
＋
c
2
－
2bc cosA
4.扇形弧長 S＝rθ，其中 r 為扇形的半徑，θ(弧度)為扇形的圓心角
5.若α、β為一元二次方程式 ax
2
＋
bx＋c＝0 的兩根，則α＋β＝
a
b
－
、αβ＝
a
c
6.首項為 a
1
，公差為
d 的等差數列，前 n 項之和為 S
n
＝
2
]
d
)
1
n
(
a
2
[
n
1
－
＋
7.有一組母體資料 x
1
, x
2
, …, x
N
，其算術平均數為μ，則母體標準差為
N
)
x
(
)
x
(
)
x
(
2
N
2
2
2
1
－μ
＋
＋
－μ
＋
－μ
8.參考數值：log
10
2
0.3010、log
10
1.02
0.0086、π 3.14
1. 已知兩向量 a
與
b
的內積為
10。若 a
＝
(x , 1)， b
＝
(2 , y)，則 x 與 y 滿足下列
何種關係式？
(A)2x＋y＝10
(B)x＋2y＝10
(C)xy＋2＝10
(D)xy－2＝10。
2. 「我們與惡的距離」是一部公視推出的社會寫實電視劇。假設放在數線上來看，
「我們」的坐標為
x，「惡」的坐標為 2，「善」的坐標為 3；請以數學上的絕對
值來表示以下這句話：
「我們與惡的距離小於善與惡的距離」
。
(A)|x－2|＜|3－2|
(
B)|x－2|＜|x－3|
(C)|3－2|＜|x－2| (D)|x－3|＜|x－2|。
3. 當角度θ由 50°增加到 100°，關於 sin(2θ－360°)之值的正負變化，下列敘述何者
正確？
(A)從正遞減到負 (B)從負遞增到正 (C)遞減但全為正 (D)遞增但全為負。
4. 在坐標平面上，已知直線 L
1
：
x＋y＋115＝0，直線 L
2
與直線
L
1
互相平行且與直
線
L
3
互相垂直。若直線
L
3
過點
(113 , 114)，則直線 L
3
的
x 截距為何？
(A)－113
(B)－1
(C)1
(D)113。
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5. 已知一個多項式除以(x－1)餘 2，且除以(x－2)餘 1，試問該多項式有可能是下列
何者？
(A)2024(x－1)(x－2)－2(x－2)＋1
(B)2024(x－1)(x－2)－3(x－1)＋2
(C)2024(x－1)(x－2)＋(x－1)＋2
(D)2024(x－1)(x－2)－(x－2)＋1。
6. 阿強在一圓形噴水池邊上任意找三個點 A、B、C，經測量發現 B、C 兩點間的直
線距離
BC 為
5 公尺，且 AB 與 AC 的夾角為 30°，試問噴水池的面積為多少平方
公尺？
(A)9π
(B)16π
(C)25π
(D)36π。
7. 小倩在一家營運穩定的公司上班。若小倩的起薪為每個月 4 萬元，且每年會調薪
2%，即一年後為 40000×1.02 元，兩年後為 40000×(1.02)
2
元，以此類推。試問
幾年後小倩的月薪最接近
8 萬元？
(A)29
(B)31
(C)33
(D)35。
8. 某單位對 100 位擁有汽車或機車車主做調查，調查結果顯示僅有機車者比僅有汽
車者多了
10 位，且兩種都有的為 20 位，則調查結果僅有汽車者的車主有幾位？
(A)10
(B)20
(C)35
(D)40。
9. 已知一元二次方程式 x
2
＋
3
x＋c＝0 的兩相異實根為α、β，滿足
α
1
＋
β
1
＝
1，
則
c 之值為何？
(A)3
(B)1
(C)－1
(D)－3。
10. 設直線 L：2x－3y－6＝0 及 A(a
1
, a
2
)、B(b
1
, b
2
)、C(1 , 3)三點。若 A 與 C 落在
直線
L 的同側，而 B 與 C 落在直線 L 的異側，則點(2a
1
－
3a
2
－
6 , 2b
1
－
3b
2
－
6)
落在第幾象限？
(A)一
(B)二
(C)三
(D)四。
11. 便利商店舉行飲料任選第二件 7 折的活動，若兩罐飲料價格不同時，則價格高者
原價，價格低者打
7 折。小麥先在便利商店拿了價格 x 元的飲料一罐，再拿了另
一罐價格比第一罐少
10 元的飲料，試問搭配活動的結帳金額是多少元？
(A)x＋0.7x－10
(B)0.7(x＋x－10)
(C)0.7(x＋x)－10 (D)x＋0.7(x－10)。
12. 小明到便利商店購買奶茶與紅茶，奶茶與紅茶的價格分別為每瓶 20 元與 12 元。
已知小明兩者都要買，而且花費又不想超過
70 元。若小明買了 x 瓶奶茶與 y 瓶
紅茶，則數對
(x , y)的可能性有幾種？
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8。
13. 某高中將三年級學生依體適能成績分成十一組。已知此十一組人數由小到大為一
個等差數列
a
1
、
a
2
、…、
a
11
，且
a
6
＝
88，則該校三年級學生人數為多少人？
(A)638
(B)726
(C)880
(D)968。
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14. 圖(一)是一個半徑為 100 公尺、圓心角為 240°的扇形公園，A、B 兩點間的弧線
即為步道。從步道一端
(A 點)出發到另一端(B 點)後，再原路折返回起點(A 點)，
稱為一趟。若小簡要走
x 趟才會超過 8 公里，則 x 最小是多少？
(A)12
(B)11
(C)10
(D)9。
圖
(一)
15. 小鈺到某間甜品店購買綜合豆花(甜湯加配料)，小鈺先從三種甜湯(糖水、豆漿與
紅豆湯
)任選一種當作湯底，然後再從五種配料(粉圓、薏仁、芋圓、粉粿、花生)
中任選兩種不同的配料。試問此綜合豆花的搭配有幾種可能性？
(A)15
(B)30
(C)40
(D)55。
16. 已知 A 跟 B 兩點落在直線 L
1
：
3x＋4y－6＝0 上，C 跟 D 兩點落在直線 L
2
：
3x
＋
4y－11＝0 上，如圖(二)所示。若四邊形 ABCD 為正方形，則其邊長為多少？
(A)1
(B)3
(C)4
(D)5。
圖
(二)
17. 已知三個二次函數 y＝ax
2
＋
1，y＝bx
2
，
y＝cx
2
－
1，其中 a、b、c 為實數，如圖(三)
所示，請判斷
a、b、c 的大小關係。
(A)a＜b＜c
(B)a＞b＞c
(C)b＜a＜c
(D)b＞a＞c。
圖
(三)
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18. 小仲規劃從 A 地直線出發到 C 地，但 AC 路段在重鋪馬路，無法通行，只好先
繞到
B 地再到 C 地。已知 AC 路段的直線距離為 300 公尺，AB 路段的直線距離
為
800 公尺，且 AB 路段與 AC 路段夾角為 60°，如圖(四)所示。若 BC 路段也是
一條直線，試問小仲比原規劃路線多走了多少公尺？
(A)700
(B)1100
(C)1200
(D)1800。
圖
(四)
19. 在坐標平面上，二元一次聯立不等式
12
y
12
x
5
16
y
12
x
5
－
≧
＋
≦
＋
的解如圖
(五)深色區域，下
列選項中哪一個圓，完全落在此深色區域內？
(A)(x＋2)
2
＋
(y－1)
2
＝
1
(B)(x－1)
2
＋
(y－1)
2
＝
1
(C)x
2
＋
y
2
＝
1
(D)(x－3)
2
＋
(y＋2)
2
＝
1。
圖
(五)
20. 如圖(六)所示，已知文創園區在地圖上是 A 點，公園是 B 點，博物館是 C 點，試
問哪一個向量
PQ 與向量
AB ＋
BC 最相近
(意即方向與大小最接近)？
(A)P：古蹟，Q：老街
(B)P：文化園區，Q：東夜市
(C)P：購物中心，Q：東夜市
(D)P：美術館，Q：文化園區。
圖
(六)
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21. 某公司在年底時宣布全體員工隔年的月薪皆增加 5000 元。已知調薪前，全體員
工月薪的算術平均數為
47500 元、母體標準差為 3000 元。若調薪後，月薪的算
術平均數為
x 元、母體標準差為 y 元，則下列敘述何者正確？
(A)x＜47500；y＝3000
(B)x＝47500；y＜3000
(C)x＞47500；y＞3000
(D)x＞47500；y＝3000。
22. 小慈與小巴各投擲一顆六面的公正骰子一次(即 1 到 6 點出現的機會相等)，誰擲
出的點數大即為優勝的一方，倘若雙方的點數相同則視為平手。在雙方擲出的點
數和為
9 或 10 的條件下，小慈勝出的機率為何？
(A)
6
1
(B)
5
2
(C)
7
3
(D)
2
1
。
23. 小安打算到遊樂園完整體驗「海盜船」、「雲霄飛車」、「摩天輪」、「碰碰車」、「小
火車」與「旋轉木馬」這六樣設施，每玩完一樣設施就接著玩下一樣，且不重複
搭乘。由於小安覺得「海盜船」與「雲霄飛車」較為刺激，因此這兩樣設施不會
連續搭乘。試問小安的遊玩行程有幾種安排方式？
(A)240
(B)480
(C)560
(D)720。
24. 某間中式喜餅店推出 A、B 兩種新口味的糕餅，其製作成本與獲利如表(一)。已
知店家想將這兩種糕餅的總數量限制在
28 個(含)以內、總製作成本限制在 3000
元
(含)以下。若這兩種新產品最後都銷售一空，則販賣這兩種糕餅所獲得的最大
利潤為多少元？
(A)2340
(B)2360
(C)2380
(D)2400。
製作成本
獲利
A 口味糕餅 1 個
100 元
80 元
B 口味糕餅 1 個
120 元
90 元
表
(一)
25. 某次考試，老師出了一張滿分為 100 分的試卷，但因考後成績不理想，因此進行
全班成績調整，若原始成績為
x 分，則調整後成績為 50×log
10
x 的整數部分。已
知這次考試沒有人缺考且最低分數為
2 分，則下列敘述何者錯誤？
(A)考 100 分的同學調整前後的分數不變
(B)考 10 分的同學調整後的分數不到 60 分
(C)調整後全班的最低分是 16 分
(D)若某同學的原始成績是 16 分，則其調整後的成績為 60 分。
數學
(B)－【解答】
1.(A)
2.(A)
3.(A)
4.(B)
5.(D)
6.(C)
7.(D)
8.(C)
9.(D) 10.(B)
11.(D) 12.(B) 13.(D)
14.(C)
15.(B) 16.(A)
17.(B)
18.(C) 19.(A) 20.(C)
21.(D) 22.(C) 23.(B) 24.(A)
25.(C)
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113 學年度四技二專統一入學測驗
數學(B) 試題詳解
1.(A)
2.(A)
3.(A)
4.(B)
5.(D)
6.(C)
7.(D)
8.(C)
9.(D) 10.(B)
11.(D) 12.(B) 13.(D)
14.(C)
15.(B) 16.(A)
17.(B)
18.(C) 19.(A) 20.(C)
21.(D) 22.(C) 23.(B) 24.(A)
25.(C)
1. a
‧
b
＝
10
(x , 1)‧(2 , y)＝10 2x＋y＝10
2. 我們(x)與惡(2)的距離＝|x－2|
善
(3)與惡(2)的距離＝|3－2|
我們與惡的距離小於善與惡的距離
|x－2|＜|3－2|
3. θ：50°
100°
2θ－360°：－260°
－160°
sin(2θ－360°)：sin(－260°)
sin(－180°) sin(－160°)
正
0
負
4. m
1
＝－
1
L
3
⊥
L
2
因 L
1
//L
2
，則
L
1
⊥
L
3
m
1
‧
m
3
＝－
1
m
3
＝
1
由點斜式
L
3
：
y－114＝1(x－113)
x－y＋1＝0
令
y＝0：x 軸截距＝－1
5. f(x)除以(x－1)餘 2
f(1)＝2
f(x)除以(x－2)餘 1 f(2)＝1
代入選項檢驗
(D) f(x)＝2024(x－1)(x－2)－(x－2)＋1
f(1)＝2024‧0‧(－1)－(－1)＋1＝2(合)
f(2)＝2024‧1‧0－0＋1＝1(合)
6. 由正弦定理
2R＝
A
sin
a
＝
30
sin
5
＝
2
1
5
＝
10
∴
R＝5，圓面積＝πR
2
＝π‧
5
2
＝
25π
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7. 設 n 年後小倩的月薪最接近 8 萬元
40000×(1.02)
n
≒
80000
log(1.02)
n
≒
log2
n‧log1.02≒log2
n≒
02
.
1
log
2
log
＝
0086
.
0
3010
.
0
＝
35
8. 設僅有汽車的車主有 x 位
全部
100 位
100＝x＋20＋(x＋10) 100＝2x＋30 x＝35
9. x
2
＋
3x＋c＝0
c
3
αβ＝
α＋β＝－
由
α
1
＋
β
1
＝
1
αβ
α＋β
＝
1
c
3
－
＝
1
c＝－3
10. (1)A , C 在 L：2x－3y－6＝0 同側
(2a
1
－
3a
2
－
6)(2‧1－3‧3－6)＞0
(2a
1
－
3a
2
－
6)(－13)＞0 兩邊同除以(－13) 點(2a
1
－
3a
2
－
6 , 2b
1
－
3b
2
－
6)
2a
1
－
3a
2
－
6＜0
點(負 , 正)
(2)B , C 在 L：2x－3y－6＝0 異側
點落在第二象限
(2b
1
－
3b
2
－
6)(2‧1－3‧3－6)＜0
(2b
1
－
3b
2
－
6)(－13)＜0 兩邊同除以(－13)
2b
1
－
3b
2
－
6＞0
11. 小麥先生買 2 罐飲料價格為 x 元與(x－10)元
結帳金額＝價格高者原價，價格低者打
7 折
＝
x＋(x－10)(0.7)
12.
35
y
6
x
10
70
y
12
x
20
0
y
0
x
≦
＋
≦
＋
＞
＞
不合
～
～
≦
≦
≦
2
1
4
1
y
3
2
1
x
5
y
6
15
y
6
25
y
6
兩者都要
故數對
(x , y)有 6 種可能性
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13.
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, a
7
, a
8
, a
9
, a
10
, a
11
成等差
||
88
d
88
a
d
88
a
7
5
＋
＝
－
＝
a
5
＋
a
7
＝
176
…
…
d
5
88
a
d
5
88
a
11
1
＋
＝
－
＝
a
1
＋
a
11
＝
176
∴三年級學生人數＝
176×5(組)＋88＝968
14. θ＝240°×
180
π
＝
3
4π
︵
AB
＝
r‧θ＝100‧
3
4π
＝
3
400π
來回算一趟＝
3
800π
3
800π
×
x＞8000
x＞
3
800
8000
π
≒
9.55
最小 x＝10
15. 甜湯有 3 種；配料有 5 種
選
1：C
3
1
選
2：C
5
2
綜合豆花搭配可能性＝
C
3
1
‧
C
5
2
＝
30
16.
0
11
y
4
x
3
L
0
6
y
4
x
3
L
2
1
＝
－
＋
：
＝
－
＋
：
d(平行線)＝
2
2
4
3
|
)
11
(
6
|
＋
－
－
－
＝
1＝正方形 ABCD 之邊長
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17. (1)代入 x＝0
1
y
1
cx
y
0
y
bx
y
1
y
1
ax
y
2
2
2
＝－
－
＝
＝
＝
＝
＋
＝
由圖可知：
(2)
由
(1) , (2)
a＞b＞c
18. 由餘弦定理：cosA＝
c
b
2
a
c
b
2
2
2
‧
－
＋
cos60°＝
2
1
＝
800
300
2
a
640000
90000
2
‧
‧
－
＋
730000－a
2
＝
240000
a
2
＝
490000
a＝700
小仲比原規劃路線多走之距離＝
c＋a－b＝800＋700－300＝1200(公尺)
19. 圓心 O 至
2
2
1
1
d
0
12
y
12
x
5
L
d
0
16
y
12
x
5
L
之距離＝
＝
＋
＋
：
之距離＝
＝
－
＋
：
(A)O(－2 , 1)，r＝1
r
13
14
12
5
|
12
1
12
)
2
(
5
|
d
r
13
14
12
5
|
16
1
12
)
2
(
5
|
d
2
2
2
2
2
1
＞
＝
＋
＋
‧
＋
－
＝
＞
＝
＋
－
‧
＋
－
＝
∴此圓完全落在深色區域內
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20. (1)
AB ＋
BC ＝
AC
(2)
PQ 與
AC 最接近
21. 隔年月薪"皆"增加 5000 元
響，故不變
母體標準差不受平移影
元
算術平均數增加5000
3000
y
47500
x
＝
＞
22. 點數和＝9 點或 10 點
小慈
小巴 小慈 小巴
( 3 , 6 ) ( 4 , 6 )
※
( 6 , 3 ) ※( 6 , 4 )
( 4 , 5 ) ( 5 , 5 )
※
( 5 , 4)
※為小慈勝出
P＝
7
3
23. ↙ ↙ ↙ ↙ ↙
摩天輪，碰碰車，小火車，旋轉木馬
先排＝4！＝24
海盜船，雲霄飛車
插空且可互換：
5
2
P ＝20
遊玩行程＝
24×20＝480
24. 令 A 口味糕餅製作 x 個
B 口味糕餅製作 y 個
28
y
x
3000
y
120
x
100
0
y
0
x
≦
＋
≦
＋
≧
≧
28
y
x
150
y
6
x
5
0
y
0
x
≦
＋
≦
＋
≧
≧
f(x , y)＝80x＋90y
f(28 , 0)＝2240
f(18 , 10)＝2340…最大利潤
f(0 , 25)＝2250
育達系列
6 創新研發
25. y＝50‧log
10
x
(A)x＝100 y＝50‧log
10
100＝50×2＝100
(B)x＝10 y＝50‧log
10
10＝50×1＝50
(C)x＝2 y＝50‧log
10
2＝50(0.3010)＝15.05
(D)x＝16 y＝50‧log
10
16＝50log
10
2
4
＝
200log
10
2＝200(0.3010)＝60.2